1、第11讲 圆锥曲线的基本问题,第11讲 圆锥曲线的基本问题 1.已知双曲线 - =1(a0)的一条渐近线方程为y=2x,则该双曲线的焦距为.,答案 10,解析 由双曲线 - =1(a0)的一条渐近线方程为y=2x,得 =2,解得a=.所以c= =5.故该双曲线的焦距为2c=10.,2.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2=6x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一 点,PAl,A为垂足.若直线AF的斜率k=- ,则线段PF的长为 .,答案 6,解析 易得抛物线y2=6x的焦点F ,准线l:x=- .设P(x0,y0),则 =6x0,A,直线AF的斜率k= =- .解得y0=3 ,则x0= .所以
2、|PF|=x0+ =6.,3.已知椭圆C: + =1的左焦点为F,点M是椭圆C上一点,点N是MF的中点,O 是椭圆的中心,|ON|=4,则点M到椭圆C的左准线的距离为 .,答案,解析 设右焦点为F,则|MF|=2|ON|=8,|MF|=2a-|MF|=10-8=2.设点M到左准线 的距离为d,则 = = ,d= = .,4.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知A,B1,B2分别为椭圆C: + =1(ab0) 的右、下、上顶点,F是椭圆C的右焦点.若B2FAB1,则椭圆C的离心率是 .,答案,解析 由题意,得B2(0,b),F(c,0),B1(0,-b),A(a,0). 由B2FAB1,得 =
3、=- =-1. 所以b2=ac.又b2+c2=a2, 所以e2+e-1=0.又椭圆的离心率e(0,1),所以e= .,5.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线 - =1的焦距为6,则所有满足条件 的实数m构成的集合是 .,答案,解析 由方程 - =1表示双曲线,得m0,a2=2m2,b2=3m.所以c= =. 又双曲线的焦距是6,所以2c=6,c=3.所以2m2+3m=9. 解得m= (-3舍去).故实数m构成的集合是 .,题型一 圆锥曲线的标准方程,例1 (1)(2018南京师大附中高三模拟) 已知双曲线 - =1(a0,b0)的一条 渐近线方程是y=2x,它的一个焦点与抛物线y2=20x 的
4、焦点相同,则双曲线的方 程是 . (2)(2018泰州中学高三月考)已知椭圆C: + =1(ab0)的离心率为 ,右焦 点为F2,点M在圆x2+y2=b2上,且M在第一象限,过点M作圆x2+y2=b2的切线,交椭 圆于P,Q两点.若PF2Q的周长为4,则椭圆C的方程为 .,答案 (1) - =1 (2) + =1,解析 (1)由双曲线 - =1(a0,b0)的一条渐近线方程是y=2x,得 =2.由它 的一个焦点与抛物线y2=20x的焦点(5,0)相同,得c=5.又b2=c2-a2=4a2,则a2=5,b2= 20.所以双曲线的方程是 - =1. (2)如图,由椭圆的离心率为 , 得e= = .
