1、知识点 平行线的性质,例 如图2-3-1所示,已知直线ab,直线cd,1=107,求2,3的度数.图2-3-1,解析 因为ab, 所以2=1=107(两直线平行,内错角相等). 因为cd, 所以1+3=180(两直线平行,同旁内角互补), 所以3=180-1=180-107=73.,解析 (1)AED=BAE+CDE. 理由如下: 过点E作EGAB,如图2-3-3. 因为ABCD,所以ABEGCD. 所以AEG=BAE,DEG=CDE, 因为AED=AEG+DEG, 所以AED=BAE+CDE.图2-3-3,(2)因为BAF=2EAF,CDF=2EDF, 所以BAF= BAE,CDF= CDE
2、, 同(1)可得AFD=BAF+CDF. 所以AFD= (BAE+CDE)= AED. 点拨 解决有关图形的计算和推理问题的方法:经过拐点作平行线,沟 通已知角和未知角,从而化“未知”为“可知”.这种方法应熟练掌握. 如“ ”“ ”“ ”型,要引起注意.,知识点 平行线的性质 1.两条平行线被第三条直线所截,不一定相等的角是 ( ) A.对顶角 B.内错角 C.同位角 D.同旁内角,答案 D 两条平行线被第三条直线所截,根据对顶角相等和平行线的 性质可得不一定相等的角是同旁内角.,2.如图2-3-1,已知直线ABCD,且直线EF分别交AB、CD于M、N两点, NH是MND的平分线,若AMN=5
3、6,则MNH的度数为 ( )图2-3-1 A.28 B.30 C.34 D.56,答案 A 因为ABCD,所以MND=AMN=56,又因为NH是MND 的平分线,所以MNH= MND= 56=28.,3.如果两条平行线被第三条直线所截,一对同旁内角的度数之比是27, 那么这两个角分别为 , .,答案 40;140,解析 设其中的一个角为2,则另一个角是7,由题意得2+7=180,所 以=20,所以2=40,7=140.,4.如图2-3-2,小明课间把老师的直角三角板放在黑板的两条平行线a、b 上,已知1=55,则2的度数为 .图2-3-2,答案 35,解析 如图,因为ab,1=55,所以3=1
4、=55. 又因为ACB=90,所以2=180-ACB-3=180-90-55=35.,5.图2-3-3是我们生活中经常接触的小刀,刀柄的外形是一个直角梯形 (下底挖去一小半圆),刀片上、下是平行的,转动刀片时会形成1、 2,则1+2= .图2-3-3,答案 90,解析 如图,因为刀片上、下是平行的, 所以2=3(两直线平行,内错角相等). 因为刀柄的外形是一个直角梯形,所以4=90. 因为1+3+90=180(三角形的内角和为180), 所以1+3=90. 又因为2=3,所以1+2=90(等量代换).,6.如图2-3-4,直尺一边AB与量角器的零刻度线CD平行,若量角器的一条 刻度线OF的读数
5、为70,OF与AB交于点E,那么AEF= 度.图2-3-4,答案 70,解析 直尺的对边互相平行,COF与AEF是同位角,又COF=70, 根据“两直线平行,同位角相等”,得AEF=70.,7.如图2-3-5,A在C的北偏西30方向,B在C的北偏东45方向,A在B的北偏 西70方向,求BAC的度数.图2-3-5,解析 解法一:过点A作AGCF,如图,因为BECF, 所以AGCFBE, 所以GAB=ABE=70,GAC=ACF=30, 所以BAC=GAB-GAC=40. 解法二:因为BECF, 所以EBC+BCF=180,即EBA+ABC+BCF=180, 因为EBA=70,BCF=45, 所以
6、ABC=65, 又因为ACB=ACF+FCB=75, 所以BAC=180-ABC-ACB=40.,8.如图2-3-6,一条铁路到一个村子边时,需拐弯绕道而过,如果第一次拐 的A是105,第二次拐的B是135,第三次拐的角是C,这时的铁路 恰好和第一次拐弯之前的铁路平行,那么C应为多少度?图2-3-6,解析 如图,过点B作BECD.因为CDAF,所以BEAF, 所以ABE=A=105, 所以CBE=ABC-ABE=30, 又因为BECD,所以CBE+C=180, 所以C=150.,解析 垂直的定义;同位角相等,两直线平行; 两直线平行,同位角相等;BAD=2; 内错角相等,两直线平行.,10.如
7、图2-3-8所示,已知1=72,2=108,3=69,求4的度数.图2-3-8,解析 1=72,2=108,1+2=72+108=180,cd,4= 3.3=69,4=69.,1.如果两条平行线被第三条直线所截,那么一组内错角的平分线 ( ) A.互相垂直 B.互相平行 C.互相重合 D.以上均不正确,答案 B 如图,ABCD,BMG=DGM. MN平分BMG,1=2= BMG, GF平分DGM,4=3= DGM. 1=4,MNFG.故选B.,2.如图,三角形ABC的三个顶点分别在直 线a,b上,且ab,若1=120,2=80,则 3的度数是 ( ) A.40 B.60 C.80 D.120,
