1、- 1 -荆门市龙泉中学 2019 年高三年级 11 月月考数学（理）试题一、选择题：本题共 12 个小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合 , ，则 等于A. B. C. D. 【答案】B【解析】因 ，则 ，应选答案 B。2.已知复数 满足： ，其中 是虚数单位，则 的共轭复数为A. B. C. D. 【答案】B【解析】，所以 的共轭复数为 .故选 B.3.若 ， ，则 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ， （ ， ） ，又因为 ，故 sin=sin（ ）- =sin（ ）cos -cos（ ）sin= = ,故选 A.点睛：
2、三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式 ；二看函数名称，看函数名称之间的- 2 -差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.4.在“吃鸡”游戏中，某玩家被随机降落在边长为 4 的正三角形绝地岛上，已知在离三个顶点距离都大于 的区域内可以搜集枪支弹药、防弹衣、医疗包等生存物资，则该玩家能够获得生存物资的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出满足条件的正三角形 ABC 的面积，再求出满足条件正三角形 ABC 内的点
3、到正方形的顶点A、 B、 C 的距离均不小于 2 的图形的面积，然后代入几何概型公式即可得到答案【详解】设满足条件的正三角形为 ABC， 如下图所示：其中正三角形 ABC 的面积 S 三角形 164 ，满足到正三角形 ABC 的顶点 A、 B、 C的距离至少有一个小于 2 的平面区域如图中阴影部分所示，则 S 阴影 2，则使取到的点到三个顶点 A、 B、 C 的距离都大于 2 的概率是：P1 1 ，故选： A【点睛】本题考查几何概型概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式几何概型的概率估算公式中的“几何度量” ，可以为线段长度、面积、体积等，本题考查的是面积的比，属于基础题.5.下列说法正确
4、的是( )A. 命题“ xR, 使得 ”的否定是:“ xR, ”.- 3 -B. “ 为真命题”是“ 为真命题”的必要不充分条件.C. ,“ ”是“ ”的必要不充分条件.D. 命题 p:“ ”,则p 是真命题.【答案】C【解析】【分析】A根据特称命题的否定是全称命题进行判断B根据充分条件和必要条件的定义进行判断C. 根据充要条件的定义，可判断D根据三角函数的性质进行判断根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】 A命题“ xR 使得 x2+2x+30”的否定是：“ xR， x2+2x+30” ，故 A 错误，B若 p q 为真命题，则 p， q 都是真命题，此时 p q
5、为真命题，即充分性成立，反之当 p假 q 真时， p q 为真命题，但 p q 为假命题，故“ p q 为真命题”是“ p q 为真命题”的充分不必要条件，故 B 错误，C aR， “ 1”“a0，或 a1” ，又“ a0，或 a1”是“ a1”的必要不充分条件，所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，故 C 正确；D sin x+cosx sin（ x ） 恒成立， p 是真命题，则 p 是假命题，故 D 错误，故选 C.【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查四种命题，命题的否定，不等式的基本性质，充要条件等知识点，属于中档题6.中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学命题：“九百九十斤绵
6、，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言.”题意是：把 996 斤绵分给 8 个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多 17 斤绵，那么第 8 个儿子分到的绵是（ ）A. 174 斤 B. 184 斤 C. 191 斤 D. 201 斤【答案】B- 4 -【解析】用 表示 8 个儿按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列 是公差为 17 的等差数列，且这 8 项的和为 996， ，解得 选 B7.执行下面的程序框图，如果输入 ， ，则输出的 （ ）A. 54 B. 33 C. 20 D. 7【答案】C【解析】执行程序框图， ； ；，结束循环，输出 ，故选 C.
