1、- 1 -龙泉中学 2019 届高三年级 12 月月考数学（理科）试题一、选择题：本题共 12 个小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：化简集合 ，根据交集的定义计算 .详解：因为集合 ，化简 ,所以 ，故选 D.点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合 且属于集合 的元素的集合.2.若复数 满足 （ 为虚数单位） ， 为 的共轭复数，则 （ ）A. B. 2 C. D. 3【答案】A【
2、解析】分析：把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，结合复数模的公式求解.详解：由 ，得 ，则 ，则 ，故选 A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.- 2 -3.某学校的两个班共有 100 名学生，一次考试后数学成绩 服从正态分布 ，已知 ，估计该班学生数学成绩在 110 分以上的人数为A. 20 B. 10 C. 7 D. 5【答案】B【解析】【分析】根据考试成绩服从正
3、态分布 ，可得考试成绩关于 对称，再由题意，即可求解成绩在 110 分以上的人数。【详解】由考试成绩服从正态分布 ，且 ，则 ,所以该班人数在 110 分以上的人数为 。故选 B.【点睛】本题考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，解题关键是考试成绩 关于对称，利用对称写出要用的一段的频数，从而解出题目。4.古代数学著作九章算术有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的 2 倍，已知她 5 天共织布5 尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述已知条件，若要使织布的总尺数不少于 50 尺，则至少需要A. 7 天 B. 8
4、天 C. 9 天 D. 10 天【答案】C【解析】【分析】设所需天数为 n 天，第一天 3 为 尺，先由等比数列前 n 项和公式求出 ，在利用前 n 项和，便可求出天数 n 的最小值。【详解】设该女子所需天数至少为 n 天，第一天织布 尺，由题意得： ，- 3 -解得 ，解得 ， ，所以要织布的总尺数不少于 50 尺，该女子所需天数至少为 9 天，故选 C.【点睛】本题考查等比数列的前 n 项和，直接两次利用等比数列前 n 项和公式便可得到答案。5.在矩形 中， ，若向该矩形内随机投一点 ，那么使得 与 的面积都不小于 3 的概率为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据 和 的
5、面积都不小于 3 可得 P 在平面内满足题意的区域面积，再利用几何概型性质可得 计算出结果。【详解】 ，P 到 AB 的距离 ，同理可得：P 到 AD 的距离 ，可得 P 可在区域为邻边分别为 3 和 的矩形，所以 ，故选 C。【点睛】本题考查几何概型概率求解，利用面积之比便可求解。6. 执行如图所示的算法，则输出的结果是（ ）- 4 -A. 2 B. C. D. 1【答案】D【解析】试题分析：， ， ； ， ， ； ， ，故输出 .考点：程序框图【方法点睛】本题主要考查程序框图的条件结构流程图，属于容易题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：（1）不要混淆处理框和输入框；（2）注意区分程序
6、框图是条件分支结构还是循环结构；（3）注意区分当型循环结构和直到型循环结构；（4）处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；（5）要注意各个框的顺序.7.有 6 名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4 号或 5 号选手得第一名；观众乙猜测：3 号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6 号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有 1 人猜对比赛结果，此人是( )A. 甲 B. 乙C. 丙 D. 丁【答案】D【解析】试题分析：如果 1、2 号得第一名，则乙丙对，如果 3 号得第一名，则只有丁对，如果 4、5号得第一名，则
7、甲乙都对，如果 6 号得第一名，则乙丙都对，因此只有丁猜对，故选 D- 5 -考点：反证法8.一个几何体的三视图如右图所示，该几何体外接球的表面积为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据三视图可知该几何体是一个四棱锥，然后分别求出各个面的面积然后作和即可。【详解】根据三视图可知该几何体是一个四棱锥，其一个侧面是一个边长为 4 的正三角形，高为 ，将该四棱锥还原成一个三棱柱，如图所示，则其底面为边长为 4 的正三角形，高为 6，三棱柱的中心到期 6 个顶点的距离即为外接球的半径，因为三棱柱的底面是边长为 4 正三角形，所以底面三角形的中心到底面的三个顶点距离为 ，三棱锥的外接球半
