1、1第十九讲 解直角三角形宜宾中考考情与预测宜宾考题感知与试做1.(2017宜宾中考)如图,为了测量某条河的宽度,现在河边的一岸边任意取一点A,又在河的另一岸边取两点B、C,测得30,45,量得BC长为100 m.求河的宽度.(结果保留根号)解:过点A作ADBC于点D.45,ADC90,ADDC.设ADDCx m,则 tan 30 ,xx 100 33x50( 1).3答:河的宽度为50( 1) m.32.(2018宜宾中考)某游乐场一转角滑梯如图所示,滑梯立柱AB、CD均垂直于地面,点E在线段BD上,在C点测得点A的仰角为30,点E的俯角也为30,测得B、E间距离为10 m,立柱AB高30 m
2、.求立柱CD的高.(结果保留根号)解:过点C作CHAB于点H,则四边形HBDC为矩形,BDCH.由题意,得ACH3 0,CED30.设CDx m,则AH(30x) m.在 RtAHC中,HC (30x),AHtan ACH 3则BDCH (30x),3ED (30x)10.3在 RtCDE中, tan CED,CDDE ,解得x15 .x303 3x 10 33 5332答:立柱CD的高为 m.(15533)宜 宾中考考点梳理锐角三角函数1.锐角三角函数的定义正弦 sin A A的 对 边斜 边 ac余弦 cos A A的 邻 边斜 边 bc在 RtABC中,C90,ABc,BCa,ACb正切
3、 tan A A的 对 边 A的 邻 边 ab2.特殊角的三角函数值三角函数锐角 30 45 60sin 1222 32cos 32 22 12tan 33 1 3解直角三角形3.解直角三角形常用的关系三边关系 a 2b 2c 2 两锐角关系 AB90在 RtABC中,C90边角关系sin A cos Baccos A sin Bbctan Aab4.解直角三角形的应用仰角、俯角 在进行测量时,从下向上看,视线与水平线的夹角叫做 仰角 ,视线与水平线的夹角叫做 俯角 .(如图)坡度(坡比)、坡角 坡面的铅垂高度(h)和 水平长度 3(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比),记作i,即i ;坡面与水平
4、面的hl夹角叫做坡角,记作,i tan (如图)hl方位角 物体运动的方向与正北或正南方向之间的夹 角称为 方位角 .点A位于点O的北偏东30方向,点B位于点O的南偏东60方向,点C位于点O的北偏西45方向(或西北方向)(如图)【方法点拨】解直角三角形的方法:(1)解直角三角形,当所求元素不在直角三角形中时,应作辅助线构造直角三角形,或寻找已知直角三角形中的边角替代所要求的元素;(2)解实际问题的关键是构造几何模型,大多数问题都需要添加适当的辅助线,将问题转 化为直角三角形中的边角计算问题.1. 如图,在直角坐标系中,P是第一象限内的点,其坐标是(3,m),且OP与x轴正半轴的夹角的正切值是
5、,则 si43n 的值为( A )A. B. C. D.45 54 35 53(第1题图)) (第2题图)2.如图,将AOB放置在55的正方形网格中,则 tan AOB的值是( B )A. B. C. D.23 32 21313 313133.已知a、b、c是A BC的A、B、C的对边,且abc1 ,则 cos B的值为( B )2 3A. B. C. D.63 33 22 24中考典题精讲精练锐角三角函数概念及求值【典例1】如图,在ABC中,C150,AC4, tan B .184(1)求BC的长;(2)利用此图形求 tan 15的值.(精确到0.1,参考数据: 1.4, 1.7, 2.2)
6、2 3 5【解析】(1)过点A作ADBC交BC的延长线于点D,构造 RtACD求出CD的长,在 RtABD中,求出BD的长,即可得出结果;(2)在BC边上取一点M,使CMAC,连结AM即可解得.【解答】(1)如图,过点A作ADBC,交BC的延长线 于点D.在 RtADC中,AC4,ACD30,AD AC2,CDAC cos 304 2 .12 32 3在 RtABD中, tan B ,BD16.ADBD 2BD 18BCBDCD162 ;3(2)如图,在BC边上取一点M,使得CMAC,连结A M.ACB150,AMDMAC15. tan 15 tan AMDADMD 24 23 12 32 3
7、0.3.运用特殊角三角函数值进行计算【典例2】下列式子错误的是( D )A.cos 40 sin 50B.tan 15tan 751C.sin225 cos2251D.sin 602 sin 30【解析】 A.sin 40 sin (9050) cos 50,式子正确;B.tan 15tan 75 tan 15 1,式子正确; C.sin225 cos2251正确;1tan 15D.sin 60 , sin 30 ,则 sin 602 sin 30错误.32 12解直角三角形的应用【典例3】小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度.如图,旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等.小明将PB拉到P
8、B的位置,测得PBC(BC为水平线),测角仪BD的高度为1 m,则旗杆PA的高度为( A )5A. m B. m11 sin 11 sin C. m D. m11 cos 11 cos 【解析】在 RtPCB中,根据 sin 列出方程可解决问题.PCPB1.如图,在 RtABC中,BAC90,ADBC于点D,则下列结论不正确的是( C )A.sin B B.sin BADAB ACBCC.sin B D.sin BADAC CDAC2.在 RtABC中,C90, cos B ,AB10 cm,则BC的长度为( A )35A. 6 cm B. 7 cm C. 8 cm D. 9 cm3.如图,在
9、ABC中,B90,BC2AB,则 cos A .554.在ABC 中,若角A、B满足| cos A |(1 tan B) 20,则C的大小是( D )32A.45 B.60 C.75 D.1055.如图,斜面AC的坡度(CD与AD的比)为12,AC3 5m,坡顶有一旗杆BC,旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连.若AB10 m,则旗杆BC的高度为( A )6A.5 m B.6 mC.8 m D.(3 ) m56.(2018遵义中考)如图,吊车在水平地面上吊起货物时,吊绳BC与地面保持垂 直,吊臂AB与水平线的夹角为64,吊臂底部A距地面1.5 m.(计算结果精确到0.1 m,参考数据: sin 6
10、40.90, cos 640.44, tan 642.05) (1)当吊臂底部A与货物的水平距离AC为5 m时,吊臂AB的长为 m;(2)如果该吊车吊臂的最大长度AD为20 m,那么从地面上吊起货物的最大高度是多少? (吊钩的长度与货物的高度忽略不计)解:(1)在 RtABC中,BAC64,AC5,ABError!50.4411.4.吊臂AB的长为11.4 m.故应填:11.4;(2)过点D作DH地面 于点H,交水平线于点E.在 RtADE中,AD20,DAE64,EH1.5,DE sin 64AD200.9018.0,即DHDEEH18.01.519.5.答:从地面上吊起货物的最大高度是19.5 m.2