1、第2讲 三角函数的图象及性质,1.将函数f(x)=cosx图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再 将所得到的图象向右平移 个单位长度得到函数g(x)的图象,则g(x) = .,第2讲 三角函数的图像及性质,答案 cos,解析 将函数f(x)=cos x图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不 变),再将所得到的图象向右平移 个单位长度得到函数g(x)=cos = cos 的图象.,2.(2018江苏南京期中)已知函数f(x)= sin ,xR,若f(x)在区间 上的最大值和最小值分别为a,b,则a+b的值为 .,答案 -1,解析 x ,2x- ,sin ,则a= ,b=-
2、1,a+b= -1.,3.(2018江苏苏州期中)已知函数f(x)=sin ,若对任意的实数,都存在唯一的实数0,m,使f()+f()=0,则实数m的最小值是 .,答案,解析 对任意的实数 ,总有f() , f() ,2k- +2k,kZ, +2k +2k,kZ,存在唯一的实数0,m,则实数m 的最小值是 .核心题型突破,题型一 利用y=Asin(x+)+B研究三角函数的性质,例1 (2018苏州调研) 已知函数f(x)=( cos x+sin x)2-2 sin 2x. (1)求函数f(x)的最小值,并写出f(x)取得最小值时自变量x的取值集合; (2)若x ,求函数f(x)的单调增区间.,
3、解析 (1)f(x)=( cos x+sin x)2-2 sin 2x =3cos2x+2 sin xcos x+sin2x-2 sin 2x = + - sin 2x =cos 2x- sin 2x+2=2cos +2,当2x+ =2k+(kZ),即x=k+ (kZ) 时,f(x)取得最小值0. 此时,自变量x的取值集合为.,(2)因为f(x)=2cos +2, 令+2k2x+ 2+2k(kZ), 解得 +kx +k(kZ),又x , 令k=-1,x ,令k=0,x , 所以函数f(x)的单调增区间为 和 .,【方法归纳】 (1)函数y=Asin(x+)+B称为三角函数的标准形式,若所给三
4、角函数解析式能利用三角公式化为标准型,首先要化为标准形式,再结合正弦 函数图象研究函数性质;(2)求三角函数在给定区间上的单调区间,首先求三 角函数在R上的单调区间,再与所给区间取交集,最后注意单调区间的写法,必 须写区间,且中间用“逗号”或“和”隔开,不能用“”.,1-1 (2018常州教育学会学业水平检测)设函数f(x)=sin +cos(-x),其 中03, f =0. (1)求函数f(x)的最小正周期及单调增区间; (2)将函数f(x)的图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到 的图象向左平移 个单位长度,得到函数g(x)的图象,求g(x)在 上的值 域.,解析 (1)
5、f(x)=sin +cos(-x)= sin x- cos x-cos x= sin x- cos x= sin , f =0, - =k,kZ,即=6k+2,kZ. 又03,=2, f(x)的最小正周期T= =, f(x)= sin .由2k- 2x- 2k+ ,kZ,得k- xk+ ,kZ.,f(x)的单调增区间为 ,kZ. (2)由题意知,g(x)= sin = sin . x ,x- , sin ,g(x) , 即g(x)在 上的值域为 .,题型二 由三角函数的局部图象求解析式并研究其性质,例2 (2018江苏扬州中学阶段测试)已知函数f(x)=Asin (A0,0)的 部分图象如图所
6、示. (1)求A和的值; (2)求函数y=f(x)在0,的单调增区间; (3)若函数g(x)=f(x)+1在区间(a,b)上恰有10个零点,求b-a的最大值.,解析 (1)由图象可得A=2, = - = ,则=2,所以f(x)=2sin . (2)令- +2k2x+ +2k,kZ,得- +kx +k,kZ, 又x0,所以函数y=f(x)在0,的单调增区间为 和 . (3)令 g(x)=0,则f(x)=2sin =-1,得x=k+ 或x=k+ (kZ), 函数f(x)在每个周期上有两个零点,所以共有5个周期, 所以b-a的最大值为5T+ = .,【方法归纳】 (1)由正弦函数或余弦函数的局部图象
7、求解析式时,依据各个 量的几何意义求解,如A是振幅,若函数的最大值是M,最小值是m,则A= ; 的求解一般利用周期公式,即对正弦函数或余弦函数都有|= ;为初相, 一般由最高点或最低点代入求解;(2)简单的三角方程或三角不等式求解,要 结合正弦函数、余弦函数的图象,同时注意考虑所有可能情况,避免漏解.,2-1,(2018江苏南京期末)已知函数 f(x)=Asin(x+)(A0,0,0) 的图象如图 所示.,(1)求A,的值; (2)若x ,求f(x)的值域.,解析 (1)设函数f(x)的最小正周期为T, 由图象知,A=2, T= - = ,所以周期T=, 从而= =2. 因为函数图象过点 ,所
8、以sin =1. 因为0,所以- - + , 所以- += , 解得= .因此 A=2,=2,= . (2)由(1)知 f(x)=2sin .,因为x ,所以- 2x+ , 所以- sin 1,从而函数f(x)的值域为- ,2.,题型三 三角函数的图象与三角恒等变换的综合问题,例3 (2018江苏扬州调研)下图是函数f(x)=Asin(x+) 在 一个周期内的图象.已知点P(-6,0),Q(-2,-3)是图象上的最低点,R是图象上的最 高点. (1)求函数f(x)的解析式; (2)记RPO=,QPO=(,均为锐角),求tan(2+)的值.,解析 (1)因为图象在一个周期内的最低点为Q(-2,-
9、3),与x轴的交点为P(-6,0), 所以A=3,T=4(-2+6)=16. 又T= ,所以= , 所以f(x)=3sin . 将点Q(-2,-3)的坐标代入,得-3=3sin , 所以- +=- +2k,kZ, 所以=- +2k,kZ,又 ,所以=- , 所以f(x)=3sin . (2)点R的横坐标xR=xQ+ T=-2+8=6,所以R(6,3). 因为,均为锐角,所以tan = ,tan = , 所以tan 2= = = ,所以tan(2+)= = = .,【方法归纳】 正弦函数、余弦函数的图象与x轴的交点是函数图象的对称 中心,过最高点或最低点且与x轴垂直的直线是函数图象的对称轴,相邻
10、的对 称中心与对称轴之间的距离等于 T(其中T为函数的最小正周期),相邻对称 轴之间的距离等于 T,相邻对称中心之间的距离等于 T.,3-1 (2018江苏盐城期中)设函数f(x)=Asin(x+) 其中A,为常数且A0, 0,- 的部分图象如图所示,若f()= ,则f 的值为 .,答案,解析 由函数f(x)的图象知,A=2, 由T=2 =2,得= =1,f(x)=2sin(x+). 又f(x)=2sin =2, 且- , =- ,f(x)=2sin . f()=2sin = ,sin = .又0 , - - , cos = = , f =2sin =2sin =2sin cos +2cos sin =2 +2 = .,