8、径即为该三棱柱的外接球的半径，所以外接球的表面积为 ，故选 A.- 6 -【点睛】本题考查三视图与直观图，几何体外接球表面积，首先利用三视图与直观图的关系还原出直观图，然后再利用外接球半径与几何体各棱长之间的关系解出外接球半径，即可求出所需外接球表面积。9.设 为坐标原点，点 为抛物线 ： 上异于原点的任意一点，过点 作斜率为的直线交 轴于点 ，点 是线段 的中点，连接 并延长交抛物线于点 ，则 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设点 ，点 ，则 ， .过点 作斜率为 的直线交 轴于点 ，点 是线段 的中点直线 的方程为 .联立 ，解得 ，即 .- 7 -故选 C.10.设
9、函数 为定义域为 的奇函数，且 ，当 时， ，则函数在区间 上的所有零点的和为A. 10 B. 8 C. 16 D. 20【答案】B【解析】【分析】根据函数是定义在 R 上的奇函数得函数 图像关于原点对称，又由 可得函数图像关于直线 对称，故而得出函数 是以 4 为周期的周期函数，然后利用数形结合便可得解。【详解】因为函数 为定义域为 的奇函数，所以 ，又因为 ，所以 ，可得 ，即函数 是周期为 4 的周期函数，且 图像关于直线 对称。故 在区间 上的零点，即方程 的根，分别画出 与 的函数图像，因为两个函数图像都关于直线 对称，因此方程 的零点关于直线 对称，由图像可知交点个数为 8 个，分
10、别设交点的横坐标从左至右依次为 ，则 ，所以所有零点和为 8,故选 B。【点睛】本题考查方程解的个数（或函数零点个数）问题，利用函数的奇偶性对称性解决这- 8 -一类问题。11.已知函数 的图象过点 ，且在 上单调，同时 的图象向左平移 个单位之后与原来的图象重合，当 ，且 时，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意求得 的值，写出函数 的解析式，求出图像的对称轴，得出 的值，再求出的值。【详解】由函数 的图像过点 ，所以 ，解得 ，又 ，所以 ，所以 ；的图像向左平移 各单位后为：，由两图像完全重合可得 ，所以 ， ;又因为 在 单调，所以 ，所以 ，所以 ；所以 ，其图
11、像对称轴位 ，即 ， ；当 ，其对称轴为 ，因为 ，所以 ，所以 ，故选 C。- 9 -【点睛】本题主要考查三角函数图像与性质以及函数图像变化，主要利用三角函数的对称性和周期性解决此类题目。12.在棱长为 4 的正方体 中， 是 中点，点 是正方形 内的动点(含边界)，且满足 ，则三棱锥 的体积最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题目易得三棱锥 底面积已知，故而只需找到高便可求出三棱锥体积，然后转化为函数，利用函数找到三棱锥高的最大值，即可求出三棱锥体积的最大值。【详解】因为在棱长为 4 的正方体 中， 是 中点，点 是正方形内的动点(含边界)，且满足 ，所以
12、,所以 ,即 ,令点 P 在 DC 上的投影点为 O， ， ，所以 ，整理得 ，根据函数单调性可得当 时， 有最大值为 16，所以 的最大值为 ，因为 ,所以三棱锥 体积最大值为： ，故选 D。【点睛】本题考查了空间几何体中的最值问题，关键是列出式子，转化为距离问题，借助函数求解即可。二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.已知向量 , 的夹角为 ， ， ，则 _【答案】【解析】【分析】- 10 -将 平方后运算出结果再开方即可得到答案【详解】由题意得 ，将向量 , 的夹角为 ， ， 代入上式得【点睛】本题考查 的模长，这一类题型直接平方转化为数量积和向量的平方求解
13、，注意： 。14.已知 满足 则 最大值为_ 【答案】4【解析】【分析】由不等式组画出可行域，然后将目标函数转化为 ，求出函数的截距，题目所求 z 即为截距的二倍，求出其最大值即可。【详解】根据不等式组画出可行域如下：将目标函数 化成 ，即该直线在 y 轴上的截距的二倍即为 z 的值，由上图可知，截距的最大值为 2，故 z 的最大值为 4，答案即为 4.【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想。做该类题目需要注意的是：一、准确无误的做出可行域；二、画函数所对应直线时，需注意与约束条件中直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界点
14、上取得。- 11 -15.在 中， 是 边上一点， 的面积为 ， 为锐角，则_【答案】 .【解析】在ABC 中，B= ，AC= ，D 是 AB 边上一点，CD=2，ACD 的面积为 2，ACD 为锐角，S ACD = sinACD=2，解得 sinACD= ，cosACD= ，由余弦定理得到AD= ，由正弦定理,又因为 故答案为： 点睛: 本题考查三角形边长的求法，涉及到正弦定理、余弦定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方思想、数形结合思想，是中档题当已知三角形的一个边和两个角时,用正弦定理.已知两角一对边时,用正弦定理,已知两边和对角时用正弦.16.已知实数 ， ， 满
