1、选修44 坐标系与参数方程,-2-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,6,5,-3-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,6,5,2.极坐标系与极坐标(1)极坐标系:如图所示,在平面内取一个 O,叫做极点,自极点O引一条 Ox,叫做极轴;再选定一个 单位,一个 单位(通常取 )及其正方向(通常取 方向),这样就建立了一个极坐标系. (2)极坐标:设M是平面内一点,极点O与点M的 叫做点M的极径,记为 ;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角 叫做点M的极角,记为 .有序数对 叫做点M的极坐标,记为 .,定点,射线,长度,角度,弧度,逆时针,距离|OM|,xOM,(,),M(,),-4-,知识梳
2、理,双基自测,2,3,4,1,6,5,3.极坐标与直角坐标的互化 (1)设点P的直角坐标为(x,y),它的极坐标为(,),(2)把直角坐标转化为极坐标时,通常有不同的表示法(极角相差2的整数倍).一般取0,0,2).,-5-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,6,5,4.直线的极坐标方程 (1)若直线过点M(0,0),且与极轴所成的角为,则直线的方程为:sin(-)= . (2)几个特殊位置的直线的极坐标方程 直线过极点:=0和 ; 直线过点M(a,0),且垂直于极轴: ;,0sin(0-),=+0,cos =a,sin =b,-6-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,6,5,5.圆的极坐
3、标方程 (1)若圆心为M(0,0),半径为r,则圆的方程为 . (2)几个特殊位置的圆的极坐标方程 圆心位于极点,半径为r:= ; 圆心位于M(a,0),半径为a:= ;,2-20cos(-0)+ 0 2 -r2=0,r,2acos ,2asin ,-7-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,6,5,参数方程,参数,y0+tsin ,-8-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,6,5,a+rcos ,b+rsin ,acos ,bsin ,2pt2,2pt,2,-9-,知识梳理,双基自测,3,4,1,5,答案,-10-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,答案,解析,-11-,知识梳理,双
4、基自测,2,3,4,1,5,3.在极坐标系中,直线cos +sin =a(a0)与圆=2cos 相切,则a= .,答案,解析,-12-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,答案,解析,-13-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,答案,解析,-14-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,自测点评 1.在极坐标系下,点的极坐标不是唯一的,极坐标(,),(,+2k)等表示同一点的坐标.因此曲线上点的极坐标不一定适合曲线的极坐标方程. 2.判断曲线的极坐标方程或曲线的参数方程表示什么曲线时,一般先化为直角坐标方程或普通方程再判断. 3.在极坐标系中判断两曲线的位置关系,或者求两曲线的交点
5、,都是把曲线方程化为直角坐标方程或普通方程后再进行判断或求解.,-15-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考向一 直角坐标方程化为极坐标方程 例1在平面直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C1,C2的极坐标方程; (2)若直线C3的极坐标方程为 (R),设C2与C3的交点为M,N,求C2MN的面积.,思考如何把直角坐标方程化为极坐标方程?,-16-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,-17-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考向二 极坐标方程化为直角坐标方程 例2在极坐
6、标系中,曲线C的极坐标方程为 以极点O为直角坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系. (1)求曲线C的直角坐标方程; (2)设曲线C与x轴、y轴的正半轴分别交于点A,B,P是曲线C上一点,求ABP面积的最大值. 思考如何把极坐标方程化为直角坐标方程?,-18-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,-19-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,-20-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,解题心得1.直角坐标方程化为极坐标方程,只需把公式x=cos 及y=sin 直接代入化简即可. 2.极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形,构造形如cos ,sin ,2的形式,进行整体代换.