7、8.函数 在区间 的图象大致为（ ）A. B. - 5 -C. D. 【答案】A【解析】分析：判断 的奇偶性，在 上的单调性，计算 的值，结合选项即可得出答案.详解：设 ，当 时， ，当 时， ，即函数 在 上为单调递增函数，排除 B；由当 时， ，排除 D；因为 ，所以函数 为非奇非偶函数，排除 C，故选 A.点睛：本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中涉及到函数的单调性、函数的奇偶性和函数值的应用，试题有一定综合性，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力.9.已知函数 的部分图象如图所示，则函数图象的一个对称中心可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由图象最高点
8、与最低点的纵坐标知 ，又 ，即 ，所以 则- 6 -，图象过点 ，则 ，即 ，所以 ，又，则 故 ，令 ，得 ，令 ，可得其中一个对称中心为 故本题答案选 10.在平面直角坐标系 中,已知点 , ,动点 满足 ,其中,则所有点 构成的图形面积为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】以 为邻边作平行四边形 ， ,其中 , 点位于 内部（包含边界） 所有点 构成的图形面积为 故选 C.11.已知抛物线 的焦点为 ， 为坐标原点，设 为抛物线上的动点，则 的最大值为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由抛物线方程为： y22 px（ p0） ，可得：焦点 F（ ，0）
9、，由抛物线的定义可得 ，化简再换元，利用基本不等式求得最大值【详解】由抛物线方程为： y22 px（ p0） ，可得：焦点 F（ ，0） ，设 M（ m， n） ，则 n22 pm， m0，设 M 到准线 x 的距离等于 d，- 7 -则 令 pm t， t ，则 m ， （当且仅当 t 时，等号成立） 故 的最大值为 ，故选： D【点睛】本题考查抛物线的定义、基本不等式的应用，考查换元的思想，解题的关键是表达出 ，再利用基本不等式，综合性强12.若曲线 和 上分别存在点 ,使得是以原点 为直角顶点的直角三角形，AB 交 y 轴于 C,且 则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答
10、案】B【解析】【分析】由题意设出 A， B 的坐标，代入函数解析式，利用 把 B 的坐标用 A 的坐标表示，由可得关于 A 的横坐标的方程，分离参数 a 后构造函数 h（ x） ，利用导数求其在（ e1 x e21）上的单调性，得到函数的值域得答案【详解】设 A（ x1， y1） ， y1 f（ x1） ， B（ x2， y2） ， y2 g（ x2） x23+x22（ x0） ，又 ，- 8 -则 ， x22 x1， ， ，由题意， ，即 0， ， e1 x1 e21， ，则 设 h（ x） ，则 h（ x） ，令,则 u（ x）= = 0 在 e1 x e21 恒成立，所以 单增，所以 =
11、 0， h（ x）0，即函数 h（ x） 在（ e1 x e21）上为增函数，则 ，即 4e-2 a 实数 a 的取值范围是 故选： B【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，考查逻辑思维能力和推理运算能力，属中档题二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.已知平面向量 若 与 的夹角为 ，且 ，则实数 _.- 9 -【答案】【解析】【分析】根据向量垂直的定义及等价条件建立方程关系进行求解即可【详解】向量 （2，1） ， （2， x） ， 2 （6，1+2 x） ， （0，1 x） ，（ 2 ）（ ） ，（ 2 ）（ ）0，则（1+2 x） （
