1、1第八章 圆第二十二讲 圆的有关性质宜宾中考考情与预测宜宾考题感知与试做1.(2015宜宾中考)如图，AB为O的直径，延长AB至点D，使BDOB，DC切O于点C，点B是 的中点，弦CFCF 交AB于点E，若 O的半径为2 ，则CF_2 _32. (2018宜宾中考)如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是 的中点，DEAB于点E且DE交AC于点F，DB交AC于点AC G，若 ，则 _ _EFAE 34 CGGB 55宜宾中考考点梳理与圆有关的概念及其性质1圆的定义(1)到定点距离_相等_的所有点构成的图形叫做圆；(2)在一个平面内，线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的
2、图形叫做圆固定的端点O叫做_圆心_，线段OA叫做_半径_2圆心确定圆的_位置_，半径的长度确定圆的_大小_圆心相同的圆叫做同心圆，半径相等的两个圆称为等圆23圆的有关概念(1)弦：连结圆上任意两点的线段；(2)直径：经过圆心的弦，直径等于半径的2倍；(3)弧：圆上任意两点间的部分，小于半圆周的圆弧叫做_劣弧_，大于半圆周的圆弧叫做_优弧 _【 温馨提示】圆上任一条弦都对应两条弧4圆的对称性(1)圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的_直线_都是它的对称轴(2)圆是中心对称图形，对称中心是_圆心_垂径定理及其推论5垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧6垂径定理的推论(1
3、)平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；(3)平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦；(4)圆的两条平行弦所夹的弧_相等_7垂径定理及其推论的延伸根据圆的对称性，如图，在以下五条结论中： ； ；AEBE；ABCD；CD是直径，只AC BC AD BD 要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即“知二推三” 8垂径定理的应用用垂径定理进行证明或计算时，常需作出圆心到弦的垂线段(弦心距)，则垂足为弦的中点，再利用由半径、弦心距和半弦构成直角三角形来达 到求解的目的，这样圆中的弦长a、半径r、弦心距d及弓形高h四者之间就可以
4、做到“知二求二”弦、弧、圆心角之间的 关系9定理：在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧_相等_，所对的弦_相等_10推论：在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角_相等_，所对的弦_相等_；在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角_相等_，所对的弧_相等_圆 周角定理11圆周角：顶点在_圆_上，并且两边都与圆相交，这样的角叫做圆周角12圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的_一半_；相等的圆周角所对的弧_相等_.313推论：(1)90的圆周角 所对的弦是直径，半圆或直径所对的圆周角是直角；(2)圆内接四边形的对角互补，它的任意一个
5、外角等于这个角的_对角_1(2018贵港中考)如图，点A、B、C均在O上，若A66，则OCB的度数是( A )A24 B28 C33 D482. (2018遵义中考)如图，四边形 ABCD 中，ADBC，ABC90，AB5，BC10，连结 AC、BD，以 BD 为直径的圆交 AC 于点 E若 DE3，则 AD 的长为( D ) A .5 B. 4 C3 D25 53(2018广州中考)如图，AB是O的弦，OCAB，交O于点C，连结OA、OB、BC ，若ABC20，则AOB的度数是( D ) A40 B50 C70 D804如图，ABC内接于O，若A ，则OBC等于( D ) A1802 B2
6、C90 D90 5. 4(2018常州中考)某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转从图中所示的图尺可读出 sin AOB的值是( D ) A. B. C. D.58 78 710 456(2018安徽中考)如图，菱形ABOC的边AB、AC分别与O相切于点D、E.若点D是AB的中点，则DOE _60_. 中考典题精讲精练有关圆心角与圆周角的计算命题规律：考查对圆心角、圆周角定理的理解和运用，属于基础题目，以填空题、选择题的形式出现【典例1】(2018南充中考)如图，BC是O的
7、直径，A是O上的一点，OAC3 2，则B的度数是( A )A 58B60C64D68【解析】根据半径相等，得出OCOA，进而得出C32，利用圆周角定理的推论得B58.垂径定理命题规律：考查垂径定理的应用，题目常与勾股定理结合，是中考的热点，以填空题、选择题的形式出现【典例2】(2018临安中考)如图，O的半径OA6，以A为圆心，OA为半径的弧交O于B、C两点，则BC( A )A6 B63 2C3 D3 【解析】设OA与BC相交于点D.3 25ABOAOB6，OAB是等边三角形又根据垂径定理可得OA 垂直平分BC，BDDC，ADDO.利用勾股定理可得BD 3 ，62 32 3所以BC6 .3圆的
8、性质的综合运用命题规律：考查利用圆的性质解决问题的能力，题目以解答题的形式出现较多【典例3】(2018宜昌中考)如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EFAE，连结FB、FC.(1)求证：四边形ABFC是菱形；(2)若AD7，BE2，求半圆和菱形ABFC的面积)【解答】(1)证明：AB是半圆的直径，AEB90，AEBC.ABAC，BECE.又AEEF，四边形ABFC是平行四边形又ACAB，四边形ABFC是菱形；(2)解：设CDx，连结BD.AB是半圆的直径，ADBBDC90.AB 2AD 2CB 2CD 2，(7x) 27 24 2x 2，解
9、得x1或8(舍去)AC8，BD .82 72 15S 半圆 428 ，S 菱形ABFC 8 .12 151(2018安顺中考)已知O的直径CD10 cm，AB是O的弦，ABCD，垂足为M，且AB8 cm，则AC的长为( C )A2 cm B4 cm5 5C2 cm或4 cm D2 cm或4 cm5 5 3 32(2018眉山中考)如图，AB是O的直径，PA切O于点A，线段PO交O于点C，连结BC，若P36，则B等于( A ) A27 B32 C36 D5463(2018张家界中考)如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，OC5 cm，CD8 cm，则 AE( A )A8 cm B5 cm C3
10、 cm D2 cm,(第3题图) ,(第4题图)4如图，O的半径为2，ABC是O的内接等边三角形，则ABC的面积是_3 _35(2018北京中考)如图，AB是O的直径，过O外一点P作O的两条切线PC、PD，切点分别为C、D，连结OP、C D.(1)求证：OPCD；(2)连结AD、BC，若DAB50，CBA 70，OA2，求OP的长(1)证明：连结OC、OD.PC、PD是O的切线，ODPOCP90.在 RtODP和 RtOCP中，OD OC，OPOP， RtODP RtOCP，DOPCOP.ODOC，OPCD；(2)解：设OP与CD交于点Q，连结AD、BC.ODOA，OADODA50.CBA70，ADC110，ODC60.又OPCD，OQD90，OQOD sin 602 ，32 3DQ ODcos 601.PD是切线，PDO90，PDC30，PQDQ tan 301 ，33 33OPPQOQ .4337
