1、1拉萨中学高二年级（2020 届）第四次月考理科数学试卷一、选择题（每题只有一个正确答案。每小题 5 分，共 60 分）1.抛物线 的焦点坐标是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用抛物线的标准方程，转化求解即可【详解】抛物线 y=-x2的开口向下， ，所以抛物线的焦点坐标 故选：A【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力2.对于实数 a，b，则“ab0”是“ ”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用不等式的基本性质，结合字母的特殊值排除错误选项，确定正确选项即可【详解】若“ ”
2、即 ，则“ ”，故“ ”是“ ”的充分条件，a|b|b|a|=ba0 a0) 3x2y=0A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】2双曲线 的渐近线方程为 ,所以 ，故选 B.x2a2-y29=1(a0) y=3ax=32x a=24.在空间直角坐标系 中，点 关于点 的对称点是 （ ）Oxyz (1,2,2) (1,0,1)A. B. C. D. (3,2,4) (3,2,4) (3,2,4) (3,2,4)【答案】D【解析】【分析】设出对称点的坐标，利用中点坐标公式求解出来.【详解】设对称点为 ，根据中点坐标公式有 ，解得(x,y,z)1+x2 =-1,-2+y2 =0,-
3、2+z2 =1，故对称点的坐标为 .所以选 D.x=-3,y=2,z=4 (-3,2,4)【点睛】本小题主要考查空间两点关于某点对称的坐标的求法，考查中点坐标公式，属于基础题.5.方程 x2 y21( xy0)的曲线形状是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】方程 x2+y2=1（xy0）表示以原点为圆心，1 为半径的圆在第二、四象限的部分，故选 C6.抛物线 的焦点到双曲线 的渐近线距离是（ ）x=18y2 x2y23=1A. B. 1 C. D. 332 12【答案】A【解析】【分析】求出抛物线的焦点坐标，双曲线的焦点坐标到渐近线的距离，转化求解即可【详解】抛物线 的焦点（2，0
4、）到渐近线 x=18y2 3x+y=0距离为： 的焦点（2，0）到渐近线距离为 b= |23|(3)2+12= 3x 18y2 3故选 A.3【点睛】题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力7.已知椭圆 的焦点在 y 轴上,且离心率 ,则 （ ）x2a+y216=1 e=34 a=A. 9 B. 15 C. 6 D. 7【答案】D【解析】【分析】根据焦点在 y 轴上的椭圆方程 ，算出 结合椭圆离心率的公式，建立关x2a+y216=1 c= 16a于的方程，解之即可得到实数的值【详解】椭圆 的焦点在 y 轴上，可得x2a+y216=1 c= 16a又椭圆的离心率为 ，34 ，e=ca
5、=16a4 =34,a=7故选：D【点睛】本题给出椭圆关于的方程形式，在已知椭圆的焦点在 y 轴的离心率的情况下求实数值，着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题8.抛物线 上一点到直线 的距离最短的点的坐标是( )y=x2 2xy4=0A. B. C. D. (2,4) (12,14) (32,94) (1,1)【答案】D【解析】【分析】设抛物线 y=x2上一点为 A（x 0，x 02） ，点 A（x 0，x 02）到直线 2x-y-4=0 的距离由此能求出抛物线 y=x2上一点到直线 2x-y-4=0 的距离最短的点的d=|2x0x204|4+1 =5|(x01)2+3|5
6、 ,坐标【详解】设抛物线 y=x2上一点为 A（x 0，x 02） ，点 A（x 0，x 02）到直线 2x-y-4=0 的距离 d=|2x0x204|4+1 =5|(x01)2+3|5 ,当 x0=1 时，即当 A（1，1）时，抛物线 y=x2上一点到直线 2x-y-4=0 的距离最短故选：D【点睛】本题考查抛物线上的点到直线的距离最短的点的坐标的求法，是基础题解题时4要认真审题，仔细解答9.已知两点 M(-1,0),N(1,0)，点 P 为坐标平面内的动点，且满足 ，|MN|MP|+MNNP=0则动点 P 的轨迹方程为A. y2=-8x B. y2=8x C. y2=-4x D. y2=4