12、1 x）0，得 x 或 x1，又 x=1 时， ，又有条件 ，根据向量垂直的定义，当 x=1 时，舍去，故答案为： 【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，熟知向量垂直的坐标公式以及向量垂直的定义是解决本题的关键14.等差数列 的公差是 2，若 成等比数列， 的前 项和，则 的前 项和是_.【答案】【解析】【分析】由题意可得 a42（ a44） （ a4+8） ，解得 a4可得 a1，代入求和公式可得 ，进而得到 = -，再利用裂项相消求和的方法求得结果.【详解】由题意可得 a42 a2a8，即 a42（ a44） （ a4+8） ，解得 a48，- 10 - a1 a4322， Sn na
13、1 d，2 n 2 n（ n+1） ，= - ， 的前 项和为 1- + + - + - =1- = ，故答案为 .【点睛】本题考查等差数列的性质和求和公式，考查了裂项相消求和的方法，属基础题15.过点 作圆 的两条相互垂直的弦 和 ，则四边形 的最大面积：_.【答案】6【解析】【分析】设点 ,设圆心 C 到直线 AB、 EF 的距离分别为 d1， d2，则 d12+d22| CN|2，由 N 坐标求出 d12+d22的值，表示出| EF|与| AB|，进而表示出 S，利用基本不等式求出最大值即可；【详解】设点 ,设圆心 C 到直线 AB、 EF 的距离分别为 d1， d2，则 d12+d22
14、| CN|2 ，| AB|2 2 ，| EF|2 2 ， S |AB|EF|2 4 d12+4 d228 ，当且仅当 2 d122 d22= ，即 d1 d2 时取等号，则四边形 AEBF 的面积最大值为 ；故答案为 6.【点睛】本题考查四边形面积的最大值和最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意圆的性质和均值定理的合理运用16. 是 上可导的奇函数， 是 的导函数.已知 时 不等式的解集为 ，则在 上 的零点的个数为_.【答案】 【解析】- 11 -令 ，则 ，又 时， ， ， 在 上单调递增，又 ， ，不等式 等价于，即 ， ，解得 ，故，又 ，故在区间 内的零点为 ，即 2 个零点
15、，故答案为 2.三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17 题21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22 题和第 23 题为选考题，考生根据要求作答.17.在 中，内角 ， ， 所对的边长分别是 ， ， （1）若 ， ，且 的面积为 ，求 ， 的值；（2）若 ，试判断 的形状【答案】 （1） a2，b2 （2）等腰三角形或直角三角形【解析】试题分析：（1）根据余弦定理，得 ，再由面积正弦定理得 ，两式联解可得到 a，b 的值；（2）根据三角形内角和定理，得到 sinC=sin（A+B） ，代入已知等式，展开化简合并，得sinBcosA=sinAcosA，
16、最后讨论当 cosA=0 时与当 cosA0 时，分别对ABC 的形状的形状加以判断，可以得到结论试题解析：（1） c2， ，由余弦定理 c2a 2b 22abcosC 得 a2b 2ab4.又ABC 的面积为 ， absinC ，ab4.联立方程组 解得 a2，b2.（2）由 sinCsin（BA）sin2A，得 sin（AB）sin（BA）2sinAcosA，即 2sinBcosA2sinAcosA，cosA（sinAsinB）0，cosA0 或 sinAsinB0，当 cosA0 时，0A，A ，ABC 为直角三角形；- 12 -当 sinAsinB0 时，得 sinBsinA，由正弦定
17、理得 ab，即ABC 为等腰三角形ABC 为等腰三角形或直角三角形考点：正弦定理；三角形的形状判断18.如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， 为 的中点（1）求异面直线 ， 所成角的余弦值；（2）点 在线段 上，且 ，若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的值【答案】 （1） （2）1【解析】试题分析：（1）利用空间向量求线线角，先根据题意确定空间直角坐标系，设立各点坐标，表示直线方向向量，利用向量数量积求向量夹角余弦值，最后根据线线角与向量夹角关系得线线角余弦值（2）利用空间向量求线面角，先根据题意确定空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组求面的法向量，利用向量数量积求向量夹角余弦值，
