1、1仿真模拟练（一）一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设集合 A x|(x1)( x3)0 时， yln x x2，则 y 2 x，当 x 时，1x (0， 22)y 2 x0， yln x x2单调递增，排除 C.选 A.1x答案：A7中国古代数学名著九章算术中记载了公元前 344 年商鞅监制的一种标准量器商3鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若 取 3，其体积为 12.6(单位：立方寸)，则图中的 x 为 ( )A1.2 B1.6C1.8 D2.4解析：该几何体是一个组合体，左边是一个底面半径为 的圆柱，右边是一个长
2、、宽、12高分别为 5.4 x、3、1 的长方体，组合体的体积 V V 圆柱 V 长方体 2x(5.4 x)3112.6(其中 3)，解得 x1.6.故选 B.(12)答案：B8已知在(0，)上函数 f(x)Error!，则不等式 log2x(log 4x1) f(log3x1)514的解集为 ( )A( ，1) B1,413C( ，4 D1，)13解析：原不等式等价于Error!或Error!，解得 1 x4 或 0， b0)的两条渐近线将平面划分为“上，下、左、右”四个区域x2a2 y2b2(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率 e 的取值范围是 ( )A(1， )52
3、B( ，)52C(1， )54D( ，)54解析：依题意，注意到题中的双曲线 1 的渐近线方程为 y x，且“右”区x2a2 y2b2 ba域是由不等式组Error!所确定，又点(2,1)在“右”区域内，于是有 1 ，因此2ba ba12题中的双曲线的离心率 e ( ，)，选 B.1 ba 2 52答案：B11已知函数 f(x) Asin(x )(A0， 0,00，所以 2 ，(2 56) 13 56 (56， )则 cos ，故选 C.(2 56) 1 sin2(2 56) 223答案：C12已知函数 f(x)Error!.方程 f(x)2 af(x) b0( b0)有 6 个不同的实数解，
4、则3a b 的取值范围是 ( )A6,11 B3,11C(6,11) D(3,11)解析：首先作出函数 f(x)的图象(如图)，对于方程 f(x)2 af(x) b0，可令 f(x) t，那么方程根的个数就是 f(x) t1与 f(x) t2的根的个数之和，结合图象可知，要使总共有 6 个根，需要一个方程有 4 个根，另一个方程有 2 个根，从而可知关于 t 的方程 t2 at b0 有 2 个根，分别位于区间(0,1)与(1,2)内，进一步由根的分布得出约束条件Error! ，画出可行域(图略)，计算出目标函数 z3 a b 的取值范围为(3,11)，故选 D.答案：D二、填空题(本大题共
5、4 小题，每小题 5 分，把答案填在相应题号后的横线上)613已知过点(2,4)的直线 l 被圆 C： x2 y22 x4 y50 截得的弦长为 6，则直线 l 的方程为_解析：由题意得圆 C 的标准方程为( x1) 2( y2) 210，因为直线 l 被圆 C 截得的弦长为 6，所以圆心(1,2)到直线 l 的距离 d 1，当直线 l 的斜率不存在时，10 (62)2直线方程为 x2，符合题意；当直线 l 的斜率存在时，设其方程为 y kx b，则圆心(1,2)到直线 l 的距离 d 1 ，又因为直线 l 过点(2,4)，所以 42 k b |k b 2|1 k2，联立，解得Error!所以
6、直线 l 的方程为 y x ，即 3x4 y100.综上，34 52直线 l 的方程为 x2 或 3x4 y100.答案： x2 或 3x4 y10014若 ，则(2 x1) n的二项展开式中 x2的系数为_解析：依题意，当 05 时， n25 n2525( n5)，由此解得 n10，(2 x1) n(2 x1) 10的展开式的通项12Tr1 C (2x)10 r(1) rC 210 r(1) rx10 r.令 10 r2 得 r8.因此，r10 r10(2x1) n(2 x1) 10的展开式中 x2的系数为 C 22(1) 8180.810答案：18015过抛物线 C： y22 px(p0)
7、的焦点且斜率为 2 的直线与 C 交于 A， B 两点，以 AB 为直径的圆与 C 的准线有公共点 M，若点 M 的纵坐标为 2，则 p 的值为_解析：设点 A(x1， y1)， B(x2， y2)由题意得抛物线的焦点坐标为 ，所以直线 AB(p2， 0)的方程为 y2 ，与抛物线的方程联立，消去 x 得 y2 py p20，则Error!(x p2)则Error!由题意得点 M 的坐标为 ，因为以 AB 为直径的圆经过点 M，所以 (p2， 2) MA MB x1x2 (x1 x2) y1y22( y1 y2)40，将(x1p2， y1 2) (x2 p2， y2 2) p2 p24y1 y
8、2， y1y2， x1 x2， x1x2的值代入解得 p4.答案：4716若函数 f(x) ax(a0， a1)在1,2上的最大值为 4，最小值为 m，且函数 g(x)(14 m) 在0，)上是增函数，则 a_.x解析：若 a1，有 a24， a1 m，此时 a2， m ，此时 g(x) 为减函数，不合12 x题意若 00.12(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)当 m1 时，讨论函数 f(x)与 g(x)图象的交点个数解析：(1)函数 f(x)的定义域为(0，)， f( x) ， x m x mx当 0 时， f( x)0，函数 f(x)单调递增m综上：函数 f(x)的单调递增区间是(
