1、专题三 突破解答题之 2函数与图象,函数及其图象是初中数学的重要内容.函数关联着丰富的几何知识，且与许多知识有深刻的内在联系，又是进一步学习的基础，所以，以函数为背景的问题，题型多变，可谓函数综合题长盛不衰，实际应用题异彩纷呈，图表分析题形式多样，开放、探索题方兴未艾，函数在中考中占有重要的地位.函数与图象常用的数学思想有数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想等.中考时常见的题型有图象信息题、代数几何综合题、函数探索开放题、函数创新应用题等.应用以上数学思想解决函数问题的题目是中考压轴题的首选.,函数图象和性质例 1：(2017 年湖南邵阳)如图 Z3-1 所示的函数图象反映的 过程是：小
2、徐从家去菜地浇水，又去玉米地除草，然后回家，其中 x 表示时间，y 表示小徐离他家的距离.读图可知菜地离小,徐家的距离为(,),图 Z3-1,A.1.1 千米,B.2 千米,C.15 千米,D.37 千米,思路分析小徐第一个到达的地方应是菜地，也应是第一次路程不再增加的开始，所对应的时间为 15 分，路程为 1.1 千米.,解析：由图象可以看出菜地离小徐家 1.1 千米.答案：A,名师点评本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确,理解函数图象横纵坐标表示的意义是解题关键.,A,B,C,D,在第一象限有一个公共点，b0.交点横坐标为 1，abcb.ac0.ac0.一次函数 ybxac 的图象经过
3、第一、三、四象限.答案：B名师点评考查了一次函数的图象，反比例函数的性质，二次函数的性质，关键是得到 b0，ac0.,函数解析式的求法,图 Z3-2,解：四边形 DOBC 是矩形，且点 D(0,4)，B(6,0)，点 C 坐标为(6,4).点 A 为线段 OC 的中点，点A坐标为(3,2).k1326.,名师点评本题主要考查待定系数法求反比例函数与一次函数解析式，关键是正确确定点的坐标.,(1)求 k 的值；(2)点 B 的横坐标为 4 时，求ABC 的面积；(3)双曲线上是否存在点B，使ABCAOD？若存在，求出点 B 的坐标；若不存在，,请说明理由.,图 Z3-3,代数几何综合题,(2)作
4、 CMAB 于 M，如图 Z3-4，图 Z3-4,点 B 的横坐标为 4，,(3)不存在.理由如下：ABCAOD，而AOD 为等腰直角三角形，ABC 为等腰直角三角形，ACB90.,不构成三角形，故不存在.名师点评此题是代数知识(解二元一次方程组与一次函数的关系)及几何知识(三角形相似、勾股定理)相结合的代数几何题.解决此类题的关键是能求出点的坐标并理解点的横纵坐标的几何意义，再结合几何知识解决问题.,函数探索开放题,例 5：如图 Z3-5，直线 AB 的解析式为 y2x4，交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，以 A 为顶点的抛物线交直线 AB 于点 D，交 y 轴负半轴于点 C(0，4)
5、.,(1)求抛物线的解析式；,(2)将抛物线顶点沿着直线 AB 平移，此时顶点记为 E，与 y,轴的交点记为 F，,求当BEF 与BAO 相似时，E 点坐标；,记平移后抛物线与 AB 另一个交点为 G，则SEFG与SACD,是否存在 8 倍的关系？若有请直接写出 F 点的坐标.,图 Z3-5,解：(1)直线 AB 的解析式为 y2x4，令 x0，得 y4；令 y0，得 x2.A(2,0)，B(0,4).,抛物线的顶点为点 A(2,0)，,设抛物线的解析式为 ya(x2)2，,点 C(0，4)在抛物线上，代入上式得44a，解得 a1.,抛物线的解析式为 y(x2)2.,(2)平移过程中，设点 E
6、 的坐标为(m,2m4)，则平移后抛物线的解析式为y(xm)22m4，F(0，m22m4).点 E 为顶点，BEF90.若BEF 与BAO 相似，只能是点 E 作为直角顶点.BAOBFE，,如图Z3-6，过点E 作EHy 轴于点H，则点H 坐标为,H(0,2m4).,图 Z3-6,B(0,4)，H(0,2m4)，F(0，m22m4)，BH|2m|，FH|m2|.,假设存在.,联立抛物线：y(x2)2 与直线 AB：y2x4，可求得,D(4，4).,SEFG与SACD存在8倍的关系， SEFG64或SEFG1. 联立平移抛物线：y(xm)22m4与直线AB：y2x4，可求得G(m2,2m). 点
7、E与点G横坐标相差2，即|xG|xE|2.,如图Z3-7，当顶点E 在y 轴左侧时.,图 Z3-7,|m22m|64或|m22m|1. m22m可取值为64，64,1，1. 当取值为64时，一元二次方程m22m64无解，故m22m64. m22m可取值为64,1，1. F(0，m22m4)， F坐标可取为(0，60)，(0,3)，(0,5). 同理，当顶点E在y轴右侧时，点F为(0,5). 综上所述，SEFG与SACD存在8倍的关系，点F坐标为(0，60)或(0,3)或(0,5).,名师点评本题是二次函数压轴题，涉及运动型与存在型问题，难度较大.第(2)问中，解题关键是确定点 E 为直角顶点，且 BE2EF；第(2)问中，注意将代数式表示图形面积的方法、注意求坐标过程中方程思想与整体思想的应用.,