18、最后根据线面角与向量夹角互余关系列等量关系，解出 的值试题解析：（1）- 13 -因为 平面 ，且 平面 ，所以 ， ，又因为 ，所以 两两互相垂直分别以 为 轴建立空间直角坐标系，则由 ， 可得， ， ， ， ，又因为 为 的中点，所以 所以 ， ，2 分所以，所以异面直线 ， 所成角的余弦值为 5 分（2）因为 ，所以 ，则 ， ，设平面 的法向量为 ，则 即 令 ，解得 ， ，所以 是平面 的一个法向量7 分因为直线 与平面 所成角的正弦值为 ，所以 ，解得 ，所以 的值为 10 分考点：利用空间向量求空间角【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关” ，构
19、建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关” ，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关” ，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.19.海康威视数字技术股份有限公司在习主席“企业持续发展之基、市场制胜之道在于创新”的号召下，研制出了一种新产品。该公司试制了一批样品分别在国内和国外上市销售，并且- 14 -价格根据销售情况不断进行调整，结果 40 天内全部销完公司对销售及销售利润进行了调研，结果如图所示，其中图(一条折线)、图(一条抛物线段)分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图是每件样品的销售利润与上市时间的关系（1）分别写出国外市场的日销售量 与上市时间 的关系及国内市场
20、的日销售量 与上市时间 的关系；（2）该产品上市后，问哪一天这家公司的日销售利润最大？最大是多少？【答案】 （1）见解析；（2）6399【解析】【分析】（1）根据图象写出分段函数即可；（2）通过写出这家公司的日销售利润 Q（ t）的解析式，分情况讨论即可【详解】 （1）依题意， f（ t） ，g（ t） t2+6t，0 t40，q（ t） ；（2）这家公司的日销售利润 Q（ t）的解析式：Q（ t） ，当 0 t20 时， Q（ t） t2+48t 0，从而 Q（ t）在区间0，20上单调递增，此时 Q（ t） max Q（20）6000；当 20 t30 时， Q（ t）9 6400，从而
21、Q（ t） max Q（27）6399；当 30 t40， Q（ t） Q（30）6300；- 15 -综上所述， Q（ t） max Q（27）6399答：第 27 天这家公司的日销售利润最大，最大值为 6399 元【点睛】本题考查函数模型的选择与应用，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题20.设椭圆 ： ， 为左、右焦点， 为短轴端点，且 ，离心率为 , 为坐标原点（1）求椭圆 的方程，（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 C 恒有两个交点 , ,且满足 ？若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由【答案】 （1） ；（2）见解析【解析】【分析】（1）由
22、题意可得方程 2cb4， e ，且 a2 b2+c2；从而联立解出椭圆 C的方程为 1；（2）假设存在圆心在原点的圆 x2+y2 r2，使得该圆的任意一条切线与椭圆 C 恒有两个交点M、 N，则可得 0；再设 M（ x1， y1） ， N（ x2， y2） ，当切线斜率存在时，设该圆的切线的方程为 y kx+m，与椭圆联立，利用韦达定理及条件可得 3m28 k280，代入从而可解得 m 的范围，进而解出所求圆的方程，再验证当切线的斜率不存在时也成立即可【详解】 （1） ）椭圆 C： 1（ a b0） ，由题意可得，2cb4， e ，且 a2 b2+c2；联立解得， ；故椭圆 C 的方程为 1；