8、答案 A 因为ab,所以1=2+3=120, 又因为2=80,所以3=120-2=120-80=40.,3.如图,已知1=2=3=55,则4的度数是 ( )A.110 B.115 C.120 D.125,答案 D 如图,1=2,2=5,1=5(等量代换), ab(同位角相等,两直线平行). 3+6=180(两直线平行,同旁内角互补). 6=180-3=125,4=6=125(对顶角相等).,4.一条公路两次转弯后又回到原来的方向(即ABCD),如图,如果第一 次转弯时的B=140,那么C应是 .,答案 140,解析 若ABCD,则有C=B=140.,5.如图,直线ADBE,AC、BC分别平分B
9、AD、ABE,CAD=55,则 CBE= .,答案 35,解析 ADBE,DAB+ABE=180, AC、BC分别平分BAD、ABE, DAB=2CAD=110,ABE=2CBE, ABE=180-DAB=70, CBE= ABE=35.,6.如图,ABCD,ADBC,B和D相等吗?为什么?,解析 B和D相等. 因为ABCD,ADBC(已知), 所以A+D=180,A+B=180(两直线平行,同旁内角互补),所以 B=D(同角的补角相等).,1.如图2-3-9,直线abc,直角BAC的顶点A在直线b上,两边分别与直 线a,c相交于点B,C,则1+2的度数是 ( )图2-3-9 A.180 B.
10、210 C.270 D.360,答案 C 如图,abc,2+4=180,1+3=180,1+2 +3+4=360.BAC是直角,3+4=90,1+2+90=360, 1+2=270,故选C.,2.如图2-3-10,四边形ABCD中,点M,N分别在AB,BC上,将BMN沿MN翻 折,得FMN,若MFAD,FNDC,则B= .图2-3-10,答案 95,解析 MFAD,BMF=A=100,由翻折的性质得BMN= BMF=50.同理,BNM= BNF=35.则B=180-50-35=95.,3.如图2-3-11,如果DEAB,那么A+ =180或B+ = 180,根据是 ;如果CED=FDE,那么
11、,根据是 .图2-3-11,答案 AED;BDE;两直线平行,同旁内角互补;DF;AC;内错角相等, 两直线平行,4.如图2-3-12,已知BAE+AED=180,AM平分BAE,EN平分AEC, 试说明:M=N.图2-3-12,解析 因为BAE+AED=180, 所以GBCD, 所以BAE=AEC. 又因为AM平分BAE,EN平分AEC, 所以MAE= BAE,AEN= AEC. 所以MAE=AEN,所以AMNE,所以M=N.,5.如图2-3-13,一条公路修到湖边时,需拐弯绕湖而过,如果第一次拐弯的 角A=110,第二次拐弯的角B=150,第三次拐弯的角为C,这时的 道路恰好和第一次拐弯前
12、的道路平行,求C的度数.图2-3-13,解析 如图,过点B作MNAE,所以ABM=A=110. 所以MBC=ABC-ABM=150-110=40. 由题意可知AECF,所以MNCF, 所以C=180-MBC=180-40=140.,1.如图,已知:ABDE,1=2,直线AE与DC平行吗?请说明理由.,解析 AEDC.理由:ABDE(已知), 1=AED(两直线平行,内错角相等), 又1=2(已知), 2=AED(等量代换), AEDC(内错角相等,两直线平行).,2.如图,潜望镜中的两个镜子是互相平行放置的,光线经过镜子反射时, 有1=2,3=4.请说明为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的 光
13、线是互相平行的.,解析 因为两个镜子是平行放置的,所以2=3,又因为1=2,3= 4,所以180-(1+2)=180-(3+4),即5=6,因此进入潜望镜 的光线和离开潜望镜的光线是平行的.,3.如图所示,ABCDEF,BCDE,B=70,则E的度数为多少?,解析 因为ABCDEF, 所以B=C,E=D(两直线平行,内错角相等). 又BCDE, 所以C+D=180(两直线平行,同旁内角互补). 所以B+E=180(等量代换). 因为B=70, 所以E=180-B=180-70=110.,一、选择题 1.(2017福建南平育才中学期末,1,)如图2-3-14,ABEF,则A、 C、D、E满足的数
