1、,知识点一 利用同位角判定两直线平行 1.同位角 如图2-2-1所示,具有1和2这样位置关系的角称为同位角.同位角还 有3和4,5和6,7和8.图2-2-1 同位角的特征:在被截两直线的同旁;在截线的同旁.,2.判定两直线平行的条件 条件1:两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平 行,简记为同位角相等,两直线平行. 推理格式:如图2-2-2,1=2,ab.图2-2-2,例1 如图2-2-3,直线AB与CD相交于点O,AOD+C=180,直线AB与 CE一定平行吗?试说明你的理由.图2-2-3,分析 根据平角定义得到AOD+BOD=180,又AOD+C=180, 则有BOD=
2、C,根据“同位角相等,两直线平行”可得到ABCE.,解析 直线AB与CE一定平行.理由如下: 因为AOD+BOD=180,而AOD+C=180, 所以BOD=C. 所以ABCE.,例2 在同一平面内,直线m、n相交于点O,且ln,则直线l和m的关系是( ) A.平行 B.相交 C.重合 D.以上都有可能,解析 由m、n相交于点O,得O点在直线n上,又ln,所以点O不在直线l 上.过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行,所以m与l相交.故 选B.,答案 B,知识点三 利用内错角、同旁内角判定两直线平行 1.内错角 如图2-2-5所示,具有1和4这样位置关系的角称为内错角,内错角还 有3和2
3、.图2-2-5 内错角的特征:在被截两直线之间;在截线的两旁.,2.同旁内角 如图2-2-5所示,具有1和2这样位置关系的角称为同旁内角,同旁内 角还有3和4. 同旁内角的特征:在被截两直线之间;在截线的同旁. 3.判定两直线平行的条件 条件2:两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平 行.简记为“内错角相等,两直线平行”. 推理格式:如图2-2-6,1=2,ABCD.图2-2-6,条件3:两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线 平行.简记为“同旁内角互补,两直线平行”. 推理格式:如图2-2-7, 1+2=180, ABCD.图2-2-7,例3 如图2-
4、2-9,下列条件不能判定直线ab的是 ( )图2-2-9 A.1=2 B.1=3 C.1+4=180 D.2+4=180,解析 A.1=2,ab(内错角相等,两直线平行);B.1=3, ab(同位角相等,两直线平行);C.1+4=180与a,b的位置无关;D. 2+4=180,ab(同旁内角互补,两直线平行).,答案 C,题型一 利用平行解决生活中的实际问题 例1 如图2-2-10所示,有平面镜A与B,光线由水平方向射来,传播路线为abc.已知ab,bc,1=3=45,你知道平面镜A与B之间的位置关系吗?图2-2-10,解析 平面镜A与平面镜B互相平行. 理由如下:如图2-2-11,ab,bc
5、, 5=6=90(垂直的定义). 1+4=90,2+3=90. 1=3=45,4=2(等角的余角相等), 平面镜A与平面镜B平行(内错角相等,两直线平行).图2-2-11,点拨 对于实际问题,先转化为数学问题,再根据已知条件解决.,题型二 构造辅助线解决问题,例2 如图2-2-12,已知B=25,BCD=45,CDE=30,E=10.试说 明:ABEF.图2-2-12,分析 从本题中无法找出能直接判定ABEF的角,我们可以从辅助线 入手,找到能判定直线平行的角,把问题转化到“三线八角”中解答.,解析 如图2-2-13,分别向两方延长线段CD交EF于点M,交AB于点N.图2-2-13 因为BCD
6、=45,所以NCB=135. 又因为B=25, 所以CNB=180-NCB-B=20. 因为CDE=30,所以EDM=150. 又因为E=10,所以EMD=180-EDM-E=20. 所以CNB=EMD. 所以ABEF(内错角相等,两直线平行).,点拨 有些探究性问题直接证明很难,我们可以根据平行线的判定定 理,添加辅助线,把问题转化到“三线八角”中解决.,易错点 概念没有理解清楚,导致错用定理 例 如图2-2-14所示,如果ACE=BDF,那么CEDF吗?图2-2-14,错解 平行,因为ACE=BDF,所以CEDF(同位角相等,两直线平行).,错因分析 错误地认为ACE和BDF是直线CE和D
