1、120182019 学年度第一学期期末六校联考高二数学一、选择题（每小题 5 分，共 8 小题，共 40 分）1.复数 ，则 （ ）A. 0 B. C. 1 D. 【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算将式子化简以及模长公式,得到结果即可.【详解】 所以 .故选 D.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数模长的计算，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.2.已知等差数列 的公差为 2，前 项和为 ，且 ，则 的值为（ ）A. 16 B. 15 C. 14 D. 13【答案
2、】B【解析】【分析】由题意，等差数列 的公差为 2， ，根据 ，解得 ，即可求解.an S10=100 a1=1【详解】由题意，等差数列 的公差为 2，前 项和为 ，an n Sn因为 ，解得 ，所以 ，故选 B.S10=10a1+1092 2=100 a1=1 a8=a1+7d=1+72=15【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，及前 n 项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前 n 项和公式的合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.下列叙述中正确的是（ ）2A. 若 ，则 “ ”的充分条件是“ ”a,b,cR xR,ax2+bx+c0 b24ac0B
3、. 若 ，则 “ ”的充要条件是“ ”a,b,cR ab2cb2 acC. 命题“ ”的否定是“ ”xR,x20 x0R,x020【详解】由题意，对于 A 中，若 ，则“ ”的充分条件是a,b,cR xR,ax2+bx+c0“ 且 ”，所以是错误的；a0 b24ac0对于 B 中，若 ，则“ ”的充要条件是“ 且 ”，所以不正确；a,b,cR ab2cb2 ac b0对于 C 中，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“ ”的否定是“xR,x20”，所以是正确的；x0R,x02b0) F1交点为 M，与 轴的交点为 N， 是椭圆的右焦点,且 ，则椭圆的方程为（ ）y F2 |MN|=|MF2
4、|A. B. C. D. x240+y24=1 x25+y2=1 x210+y2=1 x29+y25=1【答案】D3【解析】【分析】由题意，求得 和 ，根据 和椭圆的定义可得 ，F1(2,0) N(0,42) |MN|=|MF2| |MF1|+|MF2|=|F1N|=2a从而求得 ，进而可求解椭圆的标准方程 .a=12|F1N|=3【详解】由题意，直线 与 轴的交点 ，22xy+42=0 x (2,0)又直线 过椭圆 的左焦点，22xy+42=0x2a2+y2b2=1(ab0)所以 ，即 ，F1(2,0) c=2因为直线 与椭圆在第二象限的交点为 M，与 y 轴的交点为 ，22xy+42=0
5、N(0,42)且 ，|MN|=|MF2|所以 ，即 ，|MF1|+|MF2|=|F1N|=2a a=12|F1N|=12(2)2+(42)2=3又由 ，b2=a2c2=94=5所以椭圆的方程为 ，故选 D.x29+y25=1【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程的求解，其中解答中认真审题，合理利用椭圆的定义和几何性质求解得值是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力.5.如图所示，在长方体 ABCDA 1B1C1D1中，ADAA 12，AB4，点 E 是棱 AB 的中点，则点 E 到平面 ACD1的距离为（ ） A. B. 123C. D. 13 2【答案】B【解析】【分析】以 D 为坐标原点，
6、直线 分别为 轴建立空间直角坐标系，取得平面 的法向DA,DC,DD1 x,y,z ACD1量为 ，即可求解点 E 到平面 的距离，得到答案 .n=(2,1,2) ACD14【详解】如图所示，以 D 为坐标原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系，DA,DC,DD1 x,y,z则 ，D1(0,0,2),E(2,2,0),A(2,0,0),C(0,4,0)则 ，D1E=(2,2,2),AC=(2,4,0),AD1=(2,0,2)设平面 的法向量为 ，ACD1 n=(x,y,z)则 ，取 ，得 ，nAC=2x+4y=0nAD1=2x+2z=0 x=2 n=(2,1,2)所以点 E 到平面 的距离为