14、量关系是 ( )图2-3-14 A.A+C+D+E=360 B.A+D=C+E C.A-C+D+E=180 D.E-C+D-A=90,二、填空题 2.(2018山西太原知达常青藤学校调研,13,)如图2-3-15,点D是ABC外的一点,CDAB,CB平分ACD.若A=40,则B的度数为 .图2-3-15,答案 70,解析 CDAB, A+ACD=180, ACD=180-A=180-40=140, CB平分ACD,BCD=70,B=BCD=70.,ABCDGH(已知), 1=3, 2=4( ). ABCD(已知), BEF+( )=180( ). 又EG平分BEF,FG平分EFD(已知), 1
15、= BEF, 2= EFD( ). 1+2= ( + ). 1+2=90, 3+4=90,即EGF=90.,解析 两直线平行,内错角相等;EFD;两直线平行,同旁内角互补;角平 分线的定义;BEF;EFD.,4.(2016山东夏津双语中学月考,23,)已知,如图2-3-17,CDAB, GFAB,B=ADE,试说明:1=2.图2-3-17,解析 B=ADE(已知), DEBC(同位角相等,两直线平行), 1=DCB(两直线平行,内错角相等). CDAB,GFAB,BDC=90,BFG=90, CDFG(同位角相等,两直线平行), 2=DCB(两直线平行,同位角相等). 1=2(等量代换).,1
16、.(2018广东河源正德中学周测,3,)如图,把一块直角三角板的直 角顶点放在直尺的一边上,若1=35,则2等于 ( )A.55 B.45 C.35 D.65,答案 A 2=90-1=90-35=55.,2.(2017北京四中月考,1,)如图所示,直线AB、CD被直线EF所截, 若ABCD,1=100,则2的大小是 ( )A.10 B.50 C.80 D.100,答案 C ABCD,3=1=100,2=180-3=80,故选C.,3.(2017江苏南京师大附中期中,14,)如图,直线ab,直线l与a相交 于点P,与直线b相交于点Q,且PM垂直于l,若1=58,则2= .,答案 32,解析 如图
17、,ab,3=1=58,又PMl,4=90,2=180- 3-4=32,故答案为32.,4.(2016江苏淮阴中学期末,21,)如图,已知CDAB,垂足为点D,点 F是BC上异于B、C的任意一点,FEAB,垂足为点E,且1=2=30,3 =84,求4的度数.,解析 因为CDAB(已知),FEAB(已知),所以EFCD(同一平面内,垂 直于同一条直线的两直线平行),所以2=DCB(两直线平行,同位角相 等),又因为1=2(已知),所以1=DCB(等量代换),所以DHBC(内 错角相等,两直线平行),所以3=ACB(两直线平行,同位角相等),所以 4=3-DCB=84-30=54.,一、选择题 1.
18、(2018山东菏泽中考,3,)如图2-3-18,直线ab,等腰直角三角板 的两个顶点分别落在直线a、b上,若1=30,则2的度数是 ( )图2-3-18 A.45 B.30 C.15 D.10,答案 C 如图,ab, 1+3+4+2=180, 1=30,3=45,4=90, 2=15.故选C.,2.(2018广东深圳中考,8,)如图2-3-19,直线a,b被c,d所截,且ab,则 下列结论中正确的是 ( )图2-3-19 A.1=2 B.3=4 C.2+4=180 D.1+4=180,答案 B ab,3=4.,3.(2018贵州安顺中考,4,)如图2-3-20,直线ab,直线l与直线a,b分
19、别相交于A、B两点,过点A作直线l的垂线交直线b于点C,若1=58,则 2的度数为 ( )图2-3-20 A.58 B.42 C.32 D.28,答案 C ACBA, BAC=90, ACB=90-1=90-58=32. 直线ab, ACB=2, 2=ACB=32. 故选C.,4.(2018山东潍坊中考,5,)把一副三角板放在同一水平桌面上,摆 放成如图2-3-21所示的形状,使两个直角顶点重合,两条斜边平行,则1 的度数是 ( )图2-3-21 A.45 B.60 C.75 D.82.5,答案 C 如图所示,过点C作CFAB,ACF=A=45, ABDE,CFDE, DCF=D=30. 1=
20、ACF+DCF=45+30=75.,图2-3-22,二、填空题 5.(2017广西贵港中考,15,)如图2-3-22, ABCD,点E在AB上,点F在CD上,如果CFE EFB=34,ABF=40,那么BEF的度数为.,答案 60,解析 ABCD,ABF=40, CFB=180-ABF=140, 又CFEEFB=34, CFE= CFB=60, ABCD, BEF=CFE=60.,6.(2017山东威海中考,13,)如图2-3-23,直线l1l2,1=20,则2+ 3= .图2-3-23,答案 200,解析 如图,过2的顶点作l2的平行线l,则ll1l2, 4=1=20,BAC+3=180,
