1、,第二章 相交线与平行线,知识点一 相交线与平行线 在同一平面内,直线与直线的位置关系只有两种:相交和平行. 若两条直线只有一个公共点,我们称这两条直线为相交线.在同一平面 内,不相交的两条直线叫做平行线. 如图2-1-1,直线a与直线b平行,记作:ab. 如图2-1-2,直线AB与直线CD相交于点O.图2-1-1 图2-1-2,例1 下列说法正确的是 ( ) A.两条直线不平行就相交 B.在同一平面内,没有交点的两条直线是平行线 C.不相交的两条直线叫平行线 D.同一平面内,两条直线不相交就重合,解析 选项A没有说明两直线在同一平面内,故错误;选项B正确;选项C 没有说明两直线在同一平面内,
2、故错误;选项D中两条直线不相交还可以 平行,故错误.,答案 B,知识点二 对顶角 定义:两直线相交所形成的四个角中,两边互为反向延长线的两个角叫 做对顶角.如图2-1-3,1与2是对顶角,3与4也是对顶角.图2-1-3 性质:对顶角相等.,例2 下列各图中,1和2是对顶角的是 ( ),解析 根据对顶角的定义知选D.,答案 D,知识点三 余角和补角 1.如果两个角的和是90,那么称这两个角互为余角. 2.如果两个角的和是180,那么称这两个角互为补角. 3.余角、补角的性质:同角或等角的余角相等;同角或等角的补角相等. 注意:(1)互余、互补都是指两个角之间的关系.当1+2+3=90时, 不能说
3、1、2、3互余;当1+2+3=180时,也不能说1、2、3互补.(2)互余的两个角都是锐角,而互补的两个角可能是一个锐 角一个钝角,也可能都是直角.(3)互余和互补都是反映两个角的数量关 系,而不是位置关系.,例3 一个角的余角等于这个角的补角的 ,求这个角.,分析 用方程解决这个问题要好理解一些,我们可以设这个角为,列方 程求解.,解析 设这个角为,依题意得90-= (180-),解得=67.5.答:这个角 为67.5.,知识点四 垂线 1.垂线的定义 当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线 互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足. 注意:(1
4、)两条直线垂直是两条直线相交的特殊情况;(2)遇到线段、射线 的垂直问题,都指的是它们所在的直线互相垂直. 2.垂线的画法 过一点画已知直线的垂线有三种方法: (1)用三角板画垂线. (2)用量角器画垂线. (3)借助网格纸画垂线.,3.垂线的性质 (1)在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 如图2-1-4所示,点P分别为直线l外和直线l上一点,过点P有且只有一条 直线ml.图2-1-4 注意:画已知直线的垂线可以画出无数条,但过一点画已知直线的垂 线,只能画出一条.,解析 因为DOE=180-AOD-BOE=90,所以ODOE.,题型一 利用对顶角和互补的性质解决问题 例1
5、如图2-1-7所示,三条直线AB,CD,EF相交于点O,AOF=3FOB, AOC=90,求EOC的度数.图2-1-7,分析 因为AOF与BOF互为补角,又知AOF=3BOF,可求出 BOF.根据对顶角相等,得AOE=BOF,又因为AOC=90,故EOC= 90-AOE.,解析 由题意知BOF+AOF=180(补角定义),AOF=3BOF,所以 BOF+3BOF=180(等量代换), 解得BOF=45. 所以AOE=BOF=45(对顶角相等). 所以EOC=AOC-AOE=90-45=45. 点拨 应用对顶角时要紧扣定义;除了互补的两个角和为180外,由平 角的定义也可以得到和为180.,题型
6、二 垂线性质的应用 例2 如图2-1-8所示,一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶,M,N 分别是位于公路AB两侧的村庄,设汽车行驶到P点时,离村庄M最近;行 驶到Q点时,离村庄N最近,请你在AB上分别画出P,Q两点的位置.图2-1-8,分析 分别从M,N点向AB引垂线,垂足即为P,Q点.,解析 如图2-1-9.作MPAB,NQAB,垂足P,Q即为所要画的点.图2-1-9,知识点一 相交线与平行线 1.已知直线AB及一点P,若过点P作一直线与AB平行,则这样的直线 ( ) A.有且只有一条 B.有两条 C.不存在 D.不存在或者只有一条,答案 D 如果P是直线AB外的一点,则只可以作一条;
7、如果P是直线AB 上的一点,则不存在.,2.a、b、c是平面内任意三条直线,交点可以有 ( ) A.1个或2个或3个 B.0个或1个或2个或3个 C.1个或2个 D.都不对,答案 B 分情况讨论:三条直线平行,此时有0个交点;只有两条直 线平行,此时有2个交点;三条直线都不平行,此时有1个交点或3个交 点.,知识点二 对顶角 3.图2-1-1中,1与2是对顶角的图形的个数是 ( )图2-1-1 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,答案 B 根据对顶角的定义可知只有中的1与2是对顶角.,4.下列关于对顶角的语句中,正确的是 ( ) A.对顶角不一定相等 B.两条直线相交所成的角是对顶角 C.