7、其中方程的两边同乘(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法.,对点训练1(1)在平面直角坐标系xOy中,圆C1:(x-3)2+y2=9,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C2的圆心的极坐标为 ,半径为1. 求圆C1的极坐标方程; 设圆C1与圆C2交于A,B两点,求|AB|.,-21-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,(2)在极坐标系下,已知圆O:=cos +sin 和直线l:以极点为直角坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系. 求圆O和直线l的直角坐标方程; 当(0,)时,求直线l与圆O公共点的一个极坐标.,-22-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,
8、-23-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,-24-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,(1)写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程; (2)设A(1,0),若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线l的距离相等,求点P的坐标. 思考参数方程与普通方程的互化的基本方法是什么?,-25-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,-26-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,解题心得1.参数方程化为普通方程的基本方法就是消参法,常用的消参技巧有代入消元、加减消元、平方后再加减消元等.对于与角有关的参数方程,经常用到公式sin2+cos2=1;在将曲线的参数方程化为普通方程时,还要注
9、意其中的x,y的取值范围,即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性. 2.直线、圆、圆锥曲线的普通方程有其较为固定的参数方程,只需套用公式即可.,-27-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,(1)若a=-1,求C与l的交点坐标; (2)若C上的点到l距离的最大值为 17 ,求a.,-28-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,-29-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,例4在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为cos =4. (1)M为曲线C1上的动点,点P在线段
10、OM上,且满足|OM|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;,思考在极坐标系中,如何求两点之间的距离?,-30-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,解:(1)设P的极坐标为(,)(0),M的极坐标为(1,)(10).,由|OM|OP|=16得C2的极坐标方程=4cos (0). 因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x0). (2)设点B的极坐标为(B,)(B0). 由题设知|OA|=2,B=4cos ,于是OAB面积,-31-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,解题心得1.在极坐标系中求两点间的距离,可以结合极坐标系刻画点的位置、图形中点的对称等均可求得两点间的
11、距离;也可以利用点的极坐标与直角坐标的互化公式,将点的极坐标转化为直角坐标,然后利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求A,B两点间的距离. 2.在极坐标系中,经过极点的直线上两点A(1,),B(2,)的距离|AB|=|2-1|.,-32-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,(1)写出曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程; (2)若射线OM:=0(0)平分曲线C2,且与曲线C1交于点A,曲线C1上的点B满足AOB= ,求|AB|.,-33-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,-34-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,例5(2018全国,文22)在平面直角坐标系xOy中
12、,O的参数方程,于A,B两点. (1)求的取值范围; (2)求AB中点P的轨迹的参数方程. 思考如何利用直线的参数方程求直线与曲线相交的弦长?,-35-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,解:(1)O的直角坐标方程为x2+y2=1.,-36-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,-37-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,解题心得求直线与圆锥曲线相交所得的弦长,可以利用直线参数方程中t的几何意义,即弦长=|t1-t2|.,-38-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,对点训练4已知直线l在直角坐标系xOy中的参数方程为(t为参数,为倾斜角),在以坐标原点O为极点,x轴正半轴
13、为极轴的极坐标中,曲线C的极坐标方程为=4cos . (1)写出曲线C的直角坐标方程; (2)若曲线C与直线l相交于不同的两点M,N,设P(4,2),求|PM|+|PN|的取值范围.,-39-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,-40-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,-41-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,(1)写出C的普通方程; (2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:(cos +sin )- =0,M为l3与C的交点,求M的极径. 思考求解参数方程与极坐标方程综合问题的一般思路是什么?,-42-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,解:(
14、1)消去参数t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);,-43-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,解题心得求解参数方程与极坐标方程综合问题的一般思路:分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.转化后可使问题变得更加直观,它体现了化归思想的具体运用.当然,还要结合题目本身特点,确定选择何种方程.,-44-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,别与圆C1和圆C2交于不同于原点的点A和B. (1)以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,求圆C1和圆C2的极坐标方程; (2)求C2AB的面积.,-45-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,解:(1)由题意可知,圆C1的
15、直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0,则极坐标方程为=2cos . 由题意可知,圆C2的直角坐标方程为x2+(y-4)2=16, 即x2+y2-8y=0,则极坐标方程为=8sin .,-46-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,1.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化思路:对于简单的我们可以直接代入公式cos =x,sin =y,2=x2+y2,但有时需要作适当的变化,如将式子的两边同时平方,两边同时乘等. 2.要判断极坐标系中曲线的形状,可以先将方程化为直角坐标方程再进行判断. 3.参数方程化普通方程常用的消参技巧:代入消元、加减消元、平方后加减消元等,经常用到公式:cos2+sin2=1,1+tan2= 等.,-47-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,1.极坐标与平面直角坐标不同,极坐标与直角坐标之间不是一一对应的,所以我们规定0,02来使平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的,但仍然不包括极点. 2.在将曲线的参数方程化为普通方程时,不仅仅要把其中的参数消去,还要注意其中x,y的取值范围,也即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性.,
