1、1仿真模拟练（二）一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若纯虚数 z 满足(1i) z1 ai，则实数 a 等于 ( )A0 B1 或 1C1 D1解析： z i， z 是纯虚数，1 a0 且1 ai1 i 1 ai 1 i2 1 a2 1 a21 a0， a1.答案：D2若全集 UR，集合 A x|x2 x20， B x|log3(2 x)1，则 A UB( )A x|x2解析：集合 A x|x2 x20 x|x1 或 x2， B x|log3(2 x)1 x|1 xcb B abcC cab D bca答案：A6设 P 是
2、ABC 所在平面内一点，且满足|3 |0，则 ABP 与 ABC 面积之比AP AB AC 为 ( )A. B.34 14C. D.13 12解析：如图所示，由平行四边形法则得 3 ，故AP AB AC AD P， O， D 三点共线，即| AO| |AD| |AP|.12 32因为 S AOB与 S APB等底，故 S AOB S APB， S ABC322S AOB3 S APB，即 ABP 与 ABC 的面积比为 .13答案：C7如图，在边长为 1 的正方形组成的网格中，画出一个几何体的三视图，则该几何体的体积是 ( )3A9 B. 272C18 D27解析：由题中三视图可知该几何体是三
3、棱锥，三棱锥的底面是斜边为 6 的等腰直角三角形，底面积是 9，三棱锥的高为 3，所以该三棱锥的体积是 939.13答案：A8如图甲所示的茎叶图为高三某班 60 名学生某次数学模拟考试的成绩，程序框图(图乙)中输入的 ai为茎叶图中的学生成绩，则输出的 m， n， k 分别是( )A m18， n31， k11 B m18， n33， k9C m20， n30， k9 D m20， n29， k11解析：根据程序框图，可知 m 表示数学成绩 ai120 的学生人数，则k9，故选 B.4答案：B9已知 x， y 满足约束条件Error!，若 z ax y 的最大值为 4，则 a 等于( )A3
4、B2 C2 D3解析：不等式组Error!的平面区域如图阴影部分所示易知 A(2,0)，由Error!，得B(1,1)由 z ax y，得 y ax z，当 a2 或 a3 时， z ax y 在点 O(0,0)处取得最大值，最大值为 zmax0，不满足题意，排除 C，D；当 a2 或 a3 时， z ax y 在点 A(2,0)处取得最大值，2 a4， a2，故选 B.答案：B10.在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑 A-BCD 中， AB平面 BCD，且BD CD， AB BD CD，点 P 在棱 AC 上运动，设 CP 的长度为x，若 PBD 的面积为 f(x)
5、，则 f(x)的图象大致是 ( )解析：如图，作 PQ BC 于 Q，作 QR BD 于 R，连接 PR，则由鳖臑的定义知 PQ AB， QR CD.设 AB BD CD1，则 ，即 PQ ，又 ，所以 QRCPAC x3 PQ1 x3 QR1 BQBC APAC 3 x3，3 x3所以 PR PQ2 QR2 x3 2 3 x3 2 ，33 2x2 23x 35所以 f(x) 36 2x2 23x 3 ，故选 A.66 x 32 2 34答案：A11在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别是a， b， c， a， a2 .若 b1,3，则 c 的最小值为 asin A bsin B cs
6、in Csin Bsin C 233 3( )A2 B3C2 D22 3解析：由 a，得 a，即asin A bsin B csin Csin Bsin C 233 a2 b2 c2bsin C 233 sin C，tan C .故 cos C . c2 b22 b12( b )a2 b2 c22ab 33 3 12 3 329. b1,3当 b 时， c 取得最小值 3.3答案：B12在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 为椭圆 C： 1( ab0)的下顶点， M， N 在椭圆y2a2 x2b2上，若四边形 OPMN 为平行四边形， 为直线 ON 的倾斜角，若 ，则椭圆( 6， 4C 的离心
7、率的取值范围为 ( )A. B.63， 32 (0， 32C. D.(0，63 63， 223解析：因为 OP 在 y 轴上，在平行四边形 OPMN 中， MN OP，所以 M、 N 两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，即 M， N 两点关于 x 轴对称，|MN| OP| a，可设 M(x， y0)， N(x， y0), 由 kON kPM可得 y0 .a2把点 N 的坐标代入椭圆方程得|x| b，得 N .32 (32b， a2)6 为直线 ON 的倾斜角，tan ，a232b a3b ， 0.13 a2 c2a2 63 ca答案：C二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，把答案填在
8、相应题号后的横线上)13平行于曲线 ye x在点(0,1)处的切线，且与圆 x2 y24 x2 y30 相切的直线方程为_解析：因为 ye x，所以 ye x，所以曲线 ye x在点(0,1)处的切线的斜率k1 y| x0 e 01，所以可设所求直线的方程为 y x b(b1)，又圆x2 y24 x2 y30 的圆心为(2,1)，半径为 2 ，则圆心到直线的距离为22 ，所以 b7 或 b1.所以所求的直线方程为 y x7 或 y x1.|b 3|2 2答案： y x7 或 y x114从一架钢琴挑出的 10 个音键中，分别选择 3 个，4 个，5 个，10 个键同时按下，可发出和声，若有一个