21、2+3=180+20=200.,三、解答题 7.(2015湖南益阳中考,15,)如图2-3-24,直线ABCD,BC平分 ABD,1=65,求2的度数.图2-3-24,解析 直线ABCD,1=65,ABC=1=65. BC平分ABD,ABD=2ABC=130.直线ABCD,ABD+ BDC=180,2=BDC=180-ABD=180-130=50.,1.(2017湖北荆州中考,3,)一把直尺和一块三角板ABC(含30、60角)的摆放位置如图所示,直尺一边与三角板的两直角边分别交于 点D、点E,另一边与三角板的两直角边分别交于点F、点A,且CDE=40,那么BAF的大小为 ( )A.40 B.4
22、5 C.50 D.10,答案 D CDE=40,C=90, CED=50, 又DEAF,CAF=CED=50, BAC=60,BAF=60-50=10.,2.(2017湖北十堰中考,3,)如图,ABDE,FGBC于F,CDE=40, 则FGB= ( )A.40 B.50 C.60 D.70,答案 B ABDE,CDE=40, B=CDE=40, 又FGBC, FGB=90-B=50.,3.(2018山东淄博中考,13,)如图,直线ab,若1=140,则2=度.,答案 40,解析 ab, 1+2=180, 1=140, 2=180-1=40,故答案为40.,4.(2017浙江金华中考,14,)如
23、图,已知l1l2,直线l与l1,l2相交于C,D 两点,把一块含30角的三角尺按如图位置摆放.若1=130,则2=.,答案 20,解析 如图,1=130,3=180-1=180-130=50. l1l2,BDC=3=50. BDC=BDA+2,BDA=30, 2=BDC-BDA=50-30=20.,5.(2016山东菏泽中考,10,)将一副三角板和一张对边平行的纸条 按如图所示的方式摆放,两个三角板的一直角边重合,含30角的三角板 的斜边与纸条一边重合,含45角的三角板的一个顶点在纸条的另一边 上,则1的度数是 .,答案 15,解析 如图,过两三角板的公共顶点作纸条两边的平行线,根据平行线 的
24、性质,有3=4=30,1=2=45-3=45-30=15,故答案为15.,如图2-3-25,AB,CD是两根钉在木板上的平行木条,将一根橡皮筋固定 在A,C两点,点E是橡皮筋上一点,拽动E点将橡皮筋拉紧后,请你探索 A,C,AEC之间具有怎样的关系?并说明理由.图2-3-25,解析 如图,可分别得到下列关系: AEC=A+C;AEC+A+C=360; AEC=C-A;AEC=A-C; AEC=A-C;AEC=C-A. 理由: 过点E作EFAB,如图a.ABCD,ABEFCD, A=AEF,C=FEC, AEC=AEF+FEC=A+C. 过点E作EFAB,如图b.ABCD, ABEFCD, A+
25、AEF=180,C+CEF=180, AEF+CEF+A+C=360,即AEC+A+C=360. 延长DC交AE于点F,如图c. ABCD,A+AFC=180, AEC=AFC-FCE =(180-A)-(180-C) =C-A. 如图d.ABCD,A=AFC, AEC=AFC-C=A-C. 延长EA交CD于点F,如图e. ABCD,EAB=AFD. AEC=AFD-C=EAB-C.,如图f.ABCD,EFB=C, AEC=EFB-A=C-A.,1.如图,已知直线l1l2,直线l3和直线l1、l2分别交于点C和D,P为直线l3上 一点,A、B分别是直线l1、l2上的不动点.其中AP与l1的夹角
26、为1,PA、 PB的夹角为2,BP与l2的夹角为3.(1)若P点在线段CD(C、D两点除外)上运动,问1、2、3之间的数量关系是什么?这种关系是否变化? (2)若P点在线段CD之外时,1、2、3之间的数量关系又怎样?说明理由.,解析 (1)2=1+3;不变化. (2)如图,当P点在l1上方时,2=3-1. 理由:过P点作PFl1,则FPA=1. l1l2,PFl2, FPB=3, 2=FPB-FPA=3-1.如图,当P点在l2下方时,2=1-3.,理由:过P点作PEl2,则EPB=3. l1l2,PEl1, EPA=1, 2=EPA-EPB=1-3.,解析 (1)ABCD. 理由:AC平分DAB(已知), 1=3(角平分线定义). 又1=2(已知), 2=3(等量代换), ABCD(内错角相等,两直线平行).(2)如图,过F作FMCD,CDAB,FMCDAB. DCE=70,CF平分DCE,DCF=35. CDFM,DCF=CFM=35. 又CFB=20,1=15, 又ABFM,2=1=15. 又BF平分ABE,ABE=30.,