5、又a2=b2+c2,则b2= a2. 设P(x1,y1),Q(x2,y2),x1,x20, 则|PF2|=a- x1,|QF2|=a- x2.,同理|PM|= x1,|QM|= x2, 则PF2Q的周长=|PF2|+|QF2|+|PM|+|QM|=2a=4. 所以a=2,b= .故椭圆C的方程为 + =1.,【方法归纳】 (1)求圆锥曲线标准方程的方法:定义法、待定系数法、几何 性质法;(2)双曲线 - =1(a0,b0)的渐近线方程是y= x,双曲线 - =1 (a0,b0)的渐近线方程是y= x;(3)过圆外一点作圆的切线,切线长一般利用 几何法求解,即在直角三角形中利用勾股定理求解;(4
6、)双曲线中基本量a,b,c 的关系是a2+b2=c2,椭圆中则是a2-b2=c2.,1-1 (2018江苏三校高三模拟)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2- =1(b 0)的一个焦点到一条渐近线的距离为 ,则此双曲线的准线方程为 .,答案 x=,解析 由双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是 ,得b= ,则双曲线x2-=1的准线方程为x= = .,题型二 圆锥曲线的离心率问题,例2 (1)(2018江苏盐城高三模拟)若双曲线 - =1(a0,b0)的两条渐近线 与抛物线y2=4x交于O,P,Q三点,且直线PQ经过抛物线的焦点,则该双曲线的离 心率为 . (2)(2018高考数学模拟)椭圆C:
7、 + =1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,若 椭圆上恰好有6个不同的点P,使得F1F2P为等腰三角形,则椭圆C的离心率 的取值范围是 .,答案 (1) (2) ,解析 (1)因为直线PQ经过抛物线的焦点,所以PQ是抛物线的通径,则P(1,2) 或(1,-2).因为点P在双曲线的渐近线上,所以 =2,双曲线的离心率e= = . (2)由题意,得 e1且e ,故离心率的取值范围为 .,【方法归纳】 (1)求与离心率有关的问题的三种常用方法: 直接法:利用公式直接求解,对于椭圆三个基本量a,b,c,它们之间具有关系a2=b 2+c2;双曲线的三个基本量a,b,c,它们之间具有关系a2+b2=
8、c2,知二求一,可求得 离心率.此种方法适用于已知椭圆、双曲线方程或相关性质的离心率的求解. 构造法:将已知的椭圆、双曲线的几何关系转化为关于基本量a,b,c的方程或 不等式,利用a,b,c的关系和e= 构造出关于e的方程或不等式,通过解方程或 不等式求得离心率的值或取值范围. 数形结合法:利用椭圆、双曲线的性质与图形的直观性,发现图形中的相关几,何关系,建立关于基本量a,b,c的等量关系或不等关系,求解离心率的值或范 围. (2)椭圆上一点P到焦点F的距离是椭圆的焦半径,|PF|a-c,a+c. (3)双曲线的焦点到渐近线的距离为b(b为短半轴长). (4)经过抛物线的焦点且与对称轴垂直的弦
9、是抛物线的通径,长度是2p,经过 椭圆的焦点且与长轴垂直的弦是椭圆的通径,长度是 ,经过双曲线的焦点 且与实轴垂直的弦是双曲线的通径,长度是 .,2-1 (2018南通中学高三考前冲刺)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆 +=1(abc)经过点(2,1),则当该椭圆的四个顶点构成的四边形的周长最小 时,椭圆的离心率e的值为 .,答案,解析 由椭圆 + =1(ab0)经过点(2,1),得 + =1.该椭圆的四个顶点 构成的四边形的周长4 =4 =4 4=12,当且仅当 = ,即a2=2b2时取等号.联立,解得a2=6, b2=3,c2=3.所以则椭圆的离心率e= = = .,题型三 圆锥曲线与圆
10、的简单综合,例3 在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2=2px(p0)的上半支(y0)与圆(x-2)2 +y2=3相交于A,B两点,直线y=x恰好经过线段AB的中点,则p的值为 .,答案,消去y,得x2+(2p-4)x+1=0,则x1+x2=4-2p,x1x2=1.又直线y=x恰好经 过线段AB的中点,则AB的中点为D(2-p,2-p).又圆心C(2,0), 则直线CD的斜率kCD= .,解析 设A(x1, ),B(x2, ).联立抛物线与圆的方程,得,因为( + )2=x1+x2+2 =4-2p+2=6-2p, 所以 + = ,直线AB的斜率kAB= = = = .由垂径定理,可 得CDAB
11、,则kCDkAB= = =-1,02,故舍去 .,【方法归纳】 直线与圆的位置关系一般利用几何法,即比较圆心到直线的 距离d与圆的半径r的大小,若d=r,则直线与圆相切,反之也成立.同时要注意圆 的几何性质在解题中的应用,如垂径定理等.,3-1 (2018盐城中学高三数学阶段性检测)若双曲线 - =1(a0,b0)的离 心率为3,其渐近线与圆x2+y2-6y+m=0相切,则m的值是 .,答案 8,解析 由双曲线的离心率为3,得c=3a. 所以 = =2 , 则双曲线的渐近线方程是y=2 x.,又y=2 x与圆x2+y2-6y+m=0相切, 且圆心(0,3)到渐近线的距离d= =1, 则半径 =1,m=8.,