23、- 16 -（2）假设存在圆心在原点的圆 x2+y2 r2，使得该圆的任意一条切线与椭圆 C 恒有两个交点 M、 N，| | |， 0；设 M（ x1， y1） ， N（ x2， y2） ，当切线斜率存在时，设该圆的切线的方程为 y kx+m，解方程组 得，（1+2 k2） x2+4kmx+2m280，则（4 km） 24（1+2 k2） （2 m28）8（8 k2 m2+4）0；即 8k2 m2+40； x1+x2 ， x1x2 ；y1y2（ kx1+m） （ kx2+m） k2x1x2+km（ x1+x2）+ m2 ；要使 0，故 x1x2+y1y20；即 0；所以 3m28 k280，所
24、以 3m280 且 8k2 m2+40；解得 m 或 m ；因为直线 y kx+m 为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为 r ， r2 ；故 r ；即所求圆的方程为 x2+y2 ；- 17 -此时圆的切线 y kx+m 都满足 m 或 m ；而当切线的斜率不存在时切线为 x 与椭圆 1 的两个交点为（ ， ） ， （， ） ；满足 0，综上所述，存在圆心在原点的圆 x2+y2 满足条件【点睛】本题考查了圆锥曲线的应用，考查了根与系数的关系及化简运算，属于难题21.已知函数 ， （1）若曲线 在 处的切线与直线 垂直，求实数 的值；（2）设 ，若对任意两个不等的正数 ，都有 恒成立，求实数
25、的取值范围；（3）若 上存在一点 ，使得 成立，求实数 的取值范围【答案】(1) ;(2) ;(3) .【解析】试题分析：（1）先根据导数几何意义得 ，解得实数 的值；（2）设 ，构造函数，则转化为 在 上为增函数，即得 在 上恒成立，参变分离得 ，最后根据二次函数最值求实数 的取值范围；（3）先化简不等式，并构造函数 ，求导数，按导函数零点与定义区间大小关系讨论函数单调性，根据单调性确定函数最小值，根据最小值小于零解得实数 的取值范围.试题解析：解：（1）由 ，得 . 由题意， ，所以 . （2） .- 18 -因为对任意两个不等的正数 ，都有 恒成立，设 ，则即 恒成立. 问题等价于函数
26、，即 在 上为增函数， 所以 在 上恒成立.即 在 上恒成立.所以 ，即实数 的取值范围是 . （3）不等式 等价于 ，整理得.构造函数 ，由题意知，在 上存在一点 ，使得 .因为 ，所以 ，令 ，得 .当 ，即 时， 在 上单调递增.只需 ，解得 .当 即 时， 在 处取最小值.令 即 ，可得 .令 ，即 ，不等式 可化为 .因为 ，所以不等式左端大于 1，右端小于等于 1，所以不等式不能成立 .当 ，即 时， 在 上单调递减，只需 ，解得.综上所述，实数 的取值范围是 .- 19 -22.在直角坐标系 中,直线 的参数方程为 ( 为参数),在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,
27、曲线 .(1)判断直线 与曲线 的位置关系;(2)若 是曲线 上的动点,求 的取值范围.【答案】 （1）相切；（2）【解析】【分析】（ 1）将直线 l 的参数方程中消去 t，得到直线 l 的普通方程，在曲线 C 的极坐标方程两边同时乘以 ，利用 2 x2+y2，sin y，即可得出曲线 C 的直角坐标方程，利用 d 与 r 的关系判断直线 与曲线 的位置关系.（2）利用 的几何意义列出 ，进行求解.【详解】(1)化直线的参数方程为普通方程 ,化曲线的极坐标方程为普通方程, 因为圆心 到直线 的距离 ,故直线 与曲线 的位置关系是相切.(2) 可以看成圆上的点 与定点 连线的斜率.设过 的直线斜
28、率为 ,过 的直线为 ,即由圆心 到此直线的距离 可得 ,即 的取值范围是【点睛】本题考查极坐标、参数方程与普通方程之间的转化，考查了直线与圆的位置关系，属于中等题23.已知函数(1)当 时,求 的解集;(2)若对 使得 成立,求 的取值范围.【答案】 （1） ；（2）【解析】- 20 -【分析】（1）将 f(x)分类去绝对值，在每一类下分别求解 即可（2）设 ， x1R， x2R，使得 f（ x1） g（ x2）函数 f（ x）的值域是函数 g（ x）值域的子集，分别求出两函数值域，根据子集的定义列不等式求解【详解】(1) 当 时, 当 时, 由 得 ,又 ,故无解; 当 时,由 得 ,又 ,故 ;当 时,由 得 ,又 ,故 ，综上所述(2)设 ,由题意可知： 的值域 的值域, ，由 得 ,故 .【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，恒成立与存在问题，考查了转化思想，属于中档题- 21 -
