1、知识点 用尺规作一个角等于已知角 1.尺规作图的意义 在几何中,只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图.实际上,我们 经常用的是有刻度的直尺和三角板,在严格的尺规作图中,只能用直尺 来画直线,不能用其刻度来度量长度,圆规则用来作圆(或弧)或截取一定 长度的线段.,2.用尺规作一个角等于已知角 尺规作图一般有以下四步: 已知,求作,作法,写出结论. 如图2-4-1,已知AOB,求作AOB,使AOB=AOB.图2-4-1 图2-4-2 作法:作射线OA;,以点O为圆心,任意长为半径画弧,交OA于点C,交OB于点D; 以点O为圆心,OC长为半径画弧,交OA于点C; 以点C为圆心,CD长为半径画弧,
2、交前面的弧于点D; 过点D作射线OB,则AOB就是所求作的角,如图2-4-2.,例 已知1和2,如图2-4-3所示,用尺规作图:画出AOB=1+2,保 留作图痕迹.图2-4-3,分析 先作一个角等于已知的1,以1的一边为一边,在1的外部再 作一个角等于已知的2即可.,解析 如图2-4-4所示, (1)作射线OA; (2)以O为顶点作AOC=1; (3)以点O为顶点,OC为一边在AOC外部作COB=2,则AOB为所 求作的角.图2-4-4,题型 作一个角等于已知角的实际应用 例 如图2-4-5所示,打台球时,母球由A点出发撞击到台球桌边CD的点 O处,请用尺规作图的方法作出母球反弹后的运动方向.
3、(要求:不写作法, 但要保留作图痕迹)图2-4-5,分析 实际上是以OD为一边作一个角等于AOC.,解析 如图2-4-6所示,射线OA的方向就是母球反弹后的运动方向.图2-4-6,点拨 生活中会遇到很多作一个角等于已知角的问题,常用的方法是借 助量角器,但是有些问题需要利用尺规作图解决.,平行线性质与判定综合运用中的逻辑推理 素养解读 逻辑推理是指从一些事实和命题出发,依据规则推出其他命 题的素养.主要包括两类:一类是从特殊到一般的推理,推理形式主要有 归纳、类比;一类是从一般到特殊的推理,推理形式主要有演绎. 逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式,是数学严谨性的 基本保证,是人们在
4、数学活动中进行交流的基本思维品质. 在逻辑推理核心素养的形成过程中,学生能掌握逻辑推理的基本形式, 学会有逻辑地思考问题;能够在比较复杂的情境中把握事物之间的关 联,把握事物发展的脉络;形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质 和理性精神,增强交流能力.,典例剖析 例 (2017山东泰安岱岳期末)如图2-4-7,E=1,3+ABC=180,BE 是ABC的平分线.试说明:DFAB.图2-4-7,解析 BE是ABC的平分线,1=2, E=1,E=2, AEBC, A+ABC=180, 3+ABC=180, A=3, DFAB.,素养呈现 这是一个利用平行线的性质与判定的典型题目,要得到平 行,先说
5、明角的数量关系,要得到角的数量关系,先找平行.由角平分线的 性质和E=1得到E=2,进而判定BC与AE平行,再利用平行线的 性质得出A与ABC互补,再根据3与ABC互补,得到A=3,即 可得到DFAB.,知识点 用尺规作一个角等于已知角 1.下列关于尺规的功能说法不正确的是 ( ) A.直尺的功能:在两点间连接一条线段,将线段向两方延长 B.直尺的功能:可作平角和直角 C.圆规的功能:以任意长为半径,任意点为圆心作一个圆 D.圆规的功能:以任意长为半径,任意点为圆心作一段弧,答案 B 尺规作图中的直尺不含单位长度和角度,不能用直尺作直角, 直尺的功能是作直线、射线或线段.,2.下列作图属于尺规
6、作图的是 ( ) A.用量角器画出AOB的平分线OC B.已知,作AOB,使AOB=2 C.用刻度尺画线段AB=3 cm D.用三角板过点P作AB的垂线,答案 B,3.下列语句是有关几何作图的叙述. 以O为圆心作弧;延长射线AB到点C;作AOB,使AOB=1; 作直线AB,使AB=a;过三角形ABC的顶点C作它的对边AB的平行线.其 中正确的为 (填序号即可).,答案 ,解析 以O为圆心作弧可以画出无数条弧,因为半径不固定,所以叙述 错误;射线AB是由A向B无限延伸的,所以叙述错误;根据作一个角等 于已知角的作法,可以作AOB,使AOB等于1,所以叙述正确;直 线可以向两方无限延伸,所以叙述错
