1、第2课时,等腰三角形与直角三角形,1.理解等腰三角形的有关概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合.探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个底角相等的三角形是等腰三角形.,2.探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60；探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形(或有一个角是 60的等腰三角形)是等边三角形.,3.探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上.,4.理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个
2、端点的距离相等；反之，到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上.,5.了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形.6.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单,的实际问题.,1.(2017 年浙江丽水)等腰三角形的一个内角为 100，则顶,角的度数是_.,答案：100,2.(2017 年黑龙江绥化)在等腰三角形 ABC 中，ADBC 交,_.,答案：30或 150或 90,3.(2017 年浙江台州)如图 4-2-26，点 P 是AOB 平分线上一点，PDOB，垂足为
3、 D，若 PD2，则点 P 到边 OA 的距,离是(,),图 4-2-26,A.1,B.2,C.,D.4,答案：B,4.(2017 年江西)如图 4-2-27 中的图甲是一把园林剪刀，把它抽象为图乙，其中 OAOB，若剪刀张开的角为 30，则A_度.,图 4-2-27答案：75,5.如图 4-2-28，在ABC 中，ACBC，C90，D 是AB 的中点，DEDF，点 E，F 分别在 AC，BC 上，求证：DEDF.,图 4-2-28,解：如图 D13，连接 CD，,图 D13,C90，D 是 AB 的中点，,ACBC，,CDAB，ACDB45.CDFBDF90.EDDF，,EDF90.,EDC
4、CDF90.EDCBDF.ECDFBD.DEDF.,(续表),等腰(边)三角形的性质与判定,例 1：(2017 年北京)如图 4-2-29，在ABC 中，ABAC，A36，BD 平分ABC 交 AC 于点 D.求证：ADBC.,图 4-2-29,思路分析由等腰三角形性质及三角形内角和定理，可求出ABDA，CBDC.再根据等角对等边，及等量代换即可求解.,CBDC, AABD.ADBDBC.ADBC.,名师点评本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，邻补角的定义等，熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键.,【试题精选】1.(2017 年吉林)如图 4-2-30，在A
5、BC 中，以点 B 为圆心，以 BA 长为半径画弧交边 BC 于点 D，连接 AD.若B40，,C36，则DAC 的度数是(,),图 4-2-30,A.70,B.44,C.34,D.24,答案：C,2.(2017 年湖北鄂州)如图 4-2-31，ABCD，E 为 CD 上一点，射线 EF 经过点 A，ECEA.若CAE30，则BAF,(,),图 4-2-31,A.30,B.40,C.50,D.60,答案：D,3.如图 4-2-32，在ABC 中，ABAC，AD 是 BC 边上的,中线，BEAC 于点 E.求证：CBEBAD.,图 4-2-32,证明：ABAC，AD 是 BC 边上的中线，BEA
6、C，CBECCADC90，CADBAD.CBEBAD.,名师点评解决与等腰三角形相关的计算问题时，一定要分清顶角和底角、底边和腰，适当情况下应该分类讨论，找出正确答案.证明两条线段、两个角相等的常用方法：若它们在同一个三角形中，可利用角证边或用边证角；若它们在不同的三角形中，则通过证两个三角形全等来实现.,角平分线与垂直平分线例 2：(2017 年湖北荆州)如图 4-2-33，在ABC 中，ABAC，A30，AB 的垂直平分线 l 交 AC 于点 D，则CBD 的,度数为(,),图 4-2-33A.30 B.45 C.50 D.75,【思路分析】根据“等边对等角”及三角形的内角和定理，求出C，
