1、,小结与复习,第二章 二次函数,要点梳理,考点讲练,课堂小结,课后作业,一、二次函数的定义,要点梳理,1一般地，如果yax2bxc(a，b，c是常数，a0)，那么y叫做x的二次函数特别地，当a0，bc0时，yax2是二次函数的特殊形式,2二次函数的三种基本形式 (1)一般式：yax2bxc(a，b，c是常数，a0)； (2)顶点式：ya(xh)2k(a0)，由顶点式可以直接写出二次函数的顶点坐标是(h，k)； (3)交点式：ya(xx1)(xx2)(a0)，其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标,a0 开口向上,a 0 开口向下,x=h,(h , k),y最小=k,y最大=k,在对称轴左边,x
2、 y;在对称轴右边, x y,在对称轴左边,x y;在对称轴右边, x y,y最小=,y最大=,二、二次函数的图象和性质,三、二次函数yax2bxc的图象特征与系数a，b，c的关系,四、二次函数图象的平移,任意抛物线ya(xh)2k可以由抛物线yax2经过平移得到，具体平移方法如下：,五、二次函数表达式的求法,1一般式：yax2bxc (a 0) 若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式yax2bxc(a0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值,2顶点式：ya(xh)2k(a0) 若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式ya(xh)2k(a0)，将已知条件代入，求出待
3、定系数的值，最后将解析式化为一般式,3交点式：ya(xx1)(xx2)(a0) 若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式ya(xx1)(xx2)(a0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a的值，最后将解析式化为一般式,六、二次函数与一元二次方程的关系,二次函数yax2bxc的图象和x轴交点有三种情况:有两个交点,有一个交点,没有交点.当二次函数yax2bxc的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2bxc=0的根.,有两个交点,有两个相异的实数根,b2-4ac 0,有一个交点,有两个相等的实数根,b2-4ac = 0,没有交点,
4、没有实数根,b2-4ac 0,七、二次函数的应用,2一般步骤：(1)找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系；(2)列出函数关系式，并确定自变量的取值范围；(3)利用二次函数的图象及性质解决实际问题；(4)检验结果的合理性，是否符合实际意义,1二次函数的应用包括以下两个方面(1)用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题(即最值问题)；(2)利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根及一元二次不等式的解集,考点讲练,例1 抛物线yx22x3的顶点坐标为_,【解析】 方法一：配方，得yx22x3(x1)22，则顶点坐标为(1,2) 方法二：代入公式 ， ， 则顶点坐标为(1,2),(
5、1,2),1对于y2(x3)22的图象下列叙述正确的是( ) A顶点坐标为(3,2) B对称轴为y3 C当x3时，y随x的增大而增大 D当x=3时，y取最大值，为2,C,例2 二次函数yx2bxc的图象如图所示，若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，且x1y2,【解析】由图象看出，抛物线开口向下，对称轴是直线x1，当x1时，y随x的增大而增大x1x21，y1y2 . 故选B.,B,当二次函数的表达式与已知点的坐标中含有未知字母时，可以用如下方法比较函数值的大小： (1)用含有未知字母的代数式表示各函数值，然后进行比较； (2)在相应的范围内取未知字母的特殊值，采用特殊值法求解；
6、 (3)根据二次函数的性质，结合函数图象比较.,针对训练,2.下列函数中，当x0时，y值随x值增大而减小的是（ ）A. y=x2 B.y=x-1 C. D.y=-3x2,D,针对训练,例3 如图是二次函数y=ax2+bx+c(a0)图象的一部分，x= -1是对称轴，有下列判断：b-2a=0；4a-2b+cy2.其中正确的是 （ ）,A B C D,x,y,O,2,x=-1,B,3.已知二次函数y=x22bxc，当x1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ）Ab1 Bb1Cb1 Db1,解析：二次项系数为10，抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当