7、F被直线AB所截 形成的一组同位角,其实仔细观察图形可以发现,ACE和BDF是不 能构成同位角的关系的,所以用来判断两直线平行显然是错误的.,正解 CEDF.理由如下: 因为ACE=BDF, 又因为ACE+ECB=180,BDF+FDA=180, 所以ECB=FDA(等角的补角相等), 所以CEDF(内错角相等,两直线平行).,知识点一 利用同位角判定两直线平行 1.下列图形中,1和2是同位角的是 ( ),答案 D 根据同位角的定义可知选D.,2.对于图2-2-1中标记的各角,下列条件能够推理得到ab的是 ( )图2-2-1 A.1=2 B.2=4 C.3=4 D.2+3=4,答案 D 2与3
8、的和角与4是同位角,根据同位角相等,两直线平 行,知当2+3=4时,可判定ab.,3.如图2-2-2,已知直线c与a、b分别交于点A、B,且1=120,当2= 时,直线ab. ( )图2-2-2 A.60 B.120 C.30 D.150,答案 B 如图,1=3=120,根据同位角相等,两直线平行可知当2 =3=120时,ab.,知识点二 平行公理及推论 4.如图2-2-3,1=2,3=4.试说明bc. 请完成以下说理过程. 1=2,ab( ), 又3=4, (同位角相等,两直线平行). bc( ).图2-2-3,答案 同位角相等,两直线平行;a;c;平行于同一条直线的两条直线平行,知识点三
9、利用内错角、同旁内角判定两直线平行 5.(2016江西新余四中期中)如图2-2-4,下列推理中正确的是 ( )图2-2-4 A.2=4,ADBC B.4+D=180,ADBC C.1=3,ADBC D.4+B=180,ABCD,答案 C A.2与4是AB,CD被AC所截得到的内错角,根据2=4 可以判定ABCD,不能判定ADBC;B.4与D不可能互补,因而B错 误;D.4与B不是同旁内角,无法根据4+B=180判定ABCD,故 D错误;正确的是C,根据的是“内错角相等,两直线平行”.故选C.,6.如图2-2-5,直线a与直线b被直线c所截,bc,垂足为点A,1=70.若使 直线b与直线a平行,
10、则可将直线b绕着点A顺时针旋转 ( )图2-2-5 A.70 B.50 C.30 D.20,答案 D 如图,bc,2=90.1=70,要使ab,则直线b绕 着点A顺时针旋转的度数可为90-70=20.故选D.,7.如图2-2-6,小明在两块含30角的直角三角板的边缘画直线AB和CD, 得到ABCD,根据是 ,两直线平行.图2-2-6,答案 内错角相等,解析 ABC=BCD=30, ABCD(内错角相等,两直线平行).,8.如图2-2-7,已知1=D,1+A=180,可得哪些直线互相平行?请说 明理由.图2-2-7,解析 可知ADBC,ABDC. 理由:因为1=D, 所以ADBC(内错角相等,两
11、直线平行). 因为1+A=180,1=D, 所以D+A=180, 所以ABDC(同旁内角互补,两直线平行).,1.如图所示,能判定ABCD的是 ( )A.1=2 B.3=4 C.1=4 D.2=3,答案 A 选项A,因为1=2,所以ABCD(同位角相等,两直线平 行);选项B应改为3+4=180,才能判定ABCD;选项C中1与4是 对顶角,不能判定两直线平行;选项D中,2与3是邻补角,也不能判定 两直线平行.,2.(2016四川成都实验外国语学校期末)如图,下列条件中能判定直线l1 l2的是 ( )A.1=2 B.1=5 C.1+3=180 D.3=5,答案 C 1和3是l1和l2被l3所截形
12、成的同旁内角,若它们互补,则l1与 l2平行,故C符合.,3.如图所示,A=120,B=60,EFC=DCG,试说明:ADEF.,解析 A=120,B=60(已知), A+B=120+60=180(等式性质). ADBC(同旁内角互补,两直线平行). EFC=DCG(已知), EFBC(内错角相等,两直线平行). ADEF(平行于同一条直线的两直线平行).,1.如图2-2-8,完成下列各题. (1)如果1= ,那么DEAC; (2)如果1= ,那么EFBC; (3)如果FED+ =180,那么ACED; (4)如果2+ =180,那么ABDF.图2-2-8,答案 (1)C (2)FED (3)