7、再根据线段垂直平分线的性质，推得AABD30，由外角的性质求出BDC 的度数，从而得出CBD45.,解析：ABAC，A30，ABCACB75.,AB 的垂直平分线交 AC 于 D，ADBD.,AABD30.BDC60.,CBD180756045.答案：B,例 3：如图 4-2-34，在ABC 中，CD 平分ACB 交 AB 于 点 D，DEAC 于点 E，DFBC 于点 F，且 BC4，DE2， 则BCD 的面积是_.,图 4-2-34,解析：CD 是ACB 的平分线，DEAC，DFBC， DEDF2.,答案：4,易错陷阱角平分线上的点到角的两边的距离相等，注意,必须是垂直距离，否则不成立.,
8、【试题精选】4.(2016 年湖北黄石)如图 4-2-35，线段 AC 的垂直平分线交,),线段 AB 于点 D，A50，则BDC(图 4-2-35A.50 B.100 C.120 D.130答案：B,5.(2016 年浙江湖州)如图 4-2-36，ABCD，BP 和 CP 分别平分ABC 和DCB，AD 过点 P，且与 AB 垂直.若 AD8，则,点 P 到 BC 的距离是(,),图 4-2-36,A.8,B.6,C.4,D.2,答案：C,勾股定理及其应用例 4：(2017 年湖北荆州)九章算术中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺.问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(
9、一丈10 尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部 6 尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为 x 尺，则可列方程为,(,),A.x26(10x)2 B.x262(10x)2 C.x26(10x)2 D.x262(10x)2,【思路分析】根据题意画出图形，设折断处离地面的高度,为 x 尺，再利用勾股定理列出方程即可.,解析：如图 4-2-37，设折断处离地面的高度为 x 尺，则 AB,10x，BC6.,图 4-2-37,在 RtABC 中， AC2BC2AB2，即x262(10x)2.答案：D,【试题精选】,6.小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问
10、题：如图 4-2-38，以往从黄石 A 坐客车到武昌客运站 B，现在可以在 A 坐城际列车到武汉青山站 C，再从青山站 C 坐市内公共汽车到武昌客运站 B.设 AB80 km，BC20 km，ABC120.请你帮助小明解决以下问题：,图 4-2-38,(1)求 A，C 之间的距离；(参考数据 4.6),(2)若客车的平均速度是 60 km/h，市内的公共汽车的平均速度为 40 km/h，城际列车的平均速度为 180 km/h，为了最短时间到达武昌客运站，小明应该选择哪种乘车方案？请说明理由.(不计候车时间),解：(1)过点 C 作 AB 的垂线，交 AB 的延长线于点 E(如图,D14),图
11、D14,选择先乘坐城际列车，再坐市内公共汽车的乘车方案名师点评解决直角三角形问题的关键：一是能熟练运用勾股定理及其逆定理分析与解决实际问题；二是解题时能灵活运用直角三角形的一些性质，如两锐角之间的关系、斜边与斜边上中线的关系；三是当几何问题中给出了线段长度时，往往要构造直角三角形.(如勾股数或添加辅助线将非直角三角形转 化为直角三角形),1.(2014 年广东)如图 4-2-39，ABC 绕点 A 顺时针旋转 45得到 ABC，若BAC90，ABAC ，则图中阴影部分的面积等于_.,图 4-2-39,图 D15,2.(2012 年广东)如图 4-2-40，在ABC 中，ABAC，ABC,72.
12、,(1)用直尺和圆规作ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D；(保,留作图痕迹，不要求写作法),(2)在(1)中作出ABC 的平分线 BD 后，求BDC 的度数.,图 4-2-40,解：(1)如图 D16，BD 即为所求,图 D16,(2)在ABC 中，ABAC，ABC72， A1802ABC18014436. BD 是ABC 的平分线，,BDC 是ABD 的外角，,BDCAABD363672.,3.(2015 年广东)如图 4-2-41，在边长为 6 的正方形 ABCD中，E 是边 CD 的中点，将ADE 沿 AE 对折至AFE，延长EF 交边 BC 于点 G，连接 AG.求 BG 的长.,图 4-2-41,解：在正方形 ABCD 中，ADABBCCD，DB,C90.,将ADE 沿 AE 对折至AFE，,ADAF，DEEF，DAFE90.ABAF，BAFG90.在 RtABG 和 RtAFG 中，,ABGAFG(HL)BGFG.设 BGFGx，则 GC6x.E 为 CD 的中点，CEEFDE3.EG3x.在 RtCEG 中， 32(6x)2(3x)2.解得 x2.BG2.,
