1、第12讲 椭圆,第12讲 椭圆 1.已知椭圆 + =1(mn0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是以椭圆短轴为直 径的圆上任意一点,则 = .,答案 2n-m,解析 在椭圆 + =1(mn0)中,b2=n,c2=m-n, =( + )( - )=|2-| |2=b2-c2=n-(m-n)=2n-m.,2.椭圆C: + =1的上、下顶点分别为A1,A2,点P在C上且直线PA2斜率的取值 范围是-2,-1,那么直线PA1斜率的取值范围是 .,答案,解析 A1(0, ),A2(0,- ),设P(x,y),则 = = =- .所以 =- .,3.在平面直角坐标系中,椭圆的标准方程为 + =1(a0,b
2、0),右焦点为F,右 准线为l,短轴的一个端点为B,设原点到直线BF的距离为d1,F到l的距离为d2.若 d2= d1,则椭圆C的离心率为 .,答案,解析 由题意,得l:x= ,d2= -c= .由等面积法可求得d1= .若d2= d1,则 = .整理,得 a2-ab- b2=0.两边都除以a2,得 + - =0.所以 = . 所以离心率e= = .,答案 -,解析 设椭圆C2: + =1.根据题意,得b=2, a2=a2-4,所以a2=16.所以椭圆C2 的方程为 + =1,A(t,2 ),B .又N(2,0),ANOB,则AN和OB的 斜率相同,即 = .解得t=- .,题型一 椭圆的定义
3、,例1 定圆M:(x+ )2+y2=16,动圆N过点F( ,0)且与圆M相切,记圆心N的轨迹 为E. (1)求轨迹E的方程; (2)设点A,B,C在E上运动,A与B关于原点对称,且|AC|=|BC|,当ABC的面积最 小时,求直线AB的方程.,解析 (1)F( ,0)在圆M:(x+ )2+y2=16内, 圆N内切于圆M. |NM|+|NF|=4|FM|,点N的轨迹E为焦点在x轴上的椭圆,且2a=4,c= ,a= 2,b=1, 轨迹E的方程为 +y2=1. (2)当AB为长轴(或短轴)时,SABC=2. 当直线AB的斜率存在且不为0时, 设直线AB的方程为y=kx.,由 解得 = , = . |
4、OA|2= + = . 将上式中的k替换为- ,得|OC|2= . SABC=2SAOC=|OA|OC| = = . ,= ,当且仅当1+4k2=k2+4,即k=1时,等号成立, 此时ABC的面积最小,SABC . 2 ,ABC面积的最小值是 , 此时直线AB的方程为y=x或y=-x.,【方法归纳】 利用椭圆的定义可以将椭圆上的点到两个焦点的距离进行 转化.一般地,解决与到焦点的距离有关的问题时,首先应考虑用定义来解题, 求椭圆的标准方程主要有定义法和待定系数法,有时还可根据已知条件选用 代入法.,1-1 已知椭圆C: + =1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为 ,过 F2的直线
5、l交C于A,B两点.若AF1B的周长为4 ,则C的方程为 .,答案 + =1,解析 由椭圆的定义可知,AF1B的周长为4a,所以4a=4 ,a= .又由e= =,得c=1.所以b2=a2-c2=2.所以C的方程为 + =1.,题型二 直线与椭圆的位置关系,例2 (2018扬州高三考前调研)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C: + =1(a b0)的短轴长为2 ,离心率为 . (1)求椭圆C的方程; (2)已知A为椭圆C的上顶点,点M为x轴正半轴上一点,过点A作AM的垂线AN, 与椭圆C交于另一点N,若AMN=60,求点M的坐标.,解析 (1)因为椭圆C的短轴长为2 ,离心率为 , 所以 又a2=
6、b2+c2,解得 所以椭圆C的方程为 + =1. (2)因为A为椭圆C的上顶点,所以A(0, ). 因为M为x轴正半轴上一点,所以直线AM的斜率存在且小于0.又 ANAM,所 以AN的斜率存在且大于0,设直线AN的方程为y=kx+ (k0),则直线AM的方程为y=- x+ .由 消去y, 可得(3k2+1)x2+6 kx=0. 解得xN= .所以|AN|= |xN|= . 在y=- x+ 中,令y=0,可得xM= k, 所以|AM|= . 在RtAMN中,由AMN=60,得|AN|= |AM|. 所以 = (k0).解得k= .,所以点M的坐标为 .,【方法归纳】 解决直线与椭圆位置关系的相关
7、问题,其常规思路是先把直 线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解 决相关问题,涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决,往往会更简单.,2-1 (2018南京、盐城高三模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C: +=1(ab0)的下顶点为B,点M,N是椭圆上异于点B的动点,直线BM,BN分别 与x轴交于点P,Q,且点Q是线段OP的中点,当点N运动到点 处时,点Q 的坐标为 . (1)求椭圆C的标准方程; (2)设直线MN交y轴于点D,当点M,N均在y轴右侧,且 =2 时,求直线BM的,方程.,解析 (1)由N ,Q ,得直线NQ的方程为y= x- .令x=0,得点