8、有公共顶点并且相等的两个角是对顶角 D.两条直线相交所成的四个角中,有公共顶点,无公共边的两个角是对 顶角,答案 D 结合对顶角的定义和性质来判断.对顶角相等,选项A错;两条 直线相交所成的角中既有邻补角,也有对顶角,选项B错;对于选项C,若 两个角的边不互为反向延长线,则不是对顶角,选项C错;选项D正确.,知识点三 余角和补角 5.如图2-1-2,点A、O、B在同一直线上,AOC=EOD=90.若1=35, 则2= ,3= ,和1互余的角是 .图2-1-2,答案 55;35;2与4,解析 AOC=90,BOC=180-AOC=90, 1=35,2=90-1=55,EOD=90, 3=90-2
9、=90-55=35,1=3. 3+4=90,1+4=90, 和1互余的角为2和4.,6.一个角的补角是它的余角的10倍,求这个角.,解析 设这个角的大小是x,则180-x=10(90-x),解得x=80.所以这个角 为80.,答案 B OAAB,线段OA即为点O到直线AB的垂线段,根据点到 直线的距离的定义可知选B.,8.点P为直线l外的一点,点A,B,C是直线l上的三个点,且PA=4 cm,PB=5 cm, PC=2 cm,则点P到直线l的距离是 ( ) A.2 cm B.小于2 cm C.不大于2 cm D.4 cm,答案 C 点P到直线l的距离为点P到直线l的垂线段的长度,由垂线段 最短
10、,知点P到l的距离小于或等于2 cm,故选C.,答案 A 跳远的成绩是点B到起跳线的距离,即垂线段的长度为4.6米. 结合题图知AB的长大于4.6米.,1.如图所示,BE、CF是直线,OA、OD是射线,其中构成对顶角的是 ( )A.AOE与COD B.AOD与BOD C.BOF与COE D.AOF与BOC,答案 C,2.在同一平面内,两条直线的位置关系有 ( ) A.两种:平行和相交 B.两种:平行和垂直 C.三种:平行、垂直和相交 D.两种:垂直和相交,答案 A 垂直是相交的特殊情况.,3.下列说法正确的是 ( ) A.在同一个平面内,不相交的两条线段是平行线 B.在同一个平面内,两条线段不
11、相交就重合 C.在同一个平面内,没有公共点的两条直线是平行线 D.不相交的两条直线是平行线,答案 C 在同一平面内,两条直线只有一个公共点时相交,有两个及两 个以上的公共点时重合,没有公共点时平行,故选C.,4.如图,已知点O在直线AB上,CODO于点O,若1=145,则3的度数 为 ( )A.35 B.45 C.55 D.65,答案 C 1+2=180,1=145,2=180-145=35,又CO DO,2+3=90,3=90-35=55.,5.已知A与B互余,B与C互补,若A=50,则C的度数是 ( ) A.40 B.50 C.130 D.140,答案 D A与B互余,A+B=90, 又A
12、=50,B=90-50=40. B与C互补,B+C=180, C=180-B=180-40=140.,6.如图是由两块三角板拼成的图形,在直角顶点处构成了3个锐角,这三 个锐角中互余的角是 ,相等的角是 ,相等 的理由是 .,答案 3与2,2与1;1与3;同角的余角相等,7.如图所示,在方格网中画出与线段AB垂直的线段,垂足为A.,解析 如图,AC即为满足条件的垂线段.,8.如图所示,已知直线AB、CD、EF相交于点O,13=31,2=20,求DOE的度数.,解析 13=31,设1=3k,3=k(k0),则3k+20+k=180,解 得k=40. 1=3k=120.COF=1+2=120+20
13、=140. DOE=COF=140.,1.如图2-1-5,ACB=90,CDAB,垂足为D,则下面的结论中,正确的个 数为 ( )图2-1-5 AC与CB互相垂直; CD和BC互相垂直;,点B到AC的垂线段是线段CA; 点C到AB的距离是线段CD; 线段AC的长度是点A到BC的距离. A.2个 B.3个 C.4个 D.5个,答案 A 由ACB=90可知AC与CB互相垂直,正确;CDAB, CD和BC不互相垂直,错误;点B到AC的垂线段是线段BC,错 误;点C到AB的距离应是线段CD的长度,而不是线段CD本身,错误; 正确.,2.如图2-1-6,将一张长方形纸片的一角斜折过去,使顶点A落在A处,
14、BC 为折痕,若BD平分ABE,则BC与BD的位置关系是 .图2-1-6,答案 BCBD,解析 由折叠得ABC=ABC, BD平分ABE,ABD=DBE. 又ABC+ABC+ABD+DBE=180, ABC+ABD= 180=90,即CBD=90,BCBD.,3.一个角的补角加上10后,等于这个角的余角的3倍,则这个角是 .,答案 40,解析 设这个角为x,则180-x+10=3(90-x),解得x=40.所以这个角为40.,4.如图2-1-7,直线AB,CD相交于点O,OECD,OF平分BOD,若AOE= 40,求BOF的度数.图2-1-7,解析 因为OECD,所以AOE+AOC=90, 因