7、 ，故选 B.ACD1h=|D1En|n| =|22+2122|3 =23【点睛】本题主要考查了空间向量在的距离中的应用，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，熟练应用平面的法向量和距离公式求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.6.已知， ，则 是 的（ ）bR a|b| a|a|b|b|A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义，进行判断，即可得到答案.【详解】由题意，若 ，则 ，则 ，所以 ，则 成立，a|b| a|b|0 ab a|a|=a2 a|a|b|b|
8、当 时，满足 ，但 不一定成立，a=1,b=2 a|a|b|b| a|b|所以 是 的充分不必要条件，故选 A.a|b| a|a|b|b|【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判定问题，其中解答中结合不等式的关系和不等式的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.7.已知函数 是定义在 R 上的偶函数，当 时， ，若 ，则不等式f(x) x0 xf(x)f(x) f(2)=05的解集为（ ）xf(x)0A. 或 B. 或x|-2 x 0 0 x 2 x|x -2 x 2C. 或 D. 或x|-2 x 0 x 2 x|x -2 0 x 2【答案】C【解析】【分析】由题意，令
9、 ，利用函数的奇偶性的定义和导数求得函数单调性，又由 ，即g(x)=f(x)x xf(x)0，即 ，即可求解.x2g(x)0 g(x)0【详解】由题意，令 ，当 时， ，g(x)=f(x)x x0 g(x)=xf(x)f(x)x2 0所以函数 在 上单调递增，g(x) (0,+)又由函数 为偶函数，所以 ，f(x) g(x)=f(x)x=f(x)x=g(x)所以函数 为定义域上的奇函数，所以函数 在 上单调递增，g(x) g(x) (,0)又因为 ，所以 ，且 .f(2)=0 g(2)=f(2)2=0 g(2)=0所以当 或 时， ，当 或 时， ，02 g(x)0又由 ，即 ，即 ，所以 或
10、xf(x)0 x2g(x)0 g(x)0 22所以不等式的解集为 或 ，故选 C.x|22【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，利用导数研究函数的单调性及应用，其中解答中根据题意合理构造函数，利用导数得出函数的单调性是解答的关键，着重考查了构造思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.8.过双曲线 的左焦点 作圆 的切线，切点为 ，延长 交抛物线x2a2y2b2=1 F1(-c,0) x2+y2=a2 E F1E于点 ，若 ，则双曲线的离心率是（ ）y2=4cx P F1E=12F1PA. B. C. D. 1+52 1+32 3+52 52【答案】A【解析】【分析】由题意，求得
11、是 的中位线，得到 ，因为 ，所以 ， ，OE AF1F2 OE/PF2 OE=a |PF2|=2a |PF1|=2b6又由抛物线的定义可得 ，过点 F 作 的垂线，点 P 到该垂线的距离为 ，由勾股定x=2ac x 2a理得 ，即可求解.e2e1=0【详解】设双曲线的右焦点为 ，则 的坐标为 ，F2 F2 (c,0)因为抛物线为 ，所以 为抛物线的焦点，y2=4cx F2因为 O 为 的中点，F1F2又由 ，则点 为 的中点，所以 是 的中位线，所以 ,F1E=12F1P E F1P OE AF1F2 OE/PF2因为 ，所以 ，OE=a |PF2|=2a又 ，所以 ，PF2PF,|F1F2
12、|=2c |PF1|=2b设点 ，则由抛物线的定义可得 ，所以 ，P(x,y) x+c=2a x=2ac过点 F 作 的垂线，点 P 到该垂线的距离为 ，x 2a由勾股定理得 ，即 ，y2+4a2=4b2 4c(2ac)+4a2=4(c2a2)得 ，所以 ，故选 A.e2e1=0 e=5+12【点睛】本题主要考查了双曲线的标准及简单的几何性质的应用，以及抛物线的定义的应用，其中解答中合理应用圆锥曲线的几何性质，得出关于离心率的方程是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.二、填空题（每小题 5 分，共 6 小题，共 30 分）9.已知方程 表示椭圆，则 的取值范围为_.x