7、误;根据平行公理:过直线外一点 有且只有一条直线与已知直线平行,知可以过三角形ABC的顶点C作它 的对边AB的平行线,所以叙述正确.所以正确的为.,4.如图2-4-1所示,已知,(),求作一个角,使它等于与 的差.图2-4-1,解析 作COB=,在的内部以OB为一边,作AOB=,则 AOC就是所要求作的角,如图所示.,1.如图所示,已知AOB,以OB为边作BOC,使BOC=2AOB,那么下 列说法正确的是 ( )A.AOC=3AOB B.AOC=AOB C.AOCBOC D.AOB=AOC或AOC=3AOB,答案 D 分两种情况讨论.,答案 D 画出的角与已知角是内错角.故选D.,(1)求作A
8、OB,使AOB=+; (2)求作AOB,使AOB=2-.(不写作法,保留作图痕迹),3.如图所示,已知,.,解析 (1)如图所示.AOB即为所求. (2)如图所示.AOB即为所求.,1.已知:线段a,如图2-4-2. 求作:一个三角形,使其两角分别等于,且两角所夹的边长为a.图2-4-2,解析 作法:作线段AB=a;作CAB=,在AB的同侧作CBA= ,两边交于点C.则ABC就是要求作的三角形.如图.,2.如图2-4-3,已知AOB及其两边上的点C,D,过点C作CEOB,过点D作 DFOA,使CE,DF交于点P.图2-4-3,解析 如图,作ACE=O,BDF=O即可,作图痕迹略.,1.只用无刻
9、度直尺就能作出的是 ( ) A.延长线段AB至C,使BC=AB B.过直线l上一点A作l的垂线 C.作已知角的平分线 D.已知点O,P,作射线OP,答案 D 使用的是无刻度的直尺,作图时不能作出BC=AB,所以A不符 合题意;过直线l上一点A作l的垂线时,要有直角三角板、量角器或圆规, 只用无刻度直尺是不能作出垂线的,所以B不符合题意;作已知角的平分 线,需用圆规,只用无刻度直尺是作不出角平分线的,所以C不符合题意; 已知点O,P,作射线OP,可以只用无刻度直尺作出,故选D.,2.如图,点C在AOB的OB边上,用尺规作出了CNOA,作图痕迹中 是 ( )A.以点C为圆心,OD长为半径的弧 B.
10、以点C为圆心,DM长为半径的弧 C.以点E为圆心,OD长为半径的弧 D.以点E为圆心,DM长为半径的弧,答案 D 由CNOA知AOD=NCB,则 是以点E为圆心,DM长为 半径的弧,故选D.,解答题 (2018河北保定十七中期中,25,)已知1,如图2-4-4.求作ABC, 使ABC=21.(不写作法)图2-4-4,解析 如图,ABC为所求作的角.,(2018甘肃景泰四中期中,23,)作图题.(不写作法,保留作图痕迹) 已知:.请你用直尺和圆规画BAC,使BAC=.,解析 BAC为所求作的角.,选择题 1.(2017湖北宜昌中考,4,)谜语:干活两腿脚,一腿勤,一腿懒,一脚 站,一脚转.打一数
11、学学习工具,谜底为 ( ) A.量角器 B.直尺 C.三角板 D.圆规,答案 D 圆规有两只脚,一只脚固定,另一只脚旋转.,图2-4-5,2.(2017广西南宁中考,7,)如图2-4-5,ABC中,ABAC,CAD为 ABC的外角,观察图中尺规作图的痕迹,则下列结论错误的是 ( ) A.DAE=B B.EAC=C C.AEBC D.DAE=EAC,答案 D 根据作图痕迹可知,题图是用尺规作一个角等于已知角,即 DAE=B,进而得到AEBC,从而有EAC=C,故选项A、B、C均正 确;因为ABAC,所以ABCACB,即DAEEAC,故选项D错误.,(2017湖北随州中考,6,)如图,用尺规作图作
12、AOC=AOB的第 一步是以点O为圆心,以任意长为半径画弧,分别交OA、OB于 点E、F,那么第二步的作图痕迹的作法是 ( )A.以点F为圆心,OE长为半径画弧 B.以点F为圆心,EF长为半径画弧 C.以点E为圆心,OE长为半径画弧 D.以点E为圆心,EF长为半径画弧,答案 D,答案 D 作OBF=AOB的作法:以点O为圆心,任意长为半径画 弧,分别交射线OA,OB于点C,D;以点B为圆心,以OC长为半径画弧,交 BO于点E;以点E为圆心,以CD长为半径画弧,交前弧于点F,连接BF即 可得到OBF,则OBF=AOB.由此可知选D.,根据要求,用尺规作图.(不写作法,只需保留作图痕迹)如图,在AD的右 侧作DCP=DAB.,解析 如图.,