15、足 ，其中 是自然对数的底数，那么 的最小值为_【答案】【解析】【分析】由已知点 在曲线 上，点 在曲线 上， 的几何意义就是曲线上的点到曲线 上的点的距离的平方，进而求出 的最小值- 12 -【详解】因为实数 满足 ，所以， ， ，所以点 在曲线 上，点 在曲线 上，的几何意义就是曲线 上的点到曲线 上的点的距离的平方，最小值即为曲线 上与直线 平行的切线，因为 ，求曲线 上与直线 平行的切线即 ，解得 ，所以切点为 ，该切点到直线 的距离，就是所求两曲线间的最小距离，所以 的最小值为 。【点睛】本题考查曲线与直线间距离的最小值，即为曲线上与直线平行的切线的切点到直线的距离。三、解答题：共
16、70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17 题21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22 题和第 23 题为选考题，考生根据要求作答.17.已知数列 的前 n 项和为 ,且 .(1)求数列 的通项公式；(2)设 ，求数列 的前 100 项和 .【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】（1）已知数列 与其前 n 项和 的递推式为 ，当 时，便可得到 ，当 时，可得到 ，利用两式作差便可得到数列 为公比为-1 的等比数列，从而写出数列的通项公式；（2）根据第一问求出的 的通项公式写出 的通项公式，然后利用裂项相消的求和方法便可- 13 -得到最后【详解】 （1) 得，当
17、时， ，当 时， ，两式作差得 ，整理得 ，所以 是首项为1，公比为1 的等比数列，故 。(2)由题意， . .【点睛】本题第一问考查求解数列通项公式的方法，我们需掌握： ，需注意：当角标出现 时，必须保证角标大于 0，第二问考查数列求和方法之一的裂项相消，需要注意：消除后前后所剩余项相等，符号相反。18.如图，在四棱锥 中， 平面 ， 平面 ， ，（1）证明：平面 平面 ；（2）若直线 与平面 所成角为 ，求 的值.【答案】 （1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）需证明平面 平面 ，只需证明平面 内的一条直线垂直于平面 ABP 即可。（2）找到过某一点两两垂直的三条直线建立空间直角坐标系
18、，然后分别写出所需向量坐标便可求出所需结果。【详解】 （1） 平面 ， 平面 ，平面 平面 ， ，- 14 -分别取 中点 ，连接则 ， ，所以四边形 为平行四边形. ， ， 平面 ， 平面 平面 ，平面 平面 （2）由（1）可得 两两垂直，以 为原点建立空间直角坐标系 ，如图，则由已知条件有：平面 的一个法向量记为 ，则从而【点睛】本题考查面面垂直，证明面面垂直只需证出线面垂直即可：求线面角需注意线面角的取值范围是 ，而两向量夹角为 ；在建立空间之坐标系时需注意的三轴之间两两垂直。19.已知椭圆 的长轴长为 6，且椭圆 与圆 的公共弦长为（1）求椭圆 的方程；（2）过点 P（0，1）作斜率为
19、 的直线 与椭圆 交于两点 ， ，试判断在 轴上是否存在点 ，使得 为以 为底边的等腰三角形，若存在，求出点 的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】（1）根据长轴长为 6 便可直接求出 a 的大小，然后因为椭圆和已知圆均关于 x 轴对称，便可得到交点坐标，然后利用待定系数法即可得到椭圆方程。（2）设直线的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标公式，求得 AB 中点 M 的坐标，- 15 -利用 即可求得 m 的表达式，利用基本不等式性质，即可求得 m 的取值范围。【详解】 （1）由题意可得 ，所以 由椭圆 与圆 ： 的公共弦长为 ，恰为圆 的直径
20、，可得椭圆 经过点 ，所以 ，解得 所以椭圆 的方程为 （2）直线 的解析式为 ，设 ， ， 的中点为 假设存在点，使得 为以 为底边的等腰三角形，则 由 得，故 ，所以 ， 因为 ，所以 ，即 ，所以 当 时， ，所以 综上所述，在 轴上存在满足题目条件的点 ，且点 的横坐标的取值范围为 【点睛】关于圆锥曲线方程求解常见方法：一、直接法；二、定义法；三、待定系数法；四、代入法。解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面：利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等式关系，从而确定参数取值范围；利用已知参数的范围，求解新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量- 16 -关系；利用隐