7、x【答案】C【解析】【分析】先根据 MN 的坐标求出|MN|然后设点 P 的坐标表示出关系即可得到答案|MN|MP|+MNNP=0【详解】设 P（x，y） ，x0，y0，M(-1,0),N(1,0)， |MN| 2则 MP (x+1，y)，NP (x-1，y)由 ，|MN|MP|+MNNP=0则 2(x+1)2+y2+2(x-1) 0，化简整理得 y2=-4x 故选 C【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，抛物线的定义向量的坐标表示和数量积的性质在平面向量中的应用是学习的重点和难点也是高考常常考查的重要内容之一在平时请多多注意用坐标如何来表示向量平行和向量垂直，既要注意它们联系，也要注意它
8、们的区别10.设抛物线 的准线与 x 轴交于点 Q，若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则y2=4x直线 l 的斜率的取值范围是 A. B. C. D. -12,12 -2,2 -1,1 -4,4【答案】C【解析】 ，y2 4x )(Q 为准线与 x 轴的交点 ),设过 Q 点的直线 l 方程为 .Q(-1,0 y=k(x+1) l 与抛物线有公共点， ，5方程组 有解y2 4xy=k(x+1) 即 有解。k2x2+(2k2-4)x+k2=0 即 1.=(2k2-4)2-4k40, k2 ，-1k1故选 C.点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是
9、一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用11.已知椭圆 ： （ ）的右焦点为 ，过点 的直线交椭圆 交于 ，Cx2a2+y2b2=1 ab0 F(3,0) F C A两点，若 的中点 ，则椭圆 的方程为（ ）B AB P(1,1) CA. B. x245+y236=1 x236+y227=1C. D. x227+y218=1 x218+y29=1【答案】D【解析】设 ，直线 的斜率 ， ，两式相减得
10、A(x1,y1),B(x2,y2) AB k=1013=12 x12a2+y12b2=1x22a2+y22b2=1 ，即 ，即 ，(x1+x2)(x1x2)a2 +(y1+y2)(y1y2)b2 =0 1a2+(y1+y2)(y1y2)b2(x1+x2)(x1x2)=01a2+1b21222=0 a2=2b2，解得： ，方程是 ，故选 D.c2=9,a2=b2+c2 a2=18,b2=9x218+y29=1【此处有视频，请去附件查看】12.已知 F1,F2是双曲线 的左右焦点，若直线 与双曲线 C 交于C:x2a2y2b2=1(a0，b0) y= 3xP,Q 两点，且四边形 F1PF2Q 是矩
11、形，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 2+1 3+1 525 5+25【答案】B6【解析】【分析】由题意，矩形的对角线长相等，由此建立方程，找出 a，c 的关系，即可求出双曲线的离心率【详解】由题意，矩形的对角线长相等，把 代入 ，y= 3xx2a2-y2b2=1(a0，b0)可得 ，x= a2b2b23a2，y= 3 a2b2b23a2 4a2b2b23a2=c2，4a 2b2=（b 2-3a2）c 2，4a 2（c 2-a2）=（c 2-4a2）c 2，e 4-8e2+4=0，e1， e2=4+23，e= 3+1故选：B【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查矩形的性质，确定 a
12、，c 的关系是关键，属于中档题二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13.已知 O 为坐标原点，B 与 F 分别为椭圆 的短轴顶点与右焦点，若x2a2+y2b2=1(ab0),则该椭圆的离心率是_.|OB|=|OF|【答案】22【解析】【分析】利用已知条件推出 b=c，转化求解椭圆的离心率即可7【详解】O 为坐标原点，B 与 F 分别为椭圆 的上顶点与右焦点，若x2a2+y2b2=1(ab0)|OB|=|OF|，可得 b=c，则 a= c2+b2= 2c所以椭圆的离心率为： e=ca 22故答案为： 22【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力14.已知抛物线 的过焦点的弦为 ，
