1、13.6 直线和圆的位置关系第 2 课时 切线的判定及三角形的内切圆1掌握切线的判定定理，并会运用它进行切线的证明；(重点)2能灵活选用切线的三种判定方法判定一条直线是圆的切线；(难点)3掌握画三角形内切圆的方法和三角形内心的概念. (重点)一、情境导入下雨天，当你转动雨伞，你会发现雨伞上的水珠顺着伞面的边缘飞出仔细观察一下，水珠是顺着什么样的方向飞出的？这就是我们所要研究的直线与圆相切的情况二、合作探究探究点一：切线的判定【类型一】 已知直线过圆上的某一个点，证明圆的切线如图，点 D 在 O 的直径 AB 的延长线上，点 C 在 O 上， AC CD， D30，求证： CD 是 O 的切线解
2、析：要证明 CD 是 O 的切线，即证明 OC CD.连接 OC，由 AC CD， D30，则 A D30，得到 COD60，所以 OCD90.证明：连接 OC，如图， AC CD， D30， A D30. OA OC， ACO A30， COD60， OCD90，即 OC CD. CD 是 O 的切线方法总结：一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 6 题【类型二】 直线与圆的公共点没有确定时，证明圆的切线2如图， O 为正方形 ABCD 对角线 AC 上一
3、点，以 O 为圆心， OA 长为半径的 O 与 BC相切于点 M.求证： CD 与 O 相切解析：连接 OM，过点 O 作 ON CD 于点 N，用正方形的性质得出 AC 平分角 BCD，再利用角平分线的性质得出 OM ON 即可证明：连接 OM，过点 O 作 ON CD 于点 N， O 与 BC 相切于点 M， OM BC.又 ON CD， O 为正方形 ABCD 对角线 AC 上一点， OM ON， CD 与 O 相切方法总结：如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到这条直线的距离等于半径变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 5 题【类型三】 切线的性质和
4、判定的综合应用如图，在 Rt ABC 中， C90， BE 平分 ABC 交 AC 于点 E，点 D 在 AB 上，DE EB.(1)求证： AC 是 BDE 的外接圆的切线；(2)若 AD2 ， AE6，求 EC 的长3解析：(1)取 BD 的中点 O，连接 OE，如图，由 BED90，可得 BD 为 BDE 的外接圆的直径，点 O 为 BDE 的外接圆的圆心，再证明 OE BC，得到 AEO C90，可得结论；(2)设 O 的半径为 r，根据勾股定理和平行线分线段成比例定理，可求答案(1)证明：取 BD 的中点 O，连接 OE，如图所示， DE EB， BED90， BD 为 BDE 的外
5、接圆的直径，点 O 为 BDE 的外接圆的圆心 BE 平分 ABC， CBE OBE. OB OE， OBE OEB， OEB CBE， OE BC， AEO C90， OE AE， AC 是 BDE 的外接圆的切线；(2)解：设 O 的半径为 r，则 OA OD DA r2 ， OE r.在 Rt AEO 中，有3AE2 OE2 AO2，即 62 r2( r2 )2，解得 r2 . OE BC， ，即3 3AECE AOOB ， CE3.6CE 4323方法总结：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可变式
6、训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 6 题探究点二：三角形的内切圆【类型一】 利用三角形的内心求角的度数如图， O 内切于 ABC，切点 D、 E、 F 分别在 BC、 AB、 AC 上已知 B50， C60，连接 OE， OF， DE， DF，那么 EDF 等于( )3A40B55C65D70解析： A B C180， B50， C60， A70. O 内切于 ABC，切点分别为 D、 E、 F， OEA OFA90， EOF360 A OEA OFA110， EDF EOF55.故选 B.12方法总结：解决本题的关键是理解三角形内心的概念，求出 EOF 的度数变式训练：见学练优本课
7、时练习“课堂达标训练”第 10 题【类型二】 求三角形内切圆半径如图，Rt ABC 中， C90， AC6， CB8，则 ABC 的内切圆半径 r 为( )A1 B2 C1.5 D2.5解析： C90， AC6， CB8， AB 10， ABC 的内切圆半径AC2 BC2r 2.故选 B.6 8 102方法总结：记住直角边为 a、 b，斜边为 c 的三角形的内切圆半径为 ，可以大a b c2大简化计算变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 2 题【类型三】 三角形内心的综合应用如图， I 是 ABC 的内心， AI 的延长线交边 BC 于点 D，交 ABC 的外接圆于点E.(1)BE
8、与 IE 相等吗？请说明理由(2)如图，连接 BI， CI， CE，若 BED CED60，猜想四边形 BECI 是何种特殊四边形，并证明你的猜想解析：(1)连接 BI，根据 I 是 ABC 的内心，得出12，34，再根据 BIE13， IBE54，而512，得出 BIE IBE，即可证出IE BE；(2)由三角形的内心，得到角平分线，根据等腰三角形的性质得到边相等，由等量4代换得到四条边都相等，推出四边形是菱形解：(1) BE IE.理由如下：如图，连接 BI， I 是 ABC 的内心，12，34. BIE13， IBE54，而512， BIE IBE， BE IE；(2)四边形 BECI 是菱形证明如下： BED CED60， ABC ACB60， BE CE. I 是 ABC 的内心，4 ABC30， ICD ACB30，12 124 ICD， BI IC.由(1)证得 IE BE， BE CE BI IC，四边形 BECI 是菱形方法总结：解决本题要掌握三角形的内心的性质，以及圆周角定理三、板书设计切线的判定及三角形的内切圆1切线的判定方法2三角形的内切圆和内心的概念本节课多处设计了观察探究、分组讨论等学生活动内容，如动手操作“切线的判定定理的发现过程” ，以及讲解例题时学生的参与，课堂练习的设计都体现了以教师为主导、学生为主体的教学原则.