13、25+k+y242k=1 k【答案】 5042k05+k42k解得 且 ，即实数 的取值范围为 且 .5an S3=2a2+2,S4=3a3+2则 _.q=【答案】 2【解析】由已知得 ，两式相减可得 ，S3=2a2+2,S4=2a3+2 a4=3a32a2， ， 或 （舍去） ，故答案为 .a2q2=3a2q2a2 q23q+2=0 q=2 q=1 211.在正四面体 中，棱长为 2，且 E 是棱 中点，则 的值为_.PABC AB PEBC【答案】 1【解析】【分析】由题意，设 ，建立空间的一个基底 ，PA=a,PB=b,PC=c a,b,c在正四面体中 ，根据向量的数量积的运算，即可求解
14、.PE=12(a+b),BC=cb【详解】由题意，设 ，建立空间的一个基底 ，PA=a,PB=b,PC=c a,b,c在正四面体中 ，PE=12(a+b),BC=cb所以 PEBC=12(a+b)(cb)=12(acab+bcb2).=12(22cos60022cos600+22cos60022)=1【点睛】本题主要考查了空间向量的数量积的运算问题，其中解答中建立适当的空间基底，熟记向量的表示，以及向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.12.已知 ， ，且 ，则 的最小值等于_.a0 b01a+1b=1 4a+2b+ba【答案】 6+43【解析】【
15、分析】由题意，根据题设条件，得到 ，利用基本不等4a+2b+ba=4a(1a+1b)+2b(1a+1b)+ba=6+4ab+3ba式，即可求解.8【详解】由题意， 且 ，a0,b01a+1b=1则 4a+2b+ba=4a(1a+1b)+2b(1a+1b)+ba=6+4ab+2ba+ba=6+4ab+3ba，当且仅当 ，即 时等号成，6+24ab3ba=6+43 4ab=3ba a=32b所以 的最小值等于 .4a+2b+ba 6+43【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答中根据题意，合理恒等变换，利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
16、13.设抛物线 （ ）的焦点为 ，准线为.过焦点的直线分别交抛物线于 两点，y2=2px p0 F A,B分别过 作的垂线，垂足为 . 若 ，且三角形 的面积为 ，则 的值为A,B C,D |AF|=3|BF| CDF 3 p_.【答案】62【解析】【分析】由抛物线的定义，化简得到直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，联立方AB k= 3 AB y= 3(xp2)程组，利用根与系数的关系求得 ，求得 ，求得 的长，利用面积公式，即可x1+x2 |AB|=8p3 |CD|求解.【详解】如图所示，由抛物线的定义可知 ，|AC|=|AF|,|BD|=|BF|,|AF|=3|BF|则 ，则 ,|AM|
17、=2|BF|,|AB|=4|BF| cosNAB=12NAB=600所以直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，AB k= 3 AB y= 3(xp2)设 ，A(x1,y1),B(x2,y2)联立方程组 ，整理得 ，y= 3(xp2)y2=2px 3x25px+3p24=0所以 ，所以 ，则 ，x1+x2=5p3 |AB|=x1+x2+p=8p3 |CD|=|AB|sin600=43p3所以 的面积为 ，解得 .CDF S=12|CD|p=1243p3p=233p2= 3 p=629【点睛】本题主要考查了抛物线的定义与标准方程的应用，以及抛物线的几何性质的应用问题，其中解答中熟练应用抛物线的定义
18、，求得直线 的方程，AB利用抛物线焦点弦的性质，求得 的长是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，|AB|,|CD|以及转化思想的应用.14.已知函数 ，若 是函数 唯一的极值点，则实数 的取值范围f(x)=exx3+3klnx+k(1x) x=3 f(x) k为_.【答案】 k0 g(x)=exx3 g(x)=ex(x3)x4所以 在 上单调递减，在 上单调递增，g(x) (0,3) (3,+)所以 的最小值为 ，所以 .g(x) g(3)=e327 ke327【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用问题，其中解答中把 是函数 的唯一x=3 f(x)的一个极值点，转化为 在 无变号零点，构
