1、12019 届高三年级第二次模拟考试数 学(满分 160 分，考试时间 120 分钟)一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分1. 已知集合 A0，1，2，Bx|10， ) 12a_8. 中国古代著作张丘建算经有这样一个问题“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里” ，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了 700 里，则这匹马在最后一天行走的里程数为_9. 已知圆柱的轴截面的对角线长为 2，则这个圆柱的侧面积的最大值为_10. 设定义在区间 上的函数 y3 sin x 的图象与 y3cos 2x2 的图象交于(0， 2) 3
2、点 P，则点 P 到 x 轴的距离为_11. 在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 5a8b，A2B，则 sin_(A 4)12. 若在直线 l：axy4a0 上存在相距为 2 的两个动点 A，B，在圆 O：x 2y 21上存在点 C，使得ABC 为等腰直角三角形(C 为直角顶点)，则实数 a 的取值范围是_13. 在ABC 中，已知 AB2，AC1，BAC90，D，E 分别为 BC，AD 的中点，过2点 E 的直线交 AB 于点 P，交 AC 于点 Q，则 的最大值为_BQ CP 14. 已知函数 f(x)x 2|xa|，g(x)(2a1)xaln x，若函数 yf
3、(x)与函数yg(x)的图象恰好有两个不同的交点，则实数 a 的取值范围是_二、 解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤15. (本小题满分 14 分)如图，在三棱锥 DABC 中，已知 ACBC，ACDC，BCDC，E，F 分别为 BD，CD 的中点求证：(1) EF平面 ABC；(2) BD平面 ACE.16. (本小题满分 14 分)已知向量 a(2cos ，2sin )， b(cos sin ，cos sin )(1) 求向量 a 与 b 的夹角；(2) 若( b a) a，求实数 的值317. (本小题满分 14 分)某新建小区规划利用一块
4、空地进行配套绿化已知空地的一边是直路 AB，余下的外围是抛物线的一段弧，直路 AB 的中垂线恰是该抛物线的对称轴(如图)拟在这个空地上划出一个等腰梯形 ABCD 区域种植草坪，其中点 A，B，C，D 均在该抛物线上经测量，直路的AB 长为 40 米，抛物线的顶点 P 到直路 AB 的距离为 40 米设点 C 到抛物线的对称轴的距离为 m 米，到直路 AB 的距离为 n 米(1) 求出 n 关于 m 的函数关系式；(2) 当 m 为多大时，等腰梯形草坪 ABCD 的面积最大？并求出其最大值418. (本小题满分 16 分)已知椭圆 E： 1(ab0)的离心率为 ，焦点到相应准线的距离为 .x2a
5、2 y2b2 32 33(1) 求椭圆 E 的标准方程；(2) 已知 P(t，0)为椭圆 E 外一动点，过点 P 分别作直线 l1和 l2，直线 l1和 l2分别交椭圆 E 于点 A，B 和点 C，D，且直线 l1和 l2的斜率分别为定值 k1和 k2，求证： 为定PAPBPCPD值519. (本小题满分 16 分)已知函数 f(x)(x1)ln xax(aR)(1) 若函数 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 xyb0，求实数 a，b 的值；(2) 设函数 g(x) ，x1，e(其中 e 为自然对数的底数)f（ x）x当 a1 时，求函数 g(x)的最大值；若函数 h(x) 是单调减
6、函数，求实数 a 的取值范围|g（ x）ex |620. (本小题满分 16 分)定义：若有穷数列 a1，a 2，a n同时满足下列三个条件，则称该数列为 P 数列首项 a11；a 14，且数列 b1，b 2，b n是 P 数列，求证：数列 b1，b 2，b n是等比数列72019 届高三年级第二次模拟考试(十一)数学附加题(满分 40 分，考试时间 30 分钟)21. 【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并作答若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A. 选修 42：矩阵与变换(本小题满分 10 分)已知 x，yR， 是矩阵 A 属于特征值
7、1 的一个特征向量，求矩阵 A 的12 x 10 y另一个特征值B. 选修 44：坐标系与参数方程(本小题满分 10 分)在极坐标系中，已知直线 l：sin 0，在直角坐标系(原点与极点重合，x 轴( 3)的正方向为极轴的正方向)中，曲线 C 的参数方程为 (t 为参数)设直线 l 与y t 14t，x t 14t)曲线 C 交于 A，B 两点，求 AB 的长C. 选修 45：不等式选讲(本小题满分 10 分)若不等式|x1|xa|5 对任意的 xR 恒成立，求实数 a 的取值范围8【必做题】第 22 题、第 23 题，每小题 10 分，共计 20 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤2