15、为AOE=40, 所以AOC=90-AOE=90-40=50, 所以BOD=AOC=50, 因为OF平分BOD, 所以BOF= BOD= 50=25.,5.在如图2-1-8所示的方格纸中,按要求画图,并回答问题. (1)过A点作线段BC的垂线,垂足为D; (2)该垂线是否经过格点(格点是画方格时纵向和横向线段的交点)?如果 经过格点,请在图中标出垂线所经过的格点.图2-1-8,解析 (1)如图,ADBC,D为垂足. (2)如图,AD过格点F.,1.下列说法正确的有 ( ) 在同一平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线; 在同一平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线; 在
16、同一平面内,过一点可以画一条直线垂直于已知直线; 在同一平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,答案 C 的说法都正确,的说法是错误的,在同一平面内有无 数条直线垂直于已知直线,故选C.,2.下列图形中,线段PQ的长表示点P到直线MN的距离的是( ),答案 A 对于选项A,PQMN,Q是垂足,故线段PQ的长为点P到直线 MN的距离.,3.如图,点D在AC上,点E在AB上,且BDCE,垂足是M,以下说法:BM的 长是点B到CE的距离;CE的长是点C到AB的距离;BD的长是点B到 AC的距离;CM的长是点C到BD的距离.其中正确的是 (填序 号).,答案
17、,解析 点到直线的距离为点到直线的垂线段的长度.,4.一个角的余角比这个角的补角的 大26,求这个角的度数.,解析 设这个角的度数为x,则其补角为(180-x),根据题意,得90-x= (180- x)+26,解得x=35. 答:这个角的度数为35.,5.如图所示,直线AB、CD相交于点O,OFCD,OEAB,DOE=50,求 BOF,AOC,AOD的度数.,解析 OEAB,BOE=90(垂直的定义).又DOE=50,BOD =BOE-DOE=90-50=40(余角定义),AOC=BOD=40 (对顶角相等),AOD=180-BOD=180-40=140(平角定义).又OF CD,DOF=90
18、(垂直的定义),BOF=90-BOD=90-40=50 (余角定义).,一、选择题 1.(2018河南平顶山宝丰期中,2,)如图2-1-9,直线AB、CD交于 点O,EOAB于点O,若1=65,则2等于 ( )图2-1-9 A.27 B.17 C.25 D.23,答案 C 2=180-90-1=180-90-65=25.,2.(2016广东汕头潮南月考,1,)同学,你一定练过跳远吧!在测量跳 远成绩时,从落地点拉向起跳线的皮尺,应当与起跳线 ( ) A.平行 B.垂直 C.成45角 D.以上都不对,答案 B 点到直线的垂线段的长叫做点到直线的距离,测量跳远 成绩时,从落地点拉向起跳线的皮尺应当
19、与起跳线垂直.,二、解答题 3.(2016广东汕头潮南月考,22,)如图2-1-10,已知OAOC,OB OD,3=24,求1、2的度数.图2-1-10,解析 OAOC,OBOD, 1+2=90,3+2=90. 1=3=24,2=90-24=66.,解析 (1)如图.(2)线段PH的长度是点P到直线OA的距离, 线段CP的长度是点C到直线OB的距离, 根据垂线段最短可得PHPCOC. 故答案为OA;线段CP的长度;PHPCOC.,1.(2017福建厦门双十中学二模,3,)若A与B互为补角,则A+ B= ( ) A.180 B.120 C.90 D.60,答案 A 由补角定义可知.,2.(201
20、6山东菏泽东明期末,12,)如图所示,AB,CD,EF交于点O,1 =20,2=60,则BOC的度数为 .,答案 80,解析 由2与BOF是对顶角得BOF=2=60,所以BOC=1+ BOF=20+60=80.,选择题 1.(2017广西河池中考,2,)如图2-1-12,点O在直线AB上,若BOC= 60,则AOC的大小是 ( )图2-1-12 A.60 B.90 C.120 D.150,答案 C BOC与AOC互为邻补角,BOC+AOC=180, 又BOC=60,AOC=180-BOC=120.,2.(2017北京中考,1,)如图2-1-13所示,点P到直线l的距离是 ( )图2-1-13