7、x1时，y的值随x值的增大而减小，抛物线y=x22bxc的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=x22bxc的对称轴 ，即b1，故选择D .,D,针对训练,针对训练,例4 将抛物线yx26x5向上平移 2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线表达式是( ) Ay(x4)26 By(x4)22 Cy(x2)22 Dy(x1)23,【解析】因为yx26x5(x3)24，所以向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的表达式为y(x31)242，即y(x4)22.故选B.,B,4.若抛物线 y=7(x+4)21平移得到 y=7x2，则必须（ ） A.先向左平移4个单位，再向上平
8、移1个单位 B.先向右平移4个单位，再向上平移1个单位 C.先向左平移1个单位，再向下平移4个单位 D.先向右平移1个单位，再向下平移4个单位,B,针对训练,例5:已知关于x的二次函数,当x=1时,函数值为10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函数的表达式.,待定系数法,解：设所求的二次函数为yax2+bxc, 由题意得：,解得, a=2,b=3,c=5., 所求的二次函数表达式为y2x23x5.,5.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=x23x+7的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,请写出满足此条件的抛物线的表达式.,解:抛物线y=ax2+
9、bx+c与抛物线y=x23x+7的形状 相同 a=1或1.又顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5, 顶点为(1,5)或(1,5).所以其解析式为:(1) y=(x1)2+5 (2) y=(x1)25(3) y=(x1)2+5 (4) y=(x1)25,针对训练,例6 若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于x的方程x2+mx=7的解为（ ） Ax1=0，x2=6 Bx1=1，x2=7 Cx1=1，x2=7 Dx1=1，x2=7,【解答】二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3， =3，解得m=6，关于x的方程x2+mx=7可化为x26x7=0， 即(x+1)(x7)=0，解得x1=
10、1，x2=7故选D,D,例7 如图，梯形ABCD中，ABDC，ABC90，A45，AB30，BCx，其中15x30.作DEAB于点E，将ADE沿直线DE折叠，点A落在F处，DF交BC于点G. (1)用含有x的代数式表示BF的长； (2)设四边形DEBG的面积为S，求S与x的函数关系式； (3)当x为何值时，S有最大值？并求出这个最大值,解：（1）由题意，得EF=AE=DE=BC=x,AB=30. BF=2x-30.,（2）F=A=45，CBF=ABC=90， BGF=F=45，BG=BF=2x-30. 所以SDEF-SGBF= DE2- BF2= x2- (2x-30)2= x2+60x-45
11、0.,（3）S= x2+60x-450= (x-20)2+150. a= 0,152030， 当x=20时，S有最大值，最大值为150.,6. 某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数ykxb，且x65时，y55；x75时，y45. (1)求一次函数的表达式； (2)若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？,解：(1)根据题意，得,解得k=-1,b=120.故所求一次函数的表达式为y=-x+120.,(
12、2)W=(x-60)(-x+120)=-x2+180x-7200=-(x-90)2+900,抛物线的开口向下， 当x90时，W随x的增大而增大， 而60x60（1+45%），即60x87, 当x=87时，W有最大值，此时W=-(87-90)2+900=891.,考点八 二次函数与几何的综合,例8 如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2-2x+3上运动过点A作ACx轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为（ ） A1 B2 C3 D4,B,7.如图，抛物线y=x2+bx+c经过点（1，-4）和（-2，5），请解答下列问题： （1）求抛物线的解析式；,解：（1）由题意，得解得所以，该抛物线的解析式为y=x2-2x-3；,（2）若抛物线与x轴的两个交点为A、B，与y轴交于点C在该抛物线上是否存在点D，使得ABC与ABD全等？若存在，求出D点的坐标；若不存在，请说明理由.,（2）抛物线y=x2-2x-3的对称轴为x=1， 图中点C关于x=1的对称点D即为所求， 此时，AC=BD，BC=AD， 在ABC和BAD中，ABCBAD（SSS） 在y=x2-2x-3中，令x=0，得y=-3， 则C（0，-3），D（2，-3）,二次函数,图象画法,抛物线 开口方向,抛物线的顶点坐标和对称轴,二次函数的性质,抛物线的平移,最值,确定解析式,应用,课堂小结,
