1、1*3.3 垂径定理1理解垂径定理和推论的内容，并会证明，利用垂径定理解决与圆有关的问题；(重点)2利用垂径定理及其推论解决实际问题(难点)一、情境导入如图某公园中央地上有一些大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块厚 20cm的砖塞在球的两侧(如图所示)，他量了下两砖之间的距离刚好是 80cm，聪明的你能算出大石头的半径吗？二、合作探究探究点一：垂径定理【类型一】 利用垂径定理求直径或弦的长度如图所示， O 的直径 AB 垂直弦 CD 于点 P，且 P 是半径 OB 的中点， CD6cm，则直径 AB 的长是( )A2 cm B3 cm3 2C4 cm D4 cm2 3解析：直径 AB D
2、C， CD6， DP3.连接 OD， P 是 OB 的中点，设 OP 为 x，则OD 为 2x，在 Rt DOP 中，根据勾股定理列方程 32 x2(2 x)2，解得x . OD2 ， AB4 .故选 D.3 3 3方法总结：我们常常连接半径，利用半径、弦、垂直于弦的直径造出直角三角形，然后应用勾股定理解决问题变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 3 题【类型二】 垂径定理的实际应用2如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的 )，点 O 是这段弧的圆心， C 是AB 上一点， OC AB，垂足为 D， AB300m， CD50m，则这段弯路的半径是_m.AB 解析：本题考查垂径定理，
3、 OC AB， AB300m， AD150m.设半径为 R，根据勾股定理可列方程 R2( R50) 2150 2，解得 R250.故答案为 250.方法总结：将实际问题转化为数学问题，再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识进行解答变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 8 题【类型三】 垂径定理的综合应用如图，已知圆 O 的直径 AB 垂直于弦 CD 于点 E，连接 CO 并延长交 AD 于点 F，且CF AD.(1)请证明：点 E 是 OB 的中点；(2)若 AB8，求 CD 的长解析：(1)要证明 E 是 OB 的中点，只要求证 OE OB OC，即 OCE30；(2)在直12
4、12角 OCE 中，根据勾股定理可以解得 CE 的长，进而求出 CD 的长(1)证明：连接 AC，如图，直径 AB 垂直于弦 CD 于点 E， ， AC AD.过AC AD 圆心 O 的直线 CF AD， AF DF，即 CF 是 AD 的垂直平分线， AC CD， AC AD CD，即 ACD 是等边三角形， FCD30.在 Rt COE 中， OE OC， OE OB，点 E 为12 12OB 的中点；(2)解：在 Rt OCE 中， AB8， OC OB AB4.又 BE OE， OE2， CE12 2 ， CD2 CE4 .OC2 OE2 16 4 3 3方法总结：解此类题一般要把半径
5、、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 5 题探究点二：垂径定理的推论【类型一】 利用垂径定理的推论求角的度数如图所示， O 的弦 AB、 AC 的夹角为 50， M、 N 分别是 、 的中点，则AB AC MON 的度数是( )A100 B1103C120 D130解析：已知 M、 N 分别是 、 的中点，由“平分弧的直径垂直平分弧所对的弦”得AB AC OM AB、 ON AC，所以 AEO AFO90，而 BAC50，由四边形内角和定理得 MON360 AEO AFO BAC360909050130.故选 D.变式训练：见
6、学练优本课时练习“课堂达标训练”第 6 题【类型二】 利用垂径定理的推论求边的长度如图，点 A、 B 是 O 上两点， AB10cm，点 P 是 O 上的动点(与 A、 B 不重合)，连接 AP、 BP，过点 O 分别作 OE AP 于 E， OF PB 于 F，求 EF 的长解析：运用垂径定理先证出 EF 是 ABP 的中位线，然后运用三角形中位线性质把要求的 EF 与 AB 建立关系，从而解决问题解：在 O 中， OE AP， OF PB， AE PE， BF PF， EF 是 ABP 的中位线， EF AB 105(cm)12 12方法总结：垂径定理虽是圆的知识，但也不是孤立的，它常和三
7、角形等知识综合来解决问题，我们一定要把知识融会贯通，在解决问题时才能得心应手变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 2 题【类型三】 动点问题如图， O 的直径为 10cm，弦 AB8cm， P 是弦 AB 上的一个动点，求 OP 的长度范围解析：当点 P 处于弦 AB 的端点时， OP 最长，此时 OP 为半径的长；当 OP AB 时， OP最短，利用垂径定理及勾股定理可求得此时 OP 的长解：作直径 MN弦 AB，交 AB 于点 D，由垂径定理，得 AD DB AB4cm.又 O 的12直径为 10cm，连接 OA， OA5cm.在 Rt AOD 中，由勾股定理，得OD 3cm.垂线段最短，半径最长， OP 的长度范围是 3cm OP5cm.OA2 AD2方法总结：解题的关键是明确 OP 最长、最短时的情况，灵活利用垂径定理求解容易出错的地方是不能确定最值时的情况三、板书设计垂径定理1垂径定理2垂径定理的推论4垂径定理是中学数学中的一个很重要的定理，由于它涉及的条件结论比较多，学生容易搞混淆，本节课采取了讲练结合、动手操作的教学方法，课前布置所有同学制作一张圆形纸片，课上利用此纸片探索、体验圆是轴对称图形，并进一步利用圆的轴对称性探究垂径定理，环环相扣、逐层深入，激发学生的学习兴趣，收到了很好的教学效果.
