1、高考大题增分专项五 高考中的解析几何,-2-,从近五年的高考试题来看,圆锥曲线问题在高考中属于必考内容,并且常常在同一份试卷上多题型考查.对圆锥曲线的考查在解答题部分主要体现以下考法:第一问一般是先求圆锥曲线的方程或离心率等较基础的知识;第二问往往涉及定点、定值、最值、取值范围等探究性问题,解决此类问题的关键是通过联立方程来解决.,-3-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型六,1.判定直线与圆位置关系的两种方法 (1)代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况):0相交,r相离,d=r相切.判定圆与圆位置关系与判定直线与圆位置关系类似(主要掌握几何方法). 2.讨论直线与圆及
2、圆与圆的位置关系时,要注意数形结合,充分利用圆的几何性质寻找解题途径,减少运算量.,-4-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型六,例1已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点. (1)求M的轨迹方程; (2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及POM的面积. 解:(1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4.,因为点P在圆C的内部, 所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.,-5-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型六,(2)由(1)可知M的轨迹是以点
3、N(1,3)为圆心, 为半径的圆. 由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而ONPM.,-6-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型六,对点训练1已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆. (1)证明:坐标原点O在圆M上; (2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.,(1)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.,-7-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型六,(2)解:由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4. 故圆心M的坐标
4、为(m2+2,m),故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0, 即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0. 由(1)可知y1y2=-4,x1x2=4.,-8-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型六,-9-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型六,D:x2+y2=r2(1ar),点A,B在椭圆C上,点E在圆D上,|AE|的最大值和最小值分别为5,1. (1)求椭圆C及圆D的标准方程; (2)已知O为坐标原点,直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,直线AB的斜率等于 ,若四边形OAEB为平行四边形,求k1+k2的值.,解:(1)1ar,椭
5、圆上A到圆上点E的最大值和最小值分别为5,1,-10-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型六,-11-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型六,-12-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型六,(1)求椭圆E的方程; (2)设过点P的动直线l与E相交于M,N两点,当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时,求直线l斜率的取值范围.,解:(1)由题意知ABP是等腰直角三角形,a=2,B(2,0).,-13-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型六,(2)由题意可知,直线l的斜率存在,设方程为y=kx-2,-14-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型六,解得k
6、24,-15-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型六,处理有关圆锥曲线与圆相结合的问题,要特别注意圆心、半径及平面几何知识的应用,如直径对的圆心角为直角,构成了垂直关系;弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形.利用圆的一些特殊几何性质解题,往往使问题简化.,-16-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型六,例3(2018全国,文20)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8. (1)求l的方程. (2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程. 解:(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k0). 设A(x
7、1,y1),B(x2,y2).,因此l的方程为y=x-1.,-17-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型六,(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.,因此所求圆的方程为 (x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.,-18-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型六,点,AB是圆O的任意一条直径,A1AB面积的最大值为2. (1)求椭圆C及圆O的方程; (2)若l为圆O的任意一条切线,且l与椭圆E交于两点P,Q,求|PQ|的取值范围.,解:(1)设B点到x轴的距离为h,-19-,题型
8、一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型六,(2)设直线l方程为y=kx+m,直线为圆的切线,-20-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型六,1.求解定点和定值问题的基本思想是一致的,定值是证明求解的一个量与参数无关,定点问题是求解的一个点(或几个点)的坐标,使得方程的成立与参数值无关.解这类试题时要会合理选择参数(参数可能是直线的斜率、截距,也可能是动点的坐标等),使用参数表达其中变化的量,再使用这些变化的量表达需要求解的解题目标.当使用直线的斜率和截距表达直线方程时,在解题过程中要注意建立斜率和截距之间的关系,把双参数问题化为单参数问题解决. 2.证明直线过定点的基本思想是使用一
9、个参数表示直线方程,根据方程的成立与参数值无关得出x,y的方程组,以方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点.,-21-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型六,例4如图,等边三角形OAB的边长为8 ,且其三个顶点均在抛物线E:x2=2py(p0)上.(1)求抛物线E的方程; (2)设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y=-1相交于点Q,证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点.,-22-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型六,-23-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型六,-24-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型六,(1)求椭圆C的方程及离心率; (2)
10、设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证:四边形ABNM的面积为定值.,(1)解:由题意,得a=2,b=1,-25-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型六,-26-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型六,范围、最值问题的基本解题思想是建立求解目标与其他变量的关系(不等关系、函数关系等),通过其他变量表达求解目标,然后通过解不等式、求函数值域(最值)等方法确定求解目标的取值范围和最值.在解题时要注意其他约束条件对求解目标的影响,如直线与曲线交于不同两点时对直线方程中参数的约束、圆锥曲线上点的坐标范围等.,-27-,题型一,题型二,
11、题型三,题型四,题型五,题型六,(1)求直线AP斜率的取值范围; (2)求|PA|PQ|的最大值.,-28-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型六,-29-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型六,所以|PA|PQ|=-(k-1)(k+1)3. 令f(k)=-(k-1)(k+1)3, 因为f(k)=-(4k-2)(k+1)2,-30-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型六,对点训练5已知动圆Q过定点F(0,-1),且与直线l:y=1相切,椭圆N的对称轴为坐标轴,O点为坐标原点,F是其一个焦点,又点A(0,2)在椭圆N上. (1)求动圆圆心Q的轨迹M的标准方程和椭圆N
12、的标准方程; (2)若过F的动直线m交椭圆N于B,C点,交轨迹M于D,E两点,设S1为ABC的面积,S2为ODE的面积,令Z=S1S2,试求Z的最小值.,-31-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型六,-32-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型六,-33-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型六,-34-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型六,解决直线与圆锥曲线位置关系的存在性问题,往往是先假设所求的元素存在,然后再推理论证,检验说明假设是否正确.,-35-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型六,例6已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3
13、),且点F(2,0)为其右焦点. (1)求椭圆C的方程; (2)是否存在平行于OA的直线l,使得直线l与椭圆C有公共点,且直线OA与l的距离等于4?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由. 思考如何求解圆锥曲线中的探索问题?,-36-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型六,-37-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型六,对点训练6已知中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆,离心率,(1)求椭圆的方程; (2)椭圆左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线l与椭圆交于不同的两点A,B,F1AB的内切圆的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明
14、理由.,-38-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型六,(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),不妨令y10,y20,-39-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型六,-40-,1.直线与圆锥曲线问题的常用解题思路有: (1)从方程的观点出发,利用根与系数的关系来进行讨论,这是用代数方法来解决几何问题的基础.要重视通过设而不求与弦长公式简化计算,并同时注意在适当时利用图形的平面几何性质. (2)以向量为工具,利用向量的坐标运算解决与中点、弦长、角度相关的问题. 2.定点问题是解析几何中的一种常见问题,基本的求解思想是:先用变量表示所需证明的不变量,然后通过推导和已知条件,
15、消去变量,得到定值,即解决定值问题首先是求解非定值问题,即变量问题,最后才是定值问题.,-41-,3.求取值范围的问题时,首先要找到产生范围的几个因素:(1)直线与曲线相交(判别式),(2)曲线上点的坐标的范围,(3)题目中给出的限制条件;其次要建立结论中的量与这些范围中的因素的关系;最后利用函数或不等式求变量的取值范围. 4.解析几何中最值问题的基本解法有几何法和代数法.几何法是根据已知的几何量之间的相互关系,通过平面几何和解析几何知识加以解决(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等);代数法是建立求解目标关于某个或某两个变量的函数,通过求解函数的最值(普通方法、基本不等式方法、导数方法等)解决.,