21、A.线段PA的长度 B.线段PB的长度 C.线段PC的长度 D.线段PD的长度,答案 B 点P到直线l的距离就是过点P的直线l的垂线段PB的长度.,3.(2017广西柳州中考,5,)如图2-1-14,经过直线l外一点A画l的垂 线,能画出 ( )图2-1-14 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条,答案 A 过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线.,4.(2016山东淄博中考,3,)如图2-1-15,ABAC,ADBC,垂足分别 为A,D.则图中能表示点到直线距离的线段共有 ( )图2-1-15 A.2条 B.3条 C.4条 D.5条,答案 D 能表示点到直线距离的线段有BA,CA,AD
22、,BD,CD,共5条,故 选D.,1.(2015福建厦门中考,4,)如图,ABC是锐角三角形,过点C作CD AB,垂足为D,则点C到直线AB的距离是 ( )A.线段CA的长 B.线段CD的长 C.线段AD的长 D.线段AB的长,答案 B 根据点到直线的距离的定义,结合图形即可判定线段CD的 长是点C到直线AB的距离,故选B.,2.(2014广西贺州中考,3,)如图,OAOB,若1=55,则2的度数 是 ( )A.35 B.40 C.45 D.60,答案 A OAOB,AOB=90,即2+1=90,1=55,2 =35,故选A.,3.(2014四川乐山中考,2,)如图,OA是北偏东30方向的一条
23、射线, 若射线OB与OA垂直,则OB的方向是 ( )A.北偏西30 B.北偏西60 C.北偏东30 D.北偏东60,答案 B 如图,因为OB与OA垂直,所以AOB=90.因为AOC=30,所 以COB=60.所以OB的方向是北偏西60.故选B.,4.(2015江西南昌中考,7,)一个角的度数为20,则它的补角的度数 为 .,答案 160,解析 互补的两个角的度数和为180,所以所求角的度数为180-20=160.,5.(2015吉林中考,10,)如图是对顶角量角器,用它测量角的原理是 .,答案 对顶角相等,1.如图2-1-16,AOB,COD都是直角.图2-1-16 (1)试猜想AOD和BOC
24、在数量上是否存在相等、互余或互补关系. 你能说明你猜想的正确性吗? (2)当COD绕点O旋转到如图2-1-16的位置时,你的猜想还成立吗? 为什么?,解析 (1)AOD与BOC互补.理由如下: 因为AOD=AOB+BOD=90+BOD,BOD=90-BOC,所以 AOD=90+90-BOC, 即AOD+BOC=180. 所以AOD与BOC互补. (2)猜想仍然成立.理由如下: 因为AOB,COD都是直角, 所以AOB+COD=180, 又因为AOB+BOC+COD+AOD=360, 所以BOC+AOD=180, 所以AOD与BOC互补.,2.如果两个角的差的绝对值等于90,就称这两个角互为反余
25、角,其中一 个角叫做另一个角的反余角.例如:1=120,2=30,|1-2|=90,则 1和2互为反余角,其中1是2的反余角,2也是1的反余角. (1)如图2-1-17,O为直线AB上一点,OCAB于点O,OEOD于点O,则 AOE的反余角是 ,BOE的反余角是 ; (2)若一个角的反余角是它的补角的 ,求这个角的度数.,图2-1-17,解析 (1)AOD;EOC和DOB. (2)设这个角的度数为x, 若这个角是锐角,则它的反余角为(90+x), 由题意,得90+x= (180-x), 解得x=18. 若这个角是钝角,则它的反余角为(x-90), 由题意,得x-90= (180-x), 解得x
26、=126. 综上所述,这个角的度数为18或126.,1.如图,在河岸l的同侧有一村庄A和自来水厂B,现要在河岸l上建一抽水 站D,把河中的水输送到自来水厂处理后,再送往A村,为了节省资金,所 铺设的水管应尽可能短,问抽水站D应建在何处?应沿怎样的路线来铺 设水管?在图中画出来.,解析 如图所示,过点B作l的垂线,则垂足D为抽水站的位置,连接AB,沿 DBA的路线铺设水管,可使所用的水管最短.,2.先阅读,然后解答. 问题:两条直线将平面分成几部分? 解:如图,两条直线平行时,它们将平面分成三部分; 如图,两条直线不平行时,它们将平面分成四部分. 根据上述内容,解答下面的问题. (1)上面问题的解题过程应用了 的数学思想(填“转化”“分 类”“整体处理”或“数形结合”); (2)三条直线将平面分成几部分?,解析 (1)分类. (2)如图,三条直线可以将平面分成四或六或七部分.,