21、含的不等式关系建立不等式，从而确定参数取值范围；利用一直不等式关系建立不等式，从而确定参数取值范围；利用函数的值域的方法将待求量表示为其他变量函数，求其值域，从而确定参数取值范围。20.随着生活节奏的加快以及智能手机的普及，外卖点餐逐渐成为越来越多用户的餐饮消费习惯，由此催生了一批外卖点餐平台。已知某外卖平台的送餐费用与送餐距离有关（该平台只给 5 千米范围内配送） ，为调査送餐员的送餐收入，现从该平台随机抽取 80 名点外卖的用户进行统计，按送餐距离分类统计结果如下表：以这 80 名用户送餐距离位于各区间的频率代替送餐距离位于该区间的概率。（1）若某送餐员一天送餐的总距离为 120 千米，试
22、估计该送餐员一天的送餐份数；（四舍五入精确到整数）（2）若该外卖平台给送餐员的送餐费用与送餐距离有关，规定 2 千米内为短距离，每份 3元，2 千米到 4 千米为中距离，每份 5 元，超过 4 千米为远距离，每份 10 元。(i)记 X 为送餐员送一份外卖的收入（单位：元） ，求 X 的分布列和数学期望；(ii)若送餐员一天的目标收入不低于 180 元，试估计一天至少要送多少份外卖？【答案】 （1）51；（2）(i)4.7；(ii)39【解析】【分析】（1）直接求出平均送餐距离，然后求出平均送餐分数即可。（2）(i)确定 X 的取值，分别求出其概率，然后列出分布列，求出期望值。(ii)利用期望
23、值，根据收入不低于 180 元直接计算出送出分数即可。【详解】(1)估计每名外卖用户的平均送餐距离为：=2.35 千米所以送餐距离为 120 千米，送餐份数为： 份； （2） （）由题意知 X 的可能取值为：3，5，10， ，所以 X 的分布列为：- 17 -X 3 5 10P所以 E（X）=（3）180 份所以估计一天至少要送 39 份外卖。【点睛】本题考查期望分布列的求解及其应用，只需分别求出其概率便可以得出结果。21.已知函数 .(1)讨论函数 的单调性；(2)若函数 存在极大值，且极大值为 1，证明： .【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】【试题分析】(1)当 时, ,
24、故函数在 上单调递增.当 或 时,利用导数求得函数的单调区间.(2) 由（）可知若函数 存在极大值，则 ，且 ，解得 ， 由此求得函数的表达式.将所要证明的不等式转化为证 .构造函数 ,利用二阶导数求得函数的最小值大于或等于零.【试题解析】（）由题意 ，当 时， ，函数 在 上单调递增；当 时，函数 单调递增， ，故当时， ，当 时， ，所以函数 在 上单调递减，函数 在 上单调递增； - 18 -当 时，函数 单调递减， ，故当时， ，当 时， ，所以函数 在 上单调递增，函数 在 上单调递减（）由（）可知若函数 存在极大值，则 ，且 ，解得 ， 故此时 ，要证 ，只须证 ，及证 即可，设
25、， ，令，所以函数 单调递增，又 ， ，故 在 上存在唯一零点 ，即 所以当 ， ， 当 时， ，所以函数 在 上单调递减，函数 在 上单调递增，故 ，所以只须证 即可，由 ，得 ，所以 ，又 ，所以只要 即可，当 时，所以 与 矛盾，故 ，得证（另证）- 19 -当 时，所以 与 矛盾；当 时，所以 与 矛盾；当 时，得 ，故 成立，得 ，所以 ，即 【点睛】本题主要考查导数与单调性,考查利用导数证明不等式. 不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转
26、化为求函数的最值问题来处理22.在平面直角坐标系 中，已知曲线 （ 为参数） ，在以原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线 的极坐标方程为 .（1）求曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程；（2）过点 且与直线 平行的直线 交 于 ， 两点，求点 到 ， 两点的距离之积.【答案】 （1） ， ；（2）【解析】【分析】（1）直接利用参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的关系写出曲线 C 和直线 l 的方程即可；（2）将直线 l 的代数方程代入椭圆 C 的直角坐标方程，整理成一个关于 t 的方程，然后利用韦达定理找到 的值，因为 即可得到最后结果。【详解】 （1）曲线 化为普通
27、方程为： , - 20 -由 ，得 ， 所以直线 的直角坐标方程为 .（2）直线 的参数方程为 （ 为参数） ，代入 化简得： ， 设 两点所对应的参数分别为 ，则 ， .【点睛】本题考查直角坐标方程，参数方程，极坐标方程之间的互化，重点掌握三种方程之间的关系，从而利用参数方程和极坐标方程来解决解析几何的题目。23.已知函数（1）解不等式 ；（2）若方程 在区间 有解，求实数 的取值范围 .【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】（1）根据 ，利用分类讨论便可得到最后解集；（2）根据方程 在区间 有解转化为函数 和函数 图象在区间上有交点，从而得解。【详解】 （1） 可化为 10或 或 ；2x 或 或 ；不等式的解集为 ； （2）由题意： 故方程 在区间 有解 函数 和函数 图象在区间 上有交点当 时，- 21 -【点睛】本题考查绝对知不等式的求解和应用，主要是利用分类讨论的方法去掉绝对值符号；关于方程解的问题直接用方程思想和数形结合转化为函数图像交点问题便可得解。- 22 -
