1、5.4 数系的扩充与复数的引入,-2-,知识梳理,双基自测,2,3,1,1.复数的有关概念,a+bi,a,b,a=c,且b=d,a=c,且b=-d,-3-,知识梳理,双基自测,2,3,1,x轴,-4-,知识梳理,双基自测,2,3,1,2.复数的几何意义,-5-,知识梳理,双基自测,2,3,1,3.复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),则 加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)= ; 减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)= ; 乘法:z1z2=(a+bi)(c+di)= ;,(a+c)+(b+d)i,(a-c)+(b-
2、d)i,(ac-bd)+(ad+bc)i,-6-,知识梳理,双基自测,2,3,1,(2)复数加法的运算定律:复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3C,有z1+z2= ,(z1+z2)+z3= . (3)复数加、减法的几何意义,z2+z1,z1+(z2+z3),2,-7-,知识梳理,双基自测,3,4,1,5,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)若aC,则a20. ( ) (2)已知z=a+bi(a,bR),当a=0时,复数z为纯虚数. ( ) (3)复数z=a+bi(a,bR)的虚部为bi. ( ) (4)方程x2+x+1=0没有解. ( ) (5)由于复数包含实数,
3、在实数范围内两个数能比较大小,因此在复数范围内两个数也能比较大小. ( ),答案,-8-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,2.下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) A.i(1+i)2 B.i2(1-i) C.(1+i)2 D.i(1+i),答案,解析,-9-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,答案,解析,-10-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,4.复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,答案,解析,-11-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,5.(教材习题改编P129TB1)已知(1+2i) =4+
4、3i,则z= .,答案,解析,-12-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,自测点评 1.在复数范围内实数的一些性质不一定成立,无解的一元二次方程在复数范围内都有解,且方程的根成对出现. 2.在复数中,两个虚数或一个为实数,一个为虚数不能比较大小. 3.利用复数相等,如a+bi=c+di列方程时,a,b,c,dR是前提条件.,-13-,考点1,考点2,考点3,例1(1)(2018全国,文2)(1+i)(2-i)=( ) A.-3-i B.-3+i C.3-i D.3+i (2)已知aR,i为虚数单位,若 为实数,则a的值为 . 思考利用复数的四则运算求复数的一般方法是什么?,答案,解析,-
5、14-,考点1,考点2,考点3,解题心得利用复数的四则运算求复数的一般方法: (1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算. (2)复数的除法运算主要是利用分子、分母同乘分母的共轭复数进行运算化简.,-15-,考点1,考点2,考点3,对点训练1(1)已知a,bR,i是虚数单位,若a+i=2-bi,则(a+bi)2=( ) A.3-4i B.3+4i C.4-3i D.4+3i,A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i (3)设复数z满足(z-2i)(2-i)=5,则z=( ) A.2+3i B.2-3i C.3+2i D.3-2i,答案,解析,-16-,考点1,考点2,考点3
6、,p1:|z|=2;p2:z2=2i; p3:z的共轭复数为1+i;p4:z的虚部为-1. 其中正确的是( ) A.p2,p3 B.p1,p2 C.p2,p4 D.p3,p4 (3)已知复数z=(1+2i)(3-i),其中i为虚数单位,则z的实部是 . 思考求解与复数概念相关问题的基本思路是什么?,答案,解析,-17-,考点1,考点2,考点3,解题心得求解与复数概念相关问题的基本思路:复数的分类、复数的相等、复数的模、共轭复数以及求复数的实部、虚部都与复数的实部与虚部有关,所以解答与复数相关概念的问题时,需把所给复数化为代数形式,即a+bi(a,bR)的形式,再根据题意求解.,-18-,考点1
7、,考点2,考点3,对点训练2(1)若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为( )A.2+i B.2-i C.-1+i D.-1-i,答案,-19-,考点1,考点2,考点3,-20-,考点1,考点2,考点3,例3(1)设i是虚数单位,则复数 在复平面内所对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (2)设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2=( ) A.-5 B.5 C.-4+i D.-4-i 思考复数具有怎样的几何意义?几何意义的作用是什么?,答案,-21-,考点1,考点2,考点3,=-1+i,对应点为(-1,1)
8、在第二象限内.故选B. (2)由题意知:z2=-2+i. 又z1=2+i,所以z1z2=(2+i)(-2+i)=i2-4=-5.故选A.,2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观.,-22-,考点1,考点2,考点3,对点训练3(1)已知zi=2-i,则复数z在复平面内对应点的坐标是( ) A.(-1,-2) B.(-1,2) C.(1,-2) D.(1,2) (2)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是( ) A.(-,1) B.(-,-1) C.(1,+) D
9、.(-1,+),答案,解析,-23-,考点1,考点2,考点3,1.复数z=a+bi(a,bR)是由它的实部和虚部唯一确定的,两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法.对于一个复数z=a+bi(a,bR),既要从整体的角度去认识它,把复数看成一个整体,又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识. 2.在复数的几何意义中,加法和减法对应向量的三角形法则,其方向是应注意的问题,平移往往和加法、减法相结合. 3.在复数的四则运算中,加、减、乘运算按多项式运算法则进行,除法则需分母实数化.,-24-,考点1,考点2,考点3,1.判定复数是不是实数,仅注意虚部等于0是不够的,还需考虑它的实
10、部是否有意义. 2.注意复数和虚数是包含关系,不能把复数等同为虚数,如虚数不能比较大小,但两个复数都为实数时,则可以比较大小. 3.注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来.例如,若z1,z2C, =0,就不能推出z1=z2=0;z20在复数范围内有可能成立.,-25-,思想方法数形结合的思想在复数中的应用 数形结合的思想是高考考查的基本思想之一,它是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来,可将代数问题几何化,几何问题代数化.其应用有两个方面:一是“以形助数”,借助形的生动、直观来阐明数之间的联系;二是“以数辅形”,借助数的精确、规范来阐明形的某些属性.,-26-,反思提升复数与复平面内的点和向量一一对应,要注意: (1)|z|=|z-0|=a(a0)表示复数z对应的点到原点的距离为a; (2)|z-z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离.,