8、B的坐 标为(0,- ). 所以椭圆的方程为 + =1.将点N的坐标 代入, 得 + =1,解得a2=4. 所以椭圆C的标准方程为 + =1. (2)设直线BM的斜率为k(k0),则直线BM的方程为y=kx- . 在y=kx- 中,令y=0,得xp= ,而点Q是线段OP的中点,所以xQ= .所以直线 BN的斜率kBN=kBQ=2k.,联立 消去y,得(3+4k2)x2-8 kx=0.解得xM= .用2k代换k,得xN=.又 =2 , 所以xN=2(xM-xN),得2xM=3xN.故2 =3 . 又k0,解得k= .所以直线BM的方程为y= x- . 故直线BM的方程为y= x- .,题型三 椭
9、圆与圆的综合,例3 (1)(2018江苏,18)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C过点 ,焦点 为F1(- ,0),F2( ,0),圆O的直径为F1F2.,(1)求椭圆C及圆O的方程; (2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P. 若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标;,直线l与椭圆C交于A,B两点,若OAB的面积为 ,求直线l的方程.,解析 (1)因为椭圆C的焦点为F1(- ,0),F2( ,0),所以 可设椭圆C的方程为 + =1(ab0).又点 在椭圆C上,所以解得 所以椭圆C的方程为 +y2=1. 因为圆O的直径为F1F2,所以其方程为x2+y2=3. (2)设直线l与
10、圆O相切于P(x0,y0)(x00,y00), 则 + =3.,所以设直线l的方程为y=- (x-x0)+y0,即y=- x+ . 由 消去y,得(4 + )x2-24x0x+36-4 =0.(*) 因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,且 + =3,所以=(-24x0)2-4(4 + )(36-4 )=48 ( -2)=0. 因为x0,y00,所以x0= ,y0=1. 因此,点P的坐标为( ,1).,如图,因为OAB的面积为 ,所以 |AB|OP|= ,从而|AB|= .设A(x1, y1),B(x2,y2). 由(*)得x1,2= .,所以|AB|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=
11、. 因为 + =3,所以|AB|2= = , 即2 -45 +100=0. 解得 = ( =20舍去),则 = .因此,点P的坐标为 .综上,直线l的方 程为y=- x+3 .,【方法归纳】 对于圆与椭圆这类问题的求解,首先,要注意理解直线和圆、 椭圆等基础知识及其联系,其次,要对问题的条件进行全方位的审视,特别是 题中各个条件之间的相互关系及隐含条件,再次,要掌握解决问题常用的思想 方法,如数形结合,化归与转化等思想方法.对于某些涉及线段长度关系的问 题,可以通过解方程、求坐标,用距离公式计算长度的方法来解,也可以利用 一元二次方程,使相关的点的同名坐标为方程的根,由根与系数的关系求出两 根
12、间的关系或者有关线段长度间的关系,从而解决问题.,3-1 (2018江苏盐城高三模拟)如图,已知F1,F2分别是椭圆C: + =1(ab0) 的左、右焦点,点P(-2,3)是椭圆C上一点,且PF1x轴. (1)求椭圆C的方程; (2)设圆M:(x-m)2+y2=r2(r0). 设圆M与线段PF2交于两点A,B,若 + = + ,且AB=2,求r的值; 设m=-2,过点P作圆M的两条切线分别交椭圆C于G,H两点(异于点P).试问: 是否存在这样的正数r,使得G,H两点恰好关于坐标原点O对称?若存在,求出r 的值;若不存在,请说明理由.,解析 (1)因点P(-2,3)是椭圆C上一点,且PF1x轴,
13、所以椭圆C的半焦距c=2.,由 + =1,得y= ,所以 = =3.化简,得a2-3a-4=0,解得a=4, 所以b2=12.所以椭圆C的方程为 + =1. (2)因 + = + ,所以 - = - , 即 = . 所以线段PF2与线段AB的中点重合(记为点Q). 由(1)知Q , 因为圆M与线段PF2交于两点A,B, 所以kMQkAB=kMQ =-1.,所以 =-1.解得m=- . 所以|MQ|= = . 故r= = . 由G,H两点恰好关于原点对称,设G(x0,y0),则H(-x0,-y0),不妨设x00, 因为P(-2,3),m=-2,所以两条切线的斜率均存在. 设过点P与圆M相切的直线斜率为k,则切线方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0.,由该直线与圆M相切,得r= ,即k= . 所以两条切线的斜率互为相反数,即kPG=-kPH, 所以 =- .化简,得x0y0=-6,即y0= .代入 + =1, 化简,得 -16 +48=0.解得x0=-2(舍),x0=-2 . 所以y0= . 所以G(-2 , ),H(2 ,- ).所以kPG= = .,所以r= = . 故存在满足条件的r,且r= .,