19、造新函数 ，利用导数求解exkx3=0 (0,+) g(x)=exx3函数的单调性和最值是解答的关键，着重考查了转化思想的应用，以及推理与计算能力，10属于中档试题.三、解答题（共 6 小题，共 80 分）15.数列 的前 项和为 ，已知 ， . 其中an n Sn a1=1 (2n1)an+1=(2n+3)Sn nN*（1）证明：数列 是等比数列；Sn2n1（2）求数列 的前 项和 .Sn n Tn【答案】(1)见解析;(2) .Tn=(2n3)2n+3【解析】【分析】(1)由 ，可得 ，即 ，从而可得结论；an+1=Sn+1-Sn=2n+32n-1Sn Sn+1=2(2n+1)2n-1Sn
20、 Sn+12n+1=2 Sn2n-1（2）由（1）知， ，可得 ，利用错位相减法，结合等比数列求Sn2n-1=2n-1 Sn=(2n-1)2n-1和公式，即可得结果.【详解】 （1）证明： ，an+1=Sn+1-Sn=2n+32n-1Sn ，Sn+1=2(2n+1)2n-1Sn ，Sn+12n+1=2 Sn2n-1又 ，a1=1 ，S11=10数列 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列.Sn2n-1（2）由（1）知， ，Sn2n-1=2n-1 ，Sn=(2n-1)2n-1 ，Tn=1+32+522+(2n-3)2n-2+(2n-1)2n-1. 2Tn=12+322+523+(2n-3)2n-
21、1+(2n-1)2n-得-Tn=1+2(21+22+2n-1)-(2n-1)2n11=1+22-2n-121-2 -(2n-1)2n，=(3-2n)2n-3 .Tn=(2n-3)2n+3【点睛】本题主要考查等比数列的定义和等比数列的求和公式，以及错位相减法求数列的前 项和，属于中档题.一般地，如果数列 是等差数列， 是等比数列，求数列n an bn的前 项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列 的anbn n bn公比，然后作差求解, 在写出“ ” 与“ ” 的表达式时应特别注意将两式 “错项Sn qSn对齐”以便下一步准确写出“ ”的表达式.SnqSn16.已知函数 在
22、 处取得极值.f(x)=ln(x+a)x2x x=0（1）求函数 在点 处的切线方程；f(x) (1,f(1)（2）若关于 的方程 在区间 上恰有两个不同的实数根，求实数 的取值范围.x f(x)=52x+b 0,2 b【答案】 （1） （2）5x+2y12ln2=0 ln3-1b0 (x)在 0,1当 时， ，于是 在 上单调递增；x(1,2) (x)0,(2)=ln(1+2)-4+3-b0. 解得 .ln3-1b0 m3 m小值为 .3【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧： ；1n(n
23、+k)=1k(1n1n+k) 1n+k+n16； ；=1k( n+kn) 1(2n1)(2n+1)=12( 12n1 12n+1) ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多1n(n+1)(n+2)=12 1n(n+1) 1(n+1)(n+2)项的问题，导致计算结果错误.19.已知椭圆 ： 的离心率 ，左顶点为 ，过点 作斜率为Cx2a2+y2b2=1(ab0) e=12 A(4,0) A的直线交椭圆 于点 ，交 轴于点 . 点为坐标原点.k(k0) C D y E O（1）求椭圆 的方程；C（2）已知 为 的中点，是否存在定点 ，对于任意的 都有 ，若存在，求出P AD Q k(k0
24、) OPEQ点 的坐标；若不存在说明理由；Q（3）若过 点作直线的平行线交椭圆 于点 ，求 的最大值.O C M|OM|AD|+|AE|【答案】 （1） （2） （3） x216+y212=1 (3， 0) 22【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率和左顶点，求出， ，由此能求出椭圆 的标准方程；（2）C直线 l 的方程为 ，与椭圆联立，得， ，由此利用韦y=k(x+4) (x+4)(4k2+3)x+16k2-12=0达定理、直线垂直，结合题意能求出结果；（3）由 ,可设 的方程为 ，与椭圆OM/l OM y=kx联立方程得 点的横坐标，由 ，结合基本不等式即可求出最小值 .M OMl试题解析
