1、第十七章 勾股定理,本 章 总 结 提 升,本章总结提升,知 识 框 架,本章总结提升,互逆定理,如果三角形的三边长a，b，c满足a2 b2 c2，那么这个三角形是直角三角形,类型之一 运用勾股定理进行计算或求值,本章总结提升,整 合 提 升,勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，所以运用勾股定理的前提条件是所给的三角形是直角三角形它把直角三角形这一“形”转化为三边的“数”，充分体现了“数形结合”的数学思想,本章总结提升,76,本章总结提升,解析 在RtABC中，BC5，AC6212，根据勾股定理，得AB2BC2AC252122169，所以AB13. 因为AA6，所以ABAA13619，
2、 所以这个“风车”的外围周长是19476.,本章总结提升,【归纳总结】 在直角三角形中，如果已知两边长，那么可以直接利用勾股定理求出第三边长；若题目中的条件不能确定两边长，但能确定两边之间的关系，这时可以引入未知数，借助方程思想求解在题目中如果没有直角三角形，那么需要通过作高或作垂线，构造直角三角形，再利用勾股定理求解,本章总结提升,【针对训练】,C,本章总结提升,本章总结提升,点评 解有关“折叠”问题时，首先要弄清楚折叠图形的前后联系，并与勾股定理、方程联系起来，将待求线段与有关线段归结到同一个直角三角形中，用勾股定理构造方程使问题得以解决,本章总结提升,本章总结提升,类型之二 操作验证勾股
3、定理,勾股定理的证明方法已多达400余种(其中大部分是利用面积关系来证明的)，这些证明方法不仅验证了勾股定理，而且还丰富了研究数学问题的思想，促进了数学的发展. 近年来，动手操作验证勾股定理的考题频频出现在各地的中考试卷中,本章总结提升,例2 操作题：剪裁出若干张大小、形状完全相同的直角三角形，三边长分别记为a，b，c，如图17T4. (1)拼图一：分别用4张直角三角形纸片拼成如图17T4的形状，观察图可发现，图中两个小正方形的面积之和_(填“大于”“小于”或“等于”)图中小正方形的面积，用关系式表示为_；,等于,a2b2c2,本章总结提升,图17T4,本章总结提升,(2)拼图二：用4张直角三
4、角形纸片拼成如图17T4的形状，观察图形可以发现，图中共有_ 个正方形，它们的面积之间的关系是_，用关系式表示为_,3,两个较小正方形的面积之和等于最大正方形的面积,a2b2c2,本章总结提升,解析 首先认真观察图形的变化，然后用图形割补、拼接，由面积不变证明 (1)图中两个小正方形的边长分别是a，b，所以它们的面积之和为a2b2，图中小正方形的边长为c，所以它的面积为c2，由图得a2b2 c2 . (2)图中共有3 个正方形，它们的面积之间的关系是两个较小正方形的面积之和等于最大正方形的面积，用关系式表示为a2b2 c2 .,本章总结提升,【归纳总结】 验证勾股定理常用的方法是利用图形面积之
5、间的恒等变形，其关键是通过面积之间的相等关系，将“形”的问题转化为“数”的问题,本章总结提升,本章总结提升,本章总结提升,解：(1)如图所示，直角梯形,本章总结提升,本章总结提升,本章总结提升,(3)能，答案不唯一，如图所示,本章总结提升,类型之三 利用勾股定理的逆定理判定直角三角形,勾股定理的逆定理是通过同一个三角形中三条线段之间的平方关系来确定线段是否垂直在应用该定理时，若条件中的三条线段不在同一个三角形中，应设法通过三角形全等、等腰三角形、长方形、正方形以及图形的轴对称变换等将它们转化到同一个三角形中再判断,本章总结提升,本章总结提升,解析 可以根据ABE的面积和DE的长度，求出AB的长
6、，然后根据勾股定理的逆定理求出C的度数是90.,本章总结提升,4. 在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且(ab)(ab)c2，则( ) AA为直角 BC为直角 CB为直角 DABC不是直角三角形,A,解析 (ab)(ab)c2， a2b2c2，即c2b2a2，故此三角形是直角三角形，a为直角三角形的斜边， A为直角 故选A.,【针对训练】,本章总结提升,本章总结提升,本章总结提升,类型之四 二次根式的混合运算,勾股定理是直角三角形的性质，是根据角的度数得出了三边的关系，是“以角定边”；勾股定理的逆定理是直角三角形的判定，是根据三角形边的特殊关系得出直角，是“以边定角”在解题时，不要
7、将两者弄混有些问题，需要综合运用这一组互逆定理才能解决,本章总结提升,解析 先根据BCD的三边长，判断出BCD为直角三角形，然后在RtACD中根据勾股定理列方程求AC的长，从而求ABC的周长,本章总结提升,本章总结提升,归纳总结 此题综合应用了勾股定理和勾股定理的逆定理勾股定理是数形结合的典范，当知道三角形的三边长时，一般要用勾股定理的逆定理判断这个三角形是不是直角三角形. 一定要注意最长边所对的角为直角另外，在运用勾股定理时，应注意引进未知数，列方程求解,本章总结提升,【针对训练】,本章总结提升,本章总结提升,类型之五 勾股定理及其逆定理在实际生活中的应用,勾股定理反映了直角三角形三边之间的
8、数量关系，在实际生活中有着广泛的应用其关键是把实际问题转化为数学问题，然后建立三角形数学模型，利用直角三角形来解决问题在此过程中，有时还需要建立方程来求解勾股定理的逆定理是判定直角三角形的重要定理，它常应用于生活中的直角作图问题,本章总结提升,例5 在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你能知道乙船沿哪个方向航行吗？,本章总结提升,解析 根据题意画出示意图，如图所示可以看出，由于甲船的航向已知，如果能求出两船的航向所成的夹角，那么就可以知道乙船的航向了,本章总结提升,解：根据题意画出示意图， 如图所示 BM8216(海里)，BP15230(海里)，MP34海里 因为162302342，即BM2BP2MP2， 所以MBP是直角三角形，MBP90. 因为甲船沿北偏东60的方向航行，所以PBC30，即乙船沿南偏东30的方向航行,本章总结提升,【针对训练】,本章总结提升,解析 因为票价与路程成正比，故可将票价视为路程来处理，即AB10，AD8，BD6，AC12.5，CD4.5，利用勾股定理求解,本章总结提升,