9、音键不同，则发出不同的和声，则这样的不同的和声数为_(用数字作答)解析：依题意共有 8 类不同的和声，当有 k(k3,4,5,6,7,8,9,10)个键同时按下时，有 C 种不同的和声，则和声总数为k10C C C C 2 10C C C 1 02411045968.310 410 510 10 01 10 210答案：96815某产品在某零售摊位的零售价 x(单位：元)与每天的销售量 y(单位：个)的统计资料如下表所示：x 16 17 18 19y 50 34 41 31由表可得回归直线方程 x 中的 4，据此模型预测零售价为 20 元时，每天的y b a b 销售量为_个解析：因为 4 x
10、 ，且 17.5， 39，所以 39417.5 ，所以 109，y a x y a a 7把 x20 代入回归方程 4 x109 中，得 42010929.y y 答案：2916若四面体 ABCD 的三组对棱分别相等，即 AB CD， AC BD， AD BC，给出下列结论：四面体 ABCD 每组对棱相互垂直；四面体 ABCD 每个面的面积相等；从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于 90而小于 180；连接四面体 ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分；从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长其中正确结论的序号是_(写出所有正确结论的序号)解析：，
11、如图 1， AE， CF 分别为 BD 边上的高，由三角形全等可知 DE BF，当且仅当AD AB， CD BC 时， E， F 重合，此时 AC BD，所以当四面体 ABCD 为正四面体时，每组对棱相互垂直，故错误；，因为 AB CD， AC BD， AD BC，所以四面体四个面全等，所以四面体 ABCD 每个面的面积相等，故正确；，当四面体为正四面体时，同一个顶点出发的任意两条棱的夹角均为 60，此时四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和等于 180，故错误；，如图 2， G， H， I， J 为各边中点，因为AC BD，所以四边形 GHIJ 为菱形， GI， HJ 相互垂直平
12、分，其他同理可得，所以连接四面体 ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分，故正确；，从 A 点出发的三条棱为AB， AC， AD，因为 AC BD，所以 AB， AC， AD 可以构成三角形，同理可得其他，所以从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长，故正确综上所述，正确的结论为.答案：三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分 12 分)已知数列 an是等比数列， a24， a32 是 a2和 a4的等差中项(1)求数列 an的通项公式；(2)设 bn2log 2an1，求数列 anbn的前 n 项和 T
13、n.解析：(1)设数列 an的公比为 q.因为 a24，所以 a34 q， a44 q2.因为 a32 是 a2和 a4的等差中项，所以 2(a32) a2 a4.8即 2(4q2)44 q2，化简得 q22 q0.因为公比 q0，所以 q2.所以 an a2qn2 42 n2 2 n(nN *)(2)因为 an2 n，所以 bn2log 2an12 n1.所以 anbn(2 n1)2 n.则 Tn1232 252 3(2 n3)2 n1 (2 n1)2 n，2Tn12 232 352 4(2 n3)2 n(2 n1)2 n1 .得， Tn222 222 322 n(2 n1)2n1 22 (
14、2 n1)2 n1 6(2 n3)2 n1 ，4 1 2n 11 2所以 Tn6(2 n3)2 n1 .18(本小题满分 12 分)如图所示的三棱柱中，侧面 ABB1A1为边长等于 2 的菱形，且 AA1B160， ABC 为等边三角形，面 ABC面 ABB1A1.(1)求证： A1B1 AC1；(2)求侧面 A1ACC1和侧面 BCC1B1所成的二面角的余弦值解析：(1)证明：取 A1B1的中点 O，连接 OA， OC1.因为 ABC 为等边三角形， C1O A1B1.在 A1AO 中， A1A2， A1O1， AA1B160，可得 OA OA1， A1B1 C1O， A1B1 OA， OA
15、 OC1 O， A1B1面 AOC1.而 AC1面 AOC1， A1B1 AC1.(2)面 A1B1C1面 ABB1A1，面 A1B1C1面ABB1A1 B1A1，且 C1O A1B1， C1O面 ABB1A1， OA面 ABB1A1， AO OC1.由(1)知 OA OA1， OA1 OC1，故可以 O 为坐标原点，OA1， OA， OC1方向为 x、 y、 z 轴建立坐标系 O xyz.则 A1(1,0,0)， A(0， ，0)， C1(0,0， )， B1(1,0,0)， C(1， ， )，3 3 3 39(1,0， )， (0， ， )A1C1 3 AC1 3 3设 m( x， y，