13、EFC (4)AED,解析 利用平行线的判定方法解题.,2.在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线. 理由如下:如图2-2-9, ba,ca(a,b,c位于同一平面内), 1=2=90, bc( ).图2-2-9,答案 平行;同位角相等,两直线平行,3.如图2-2-10,BEC=95,ABE=120,DCE=35,则AB与CD平行吗? 说明理由.图2-2-10,解析 ABCD.理由:如图,过点E在BEC的内部作FEC=C=35,则 有EFCD.因为BEC=95,所以BEF=60.因为ABE=120,所以BEF+ABE=180,所以ABEF.根据“平行于同一直线的两直线平
14、行”,可得ABCD.,4.(2017江苏徐州期中)如图2-2-11,四边形ABCD中,A=C=90,BE、 DF分别是ABC、ADC的平分线.试说明: (1)1+2=90; (2)BEDF.图2-2-11,解析 (1)BE,DF分别是ABC,ADC的平分线, 1=ABE,2=ADF, A=C=90, ABC+ADC=180, 2(1+2)=180, 1+2=90. (2)在FCD中,C=90, DFC+2=90, 1+2=90, 1=DFC, BEDF.,1.(2017重庆南开中学月考)如图,下列条件,不能判定直线l1l2的是 ( )A.1=3 B.1=4 C.2+3=180 D.3=5,答案
15、 A A项,1=3,不能判定直线l1l2,故此选项符合题意;B项, 1=4,根据“内错角相等,两直线平行”,可判定直线l1l2,故此选项不 合题意;C项,2+3=180,根据“同旁内角互补,两直线平行”,可判定 直线l1l2,故此选项不合题意;D项,3=5,根据“同位角相等,两直线 平行”,可判定直线l1l2,故此选项不合题意.故选A.,2.(2017浙江金华模拟)如图,现给出下列条件:1=2,B=5, 3=4,5=D,B+BCD=180,其中能够得到ADBC的条 件是 ;能够得到ABCD的条件是 .(填序号),答案 ;,解析 1=2,ADBC; B=5, ABDC; 3=4, ABCD; 5
16、=D, ADBC; B+BCD=180, ABCD, 能够得到ADBC的条件是,能够得到ABCD的条件是.,3.如图,已知1=A,2=B,试问MN与EF有怎样的位置关系?请说明 理由.,解析 MN与EF的位置关系是MNEF. 理由:1=A(已知), MNAB(内错角相等,两直线平行). 2=B(已知), EFAB(同位角相等,两直线平行). MNEF (平行于同一条直线的两条直线平行).,一、选择题 1.(2017甘肃武威二十三中月考,2,)如图2-2-12,下列条件中,不能 判定ABCD的是 ( )图2-2-12 A.C+ABC=180 B.1=2 C.3=4 D.A=CDE,答案 C,二、
17、解答题 2.(2016湖南湘潭一中期末,17,)如图2-2-13,已知直线l1、l2、l3被 直线l所截,1=72,2=108,3=72,试说明:l1l2l3.图2-2-13,解析 1=72,3=72(已知), 1=3(等量代换), l1l3(内错角相等,两直线平行), 2=108(已知), 2+3=108+72=180, l2l3(同旁内角互补,两直线平行), l1l2(平行于同一条直线的两条直线平行). l1l2l3.,1.(2018山东汶上期中,4,)如图所示,下列条件中,能判断直线l1l2 的是 ( )A.2=3 B.1=3 C.4+5=180 D.2=4,答案 B 因为1与3是同位角
18、,所以由1=3可得l1l2.,2.(2017山东青岛胶州期末,3,)如图,下列条件中,能够判定BE AC的是 ( )A.C=ABE B.C=ABC C.A=ABC D.A=ABE,答案 D,3.(2017甘肃武威二十三中月考,5,)下列命题中,不正确的是 ( ) A.如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行 B.两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行 C.两条直线被第三条直线所截,那么这两条直线平行 D.两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行,答案 C,4.(2016福建泉州五中月考,12,)如图,已知直线b,c被直线a所截,若 1