13、且 ， ，则y2=2px(p0) AB |AB|=9 xA+xB=6_.p=【答案】3【解析】由题意知| AB|= +p,即 p=|AB|( )=96=3.xA+xB xA+xB故答案为：3.15.空间向量 , ,且 ，则 _a=(2, 3, -2) b=(2, -m, -1) ab |b|=【答案】3【解析】由已知条件 得 ， ，解得 .ab ab=0 22-3m+2=0 m=2所以 ，得 .b=(2, -2, -1) |b|= 22+(-2)2+(-1)2=3故答案为：3.16.下列说法错误的是_. 如果命题“ ”与命题“ 或 ”都是真命题，那么命题 一定是真命题. p p q q命题 ,
14、则p:x0R,x202x0+41 xx00 q真时的范围，由复合命题真值表知：若 是真命题， 是假命题，则命题 、 一真一pq pq p q假，分 真 假和 真 假两种情况求出的范围，再求并集p q q p试题解析：依题意有：对于 ：00=( 1)2 4aa0 12所以对于 ： .q129由“ 或 是真命题， 且 是假命题” ，可知 ， 一真一假，p q p q p q当 真 假时， ，有的取值范围是p q 00,b0) 3 x=33（）求双曲线 的方程；C（）已知直线 与双曲线 C 交于不同的两点 A，B，且线段 AB 的中点在圆xy+m=0上，求 m 的值.x2+y2=5【答案】a=16,
15、(1,3)【解析】试题分析：（1）因为双曲线 的离心率为 ，右准线方程为 ，所C:x2a2y2b2=1(a0,b0) 3 x=33以 ，所以 ，ca= 3，a2c=33,又 a2+b2=c2 a2=1,b2=212所以双曲线 C 的方程为 6 分（2）由 ，得 ，设 ，x2y22=1xy+m=0 x22mxm22=0 A(x1,y1),B(x2,y2)则 ，所以 ，所以x1+x2=2m,x1x2=m2+2 y1+y2=x1+x2+2m=4m，因为线段 AB 的中点在圆 上，所以代入得 6x0=x1+x22 =m,y0=y1+y22 =2m x2+y2=5分考点：双曲线的简单性质；双曲线的标准方
16、程；直线与双曲线的综合应用。点评：圆锥曲线与直线的综合应用，是考试中常考的内容。在解题时要注意双曲线性质的灵活应用，还有注意别出现计算错误。属于中档题型。【此处有视频，请去附件查看】21.椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，右焦点 F 的坐标为（2，0） ，且点 F 到短轴的一个端点的距离是 6（1）求椭圆 C 的方程；（2）过点 F 作斜率为 k 的直线 l，与椭圆 C 交于 A、B 两点，若 ，求 k 的取值OAOB43范围【答案】解（I） （II）【解析】分析：（1）由题可得 ，然后根据 a,b,c 的关系即可得达到 b，从而得出方程；（2）先设出过焦点的直线，然后联立方程得出
17、韦达定理，而 ，故几何韦达定理即可得出有关 k 的不等式，解不等式即得出结论.详解：（I）由已知， ； ,故椭圆 C 的方程为 4 分（II）设13则 A、B 坐标是方程组 的解。消去 ，则， 7 分所以 k 的取值范围是 12 分点睛：解本题要熟悉椭圆的定义和基本性质，对于第二问则比较直接，思路顺畅，直接借助韦达定理即可，此题属于基础题.22.已知抛物线 过点 ，且点 到其准线的距离为 y2=2px(p0) A(2,y0) A 4（ ）求抛物线的方程1（ ）直线 与抛物线交于两个不同的点 ， ，若 ，求实数 的值2 l:y=x+m P Q OPOQ m【答案】(1) y2=8x(2) 8【解
18、析】分析：（1）根据点 到其准线的距离为 可得 求得 p 即可；（2）联立方程结合A 4 2+p2=4建立等式关系，然后代入韦达定理求解即可.OPOQ详解：（ ）已知抛物线 过点 ，且点 到准线的距离为 ，1 y2=2px(p0) A(2,y0) A 4则 ，2+p2=4 ，p=414故抛物线的方程为： （ ）由 得 ，设 ， ，则 ， ， ， ， ， 或 ，经检验，当 时，直线与抛物线交点中有一点与原点 重合，不符合题意，当 时， ，符合题意，综上，实数 的值为 点睛：考查抛物线的定义和基本性质，对于直线与抛物线问题通常连立方程依赖韦达定理建立等式关系，注意对所求参数的检验，此处是易错点引起注意，属于中档题.15