16、z)为平面 A1ACC1的法向量，则Error!，可得 m( ，1,1)3(1,0， )， (1， ，0)B1C1 3 C1C 3设 n( a， b， c)为平面 BCC1B1的法向量，则Error!，可得 n( ，1，1)3cos m， n ，35即侧面 A1ACC1和侧面 BCC1B1所成的二面角的余弦值为 .3519(本小题满分 12 分)某市在对学生的综合素质评价中，将其测评结果分为“优秀、合格、不合格”三个等级，其中不小于 80 分为“优秀” ，小于 60 分为“不合格” ，其他为“合格” 某校高一年级有男生 500 人，女生 400 人，为了解性别对该综合素质评价结果的影响，采用分
17、层抽样的方法从高一学生中抽取了 45 名学生的综合素质评价结果，其各个等级的频数统计如表：等级 优秀 合格 不合格男生(人) 15 x 5女生(人) 15 3 y(1)求出表中 x， y 的值；(2)以抽取的 45 名学生的综合素质评价等级的频率作为全市各个评价等级发生的概率，且每名学生是否“优秀”相互独立，现从该市高一学生中随机抽取 3 人求所选 3 人中恰有 2 人综合素质评价为“优秀”的概率；记 X 表示这 3 人中综合素质评价等级为“优秀”的个数，求 X 的数学期望解析：(1)设从高一年级男生中抽出 m 人，则 ， m25. x25205， y20182.m500 45500 400(
18、2)由(1)知等级为“优秀”的学生的频率为 ，所以从该市高一学生中随机15 1545 23抽取 1 名学生，该生为“优秀”的概率为 .23记“所选 3 名学生中恰有 2 人综合素质评价为优秀学生”为事件 A，则事件 A 发生的概率为 P(A)C 2 .23 (23) (1 23) 49由题意知，随机变量 X B .(3，23)所以随机变量 X 的数学期望 E(X)3 2.231020(本小题满分 12 分)已知右焦点为 F2(c,0)的椭圆 C： 1( ab0)过点(1， )，x2a2 y2b2 32且椭圆 C 关于直线 x c 对称的图形过坐标原点(1)求椭圆 C 的方程；(2)过点( ，0
19、)作直线 l 与椭圆 C 交于 E， F 两点，线段 EF 的中点为 M，点 A 是椭圆 C12的右顶点，求直线 MA 的斜率 k 的取值范围解析：(1)椭圆 C 过点(1， )， 1，32 1a2 94b2椭圆 C 关于直线 x c 对称的图形过坐标原点， a2 c， a2 b2 c2， b2 a2，34由得 a24， b23，椭圆 C 的方程为 1.x24 y23(2)依题意，直线 l 过点( ，0)且斜率不为零，故可设其方程为 x my .12 12由Error! 消去 x，并整理得 4(3m24) y212 my450.设 E(x1， y1)， F(x2， y2)， M(x0， y0)
20、， y1 y2 ，3m3m2 4 y0 ，y1 y22 3m2 3m2 4 x0 my0 ，12 23m2 4 k .y0x0 2 m4m2 4当 m0 时， k0；当 m0 时， k ，14m 4m|4 m |4| m| 8，4m 4|m|00.1x y2e x1 2e 1 关于 x 单调递增， x0， T( x)2e x1 2e 1 0.1x1x T(x)在(0，)上单调递增(2)设 H(x) F(x) f(x)，则 H( x)2e x1 1 a.1x设 h(x)2e x1 1 a，则 h( x)2e x1 .1x 1x2 x1，2e x1 2， 1， h( x)1.1x2 h(x)在1，
21、)上单调递增当 x1 时， h(x) h(1)，即 H( x)4 a.当 a4 时， H( x)4 a0.当 a4 时， H(x)在1，)上单调递增当 a4， x1 时， H(x) H(1)0，即 F(x) f(x) x1， H( x)2e x1 1 a2e x1 2 a.1x当 a4 时，由 2ex1 2 a0 得 x1ln( 1)1，a2又 y2e x1 2 a 关于 x 单调递增，当 a4,1 x4,1 x4 时， x01ln( 1)1， F(x0) f(x0)不成立a2综上，若 x1， F(x) f(x)， a 的取值范围为(，4 请考生在下面 2 题中任选一题作答，作答时请写清题号2
22、2(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线C： sin2 2 acos (a0)，过点 P(1,2)的直线 l 的参数方程为Error!( t 是参数)，直线 l 与曲线 C 分别交于 M， N 两点(1)写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程；(2)若| PM|，| MN|，| PN|成等比数列，求 a 的值解析：(1)曲线 C： sin2 2 acos (a0)，即 2sin2 2 a cos ，所以曲线 C 的直角坐标方程为 y22 ax(a0)因为直线 l 的参数方程为Error!两式相加消
23、去参数 t 可得直线 l 的普通方程为x y10.(2)设点 M， N 对应的参数分别为 t1， t2.将Error!代入 y22 ax(a0)，得t2(2 a)t42 a0.12 2 2所以| PM|PN| t1t284 a，| MN| t1 t2|2 .2a2 4a由| PM|，| MN|，| PN|成等比数列，得 8a216 a84 a，解得 a (负值舍去)1223(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲已知函数 f(x)| x10| x20|，且满足 f(x)abba.解析：(1)要使| x10| x20|0， A(0，)13(2)证明：不妨设 ab，则 a b.aabbabba (ab) ab0， 1， a b0，ab a b1，(ab) aabbabba.