25、：（1）左顶点为 A(-4,0) a=4又 e=12 c=2又 b2=a2-c2=12椭圆 的标准方程为 Cx216+y212=1（2）直线的方程为 ，由 消元得y=k(x+4)x216+y212=1y=k(x+4) x216+k(x+4)212=1化简得， ，则(x+4)(4k2+3)x+16k2-12=0 x1=-4,x2=-16k2+124k2+3当 时， ，x=-16k2+124k2+3 y=k(-16k2+124k2+3 +4)= 24k4k2+317 D(-16k2+124k2+3， 24k4k2+3)点 为 的中点P AD点 的坐标为 ，则 .P (-16k24k2+3， 12k
26、4k2+3) kop=-34k(k0)直线的方程为 ，令 ，得点 的坐标为 ，假设存在定点 使y=k(x+4) x=0 E (0， 4k) Q(m,n)(m0)得 ,则 ，即 恒成立，OPEQ kOPkEQ=-1 -34kn-4km=-1 恒成立(4m+12)k-3n=0 即4m+12=0-3n=0 m=-3n=0定点 的坐标为 .Q (-3， 0)（3） OM/l 的方程可设为 ，由 得 点的横坐标为OM y=kxx216+y212=1y=kx M x= 434k2+3由 ，得 ，OMlAD+AEOM=|xD-xA|+|xE-xA|xM| =xD-2xA|xM| =-16k2+124k2+3
27、+8434k2+3 =134k2+94k2+3 =13( 4k2+3+ 64k2+3)22当且仅当 即 时取等号，64k2+3= 4k2+3 k=32当 时， 的最小值为 k=32 |AD|+|AE|OM| 22点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
28、利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围20.已知函数 ， .f(x)=lnx+2xax2 aR（1）若 在 处取得极值，求的值； f(x) x=1（2）设 ，试讨论函数 的单调性；g(x)=f(x)+(a4)x g(x)（3）当 时，若存在正实数 满足 ，求证： .a=-2 x1,x2 f(x1)+f(x2)+3x1x2=x1+x2 x1+x212【答案】 （1） （2）见解析（3）见解析a=3218【解析】【分析】（）由题意，求得函数的导数 ，根据 ，即可求解；f(x) f(1)=0（）由题意，得 ，求得函数的导数 ，分类讨论，即可求解函数g(x) =ln
29、xax2+(a2)x g(x)的单调区间；（）代入 ，求出 ，令 ， ，a=-2 2(x1+x2)2+(x1+x2)=x1x2-lnx1x2 t=x1x2 (t)=t-lnt(t0)根据函数的单调性，即可作出证明.【详解】 （1）因为 ，所以 ，f(x)=lnx+2x-ax2 f(x)=1x+2-2ax因为 在 处取得极值，f(x) x=1所以 ，解得 f(1)=1+2-2a=0 a=32验证：当 时， 在 处取得极大值 a=32 f(x) x=1（2）解：因为 g(x)=f(x)+(a-4)x =lnx-ax2+(a-2)x所以 g(x)=1x-2ax+(a-2)=-(ax+1)(2x-1)
30、x (x0)若 ，则当 时， ，所以函数 在 上单调递增；a0 x(0,12) g(x)0 g(x) (0,12)当 时， ， 函数 在 上单调递减 x(12,+) g(x)0)当 时，易得函数 在 和 上单调递增，a0)则 ，(t)=1-1t=t-1t(t0)当 时， ，所以函数 在 上单调递减；t(0,1) (t)0) (0,1)当 时， ，所以函数 在 上单调递增t(1,+) (t)0 (t)=t-lnt(t0) (1,+)所以函数 在 时，取得最小值，最小值为 (t)=t-lnt(t0) t=1 1所以 ，2(x1+x2)2+(x1+x2)1即 ，所以 或 2(x1+x2)2+(x1+x2)-10 x1+x212 x1+x2-1因为 为正实数，所以 x1,x2 x1+x212当 时， ，此时不存在 满足条件，x1+x2=12 x1x2=1 x1,x2所以 x1+x212【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.20