8、2. (本小题满分 10 分)从批量较大的产品中随机取出 10 件产品进行质量检测，若这批产品的不合格率为0.05，随机变量 X 表示这 10 件产品中的不合格产品的件数(1) 问：这 10 件产品中“恰好有 2 件不合格的概率 P(X2)”和“恰好有 3 件不合格的概率 P(X3)”哪个大？请说明理由；(2) 求随机变量 X 的数学期望 E(X)23. (本小题满分 10 分)已知 f(n) ，g(n) ，其中nN *，n2.(1) 求 f(2)，f(3)，g(2)，g(3)的值；(2) 记 h(n)f(n)g(n)，求证：对任意的 mN *，m2，总有 .2019 届高三年级第二次模拟考试
9、(十一)(苏锡常镇)数学参考答案10 2.4 3. (1，0) 4. 5.40 6.12 327.log23 8. 9.2 10.3 11.700127 17250912. 13. 14. (1，)33， 33 9415. (1) 在三棱锥 DABC 中，因为 E 为 DC 的中点，F 为 DB 的中点，所以 EFBC.(3分)因为 BC 平面 ABC，EF 平面 ABC，所以 EF平面 ABC.(6 分)(2) 因为 ACBC，ACDC，BCDCC，所以 AC平面 BCD.(8 分)因为 BD 平面 BCD，所以 ACBD.(10 分)因为 DCBC，E 为 BD 的中点，所以 CEBD.(
10、12 分)因为 ACCEC，所以 BD平面 ACE.(14 分)16. (1) 设向量 a 与 b 的夹角为 .因为| a|2，|b| ，(4 分)（ cos sin ） 2 （ cos sin ） 2 2所以 cosab|a|b|（ 2cos ， 2sin ） （ cos sin ， cos sin ）22 .(7 分)2cos2 2sin222 22因为 0，所以向量 a 与 b 的夹角为 .(9 分) 4(2) 若( b a) a，则( b a)a0，即 ba a20.(12 分)因为 ba2， a24，所以 240，解得 2.(14 分)17. (1) 以路 AB 所在的直线为 x 轴
11、，抛物线的对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系，(1分)则点 A(20，0)，B(20，0)，P(0，40)(2 分)因为曲线段 APB 为抛物线的一段弧，所以可以设抛物线的解析式为 ya(x20)(x20)，将点 P(0，40)代入，得 40400a，解得 a ，(4 分)110所以抛物线的解析式为 y (400x 2)(5 分)110因为点 C 在抛物线上，所以 n (400m 2)，00，(6 分)所以 g(x)0，函数 g(x)在区间1，e上单调递增，所以函数 g(x)的最大值为 g(e).(8 分)1e同理，单调增函数 g(x) a，a1 ，(9 分)f（ x）x 1e则 h(x) .
12、|(1x 1)lnx a| 1ex1若 a0，g(x)0，h(x) ，(1 1x)lnx aexh(x) 1x2lnx 1 xx2 (1 1x)lnx aex 0， （ 1 x x2） lnx ax2 x 1x2ex令 u(x)(1xx 2)lnxax 2x1，则 u(x)(12x)lnx (2a1)x0，lnxx2 x 1x2 x lnx 1x2 x 1 x 1x2 2x2所以函数 g(x) 在区间1，e上单调递增f（ x）x又 g(1)g(e)a 1，P（ X 2）P（ X 3） 578所以 P(X2)P(X3)，即恰好有 2 件不合格的概率大(6 分)(2) 因为 P(Xk)p kC p
13、k(1p) 10k ，k0，1，2，10.k10随机变量 X 的概率分布为：X 0 1 2 10pk C p0(1p) 1001 C p1(1p) 910 C p2(1p) 8210 C p10(1p) 010故 E(X) 0.5.(9 分)故随机变量 X 的数学期望 E(X)为 0.5.(10 分)23. (1) f(2) ，f(3) ，310 4170g(2) ，g(3) .(3 分)120 19140(2) 因为（ 2k） ！（ k！ ） （ k！ ） （ 2k） ！（ k 2） ！ （ k 2） ！ （ 2k 2） ！（ k 1） ！ （ k 1） ！ （ k 1） 2（ k 2） （
14、 k 1） k（ k 1）（ 2k 2） （ 2k 1） （ k 2） ，(4 分)（ k 1） （ 4k 2）（ 2k 2） （ 2k 1） （ k 2） 1k 2所以 h(n)f(n)g(n)nk 2 .(5 分)nk 21k 2下面用数学归纳法证：对任意的 mN *，m2，总有 h(2m) .m 12当 m2 时，h(4) ，命题成立；14 15 16 376012当 m3 时，h(8) 1，命题成立(6 分)3760 17 18 19 1103760 410 3760 246015假设当 mt(t3)时，命题成立，即 h(2t) 成立t 12则当 mt1 时，h(2 t1 )h(2 t) 12t 3 12t 4 12t 1 2t 12 .(7 分)(12t 3 12t 4) 12t 5 12t 6 12t 1 2因为 t3， 0，12t 3 12t 4 32t 1 2 （ 2t 3） 2t 22（ 2t 3） （ 2t 4） （ 2t 1 2）所以 .(8 分)12t 3 12t 4 32t 1 2又 ，(912t 5 12t 6 12t 1 2 12t 1 2 12t 1 2 12t 1 2 2t 22t 1 2分)所以 h(2t1 ) ，t 12 32t 1 2 2t 22t 1 2 t2所以命题成立(10 分)