9、，)，单调递减区间是(0， )m m(2)令 F(x) f(x) g(x) x2( m1) x mln x， x0，问题等价于求函数 F(x)的零12点个数F( x) ，当 m1 时， F( x)0，函数 F(x)为减函数，注意到 x 1 x mxF(1) 0， F(4)ln 41 时，0m 时 F( x)0，所以函数 F(x)在(0,1)和(m，)上单调递减，在(1， m)上单调递增，11注意到 F(1) m 0， F(2m2) mln(2m2)b0)的左焦点为 F1( ，0)， e .x2a2 y2b2 6 22(1)求椭圆 C 的方程；(2)如图，设 R(x0， y0)是椭圆 C 上一动
10、点，由原点 O 向圆( x x0)2( y y0)24 引两条切线，分别交椭圆于点 P， Q，若直线 OP， OQ 的斜率存在，并记为 k1， k2，求证： k1k2为定值；(3)在(2)的条件下，试问| OP|2| OQ|2是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由解析：(1)由题意得， c ， e ，解得 a2 ，622 3椭圆 C 的方程为 1.x212 y26(2)由已知，直线 OP： y k1x， OQ： y k2x，且与圆 R 相切， 2，化简得( x 4) k 2 x0y0k1 y 40，|k1x0 y0|1 k21 20 21 20同理，可得( x 4) k 2 x0y0k
11、2 y 40，20 2 20 k1， k2是方程( x 4) k22 x0y0k y 40 的两个不相等的实数根，20 20 x 40， 0， k1k2 .20y20 4x20 4点 R(x0， y0)在椭圆 C 上， 1，即 y 6 x ，x2012 y206 20 1220 k1k2 .2 12x20x20 4 1212(3)|OP|2| OQ|2是定值 18.设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)，联立得Error!，解得Error! ， x y ，21 2112 1 k211 2k21同理，可得 x y .2 212 1 k21 2k2由 k1k2 ，得| OP|2| OQ|2
12、x y x y 12 21 21 2 2 12 1 k211 2k21 12 1 k21 2k2 18.12 1 k211 2k21121 12k1 21 2 12k1 2 18 36k211 2k21综上：| OP|2| OQ|218.请考生在下面 2 题中任选一题作答，作答时请写清题号22(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)，在以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆 C 的方程为 2 sin .5(1)写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程；(2)若点 P 的坐标为(3
13、， )，圆 C 与直线 l 交于 A， B 两点，求| PA| PB|的值5解析：(1)由Error!( t 为参数)得直线 l 的普通方程为 x y3 0.5又由 2 sin 得圆 C 的直角坐标方程为 x2 y22 y0，即 x2( y )25.5 5 5(2)把直线 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程，得(3 t)2( t)25，即 t2322 22t 40，由于 (3 )24420，故可设 t1， t2是上述方程的两实数根，则2 2Error!又直线 l 过点(3， )， A， B 两点对应的参数分别为 t1， t2，5所以| PA| PB| t1| t2|3 .223(本小题满
14、分 10 分)选修 45：不等式选讲设函数 f(x)| x | x |.a 1 a(1)当 a1 时，求不等式 f(x) 的解集；12(2)若对任意 a0,1，不等式 f(x) b 的解集为空集，求实数 b 的取值范围解析：(1)当 a1 时， f(x) 等价于| x1| x| .12 12当 x1 时，不等式化为 x1 x ，无解；1213当1f(x)max.因为 f(x)| x | x | x x | | ，a 1 a a 1 a a 1 a a 1 a当且仅当 x 时取等号所以 f(x)max .1 a a 1 a因为对任意 a0,1，不等式 f(x) b 的解集为空集，所以 b max.a 1 a以下给出二种思路求 g(a) 的最大值a 1 a思路一：令 g(a) ，所以 g2(a)12 1( )2( )a 1 a a 1 a a 1 a22，当且仅当 ，即 a 时等号成立所以 g(a)max .a 1 a12 2所以 b 的取值范围为( ，)2思路二：令 g(a) .a 1 a因为 0 a1，所以可设 acos 2 (0 ) 2则 g(a) cos sin sin ，当且仅当 时a 1 a 2 ( 4) 2 4等号成立，所以 b 的取值范围为( ，)2