19、+2=180,则bc.推断bc的依据是 .,答案 同位角(内错角)相等或同旁内角互补,两直线平行(写出一种即可),解析 1=4(对顶角相等),1+2=180,4+2=180,bc (同旁内角互补,两直线平行);2+3=180,1+2=180,1=3, bc(同位角相等,两直线平行);1=4,2+3=180,1+2= 180,4=3,bc(内错角相等,两直线平行).,一、填空题 1.(2018湖南湘潭中考,14,)如图2-2-14,点E是AD延长线上一点,如 果添加一个条件,使BCAD,则可添加的条件为 .(写 出一个符合题意的条件即可)图2-2-14,答案 A+ABC=180(答案不唯一),解
20、析 若A+ABC=180,则BCAD; 若C+ADC=180,则BCAD; 若CBD=ADB,则BCAD; 若C=CDE,则BCAD.,2.(2017山东德州中考,14,)如图2-2-15是利用直尺和三角板过已知直线l外一点P作直线l的平行线的方法,其理由是 .图2-2-15,答案 同位角相等,两直线平行,3.(2014湖南湘潭中考,13,)如图2-2-16,直线a、b被直线c所截,若 满足 ,则a、b平行.图2-2-16,答案 1=2(答案不唯一),解析 根据“同位角相等,两直线平行”可得当1=2时,ab.本题 答案不唯一,还可以是3+4=180或1+4=180或2=3.,二、解答题 4.(
21、2016山东淄博中考,18,)图2-2-17是一个由4条线段构成的 “鱼”形图案,其中1=50,2=50,3=130,找出图中的平行线,并说 明理由.图2-2-17,解析 OABC,OBAC. 理由:1=50,2=50, 1=2,OBAC. 2=50,3=130, 2+3=180,OABC.,1.(2018湖南郴州中考,4,)如图,直线a,b被直线c所截,下列条件中, 不能判定ab的是 ( )A.2=4 B.1+4=180 C.5=4 D.1=3,答案 D,2.(2016广西百色中考,3,)如图,直线a、b被直线c所截,下列条件 能使ab的是 ( )A.1=6 B.2=6 C.1=3 D.5=
22、7,答案 B 若2=6,则ab(同位角相等,两直线平行),故选B.,3.(2016内蒙古赤峰中考,6,)如图,工人师傅在工程施工中,需在同 一平面内弯制一个变形管道ABCD,使其拐角ABC=150,BCD=30, 则 ( )A.ABBC B.BCCD C.ABDC D.AB与CD相交,答案 C ABC=150,BCD=30,ABC+BCD=180,AB DC(同旁内角互补,两直线平行).故选C.,4.(2015浙江金华中考,9改编,)如图所示的四种沿AB折 叠的方法中,不一定能判定纸带两条边线a,b互相平行的是 ( )A.如图,展开后,测得1=2 B.如图,展开后,测得1=2且3=4 C.如图
23、,测得1=2 D.如图,展开后,测得1+2=180,答案 C 对于题图,测得1=2,根据“内错角相等,两直线平行” 可得ab. 对于题图,测得1=2且3=4,由1+2=180及3+4=180, 得1=2=90,3=4=90,所以1=4=90,根据“内错角相等,两 直线平行”得到ab. 对于题图,测得1+2=180,根据“同旁内角互补,两直线平行”得 到ab.故A、B、D一定能判定ab,故选C.,解析 小红的依据是“同位角相等,两直线平行”. 小华的依据是“内错角相等,两直线平行”. 其他结论(写出一组即可): (1)ECA=CED,ACDE(内错角相等,两直线平行); (2)BAC=ECA,A
24、BCE(内错角相等,两直线平行); (3)DCE=AEC,CDAE(内错角相等,两直线平行).,1.如图所示,两束光线AB,CD从空气中射向水面,入射角ABM与CDN 均为30,那么AB与CD平行吗?请说明理由.,解析 AB与CD平行.理由如下:ABM和CDN均为30,MBF和 NDF均为90,ABF=ABM+MBF=30+90=120,CDF=CDN +NDF=30+90=120,ABF=CDF,ABCD(同位角相等,两直 线平行).,2.建筑工人在检验墙壁是否竖直时,可先在一条长方形的木板上画一条 直线a,使其平行于木板的长边,再在直线a与短边的交点处钉一只钉子, 挂上一条铅垂线OP,如图,然后把木板的长边竖贴墙壁,这时如果OP能 与直线a重合,则墙壁是竖直的,为什么?,解析 因为直线a与长方形木板的长边平行,而木板的长边紧贴在墙壁 上,则直线a与墙壁平行. 当直线a与OP重合时,OP与墙壁平行. 又因为铅垂线OP是竖直的,所以墙壁是竖直的.,
