1、1第 1 讲 平面向量一、选择题1设 a(1,2)， b(1,1)， c a kb.若 b c，则实数 k 的值等于( )A B32 53C. D.53 32解析：因为 c a kb(1 k,2 k)，又 b c，所以 1(1 k)1(2 k)0，解得k .32答案：A2(2018山西四校联考)已知| a|1，| b| ，且 a( a b)，则向量 a 与向量 b 的夹2角为 ( )A. B. 6 4C. D. 3 23解析： a( a b)， a(a b) a2 ab1 cos a， b0，cos a， b2 ， a， b .22 4答案：B3已知 A， B， C 三点不共线，且点 O 满足
2、 0，则下列结论正确的是OA OB OC ( )A. OA 13AB 23BC B. OA 23AB 13BC C. OA 13AB 23BC D. OA 23AB 13BC 解析： 0， O 为 ABC 的重心， ( ) ( )OA OB OC OA 23 12AB AC 13AB AC ( ) (2 ) ，故选 D.13AB AB BC 13 AB BC 23AB 13BC 2答案：D4已知点 A(1,1)、 B(1,2)、 C(2，1)、 D(3,4)，则向量 在 方向上的投影为AB CD ( )A. B.322 3152C D322 3152解析： (2,1)， (5,5)，| |5
3、，AB CD CD 2故 在 方向上的投影为 .AB CD AB CD |CD | 1552 322答案：A5已知向量 a， b， c 中任意两个向量都不共线，但 a b 与 c 共线， b c 与 a 共线，则a b c ( )A a B b C c D0解析： a b 与 c 共线， b c 与 a 共线，可设 a b c， b c a，两式作差整理后得到(1 )c(1 )a，向量 a， c 不共线，1 0,1 0，即 1， 1， a b c，即 a b c0.故选 D.答案：D6已知 a， b 是单位向量，且 ab .若平面向量 p 满足 pa pb ，则| p|( )12 12A. B
4、112C. D22解析：由题意，不妨设 a(1,0)， b ，(12， 32)p( x， y)， pa pb ，Error!12解得Error! | p| 1，故选 B.x2 y2答案：B7(2018沈阳质检)在 ABC 中，| | |， AB2， AC1， E， F 为 BC 的三AB AC AB AC 等分点，则 ( )AE AF A. B.89 1093C. D.259 269解析：由| | |，化简得 0，又因为 AB 和 AC 为三角形的两条边，AB AC AB AC AB AC 它们的长不可能为 0，所以 与 垂直，所以 ABC 为直角三角形以 AC 所在直线为 xAB AC 轴，
5、以 AB 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则 A(0,0)， B(0,2)，C(1,0)不妨令 E 为 BC 的靠近 C 的三等分点，则 E ， F ，所以 ，(23， 23) (13， 43) AE (23， 23) ，所以 .AF (13， 43) AE AF 23 13 23 43 109答案：B8(2018高考浙江卷)已知 a， b， e 是平面向量， e 是单位向量若非零向量 a 与 e 的夹角为 ，向量 b 满足 b24 eb30，则| a b|的最小值是 ( ) 3A. 1 B. 13 3C2 D2 3解析：设 O 为坐标原点， a ， b ( x， y)， e(
6、1,0)，由 b24 eb30 得OA OB x2 y24 x30，即( x2) 2 y21，所以 B 的轨迹是以 C(2,0)为圆心，1 为半径的圆因为 a 与 e 的夹角为 ，所以不妨令点 A 在射线 y x(x0)上，如图，数形结合 3 3可知| a b|min| | | 1.故选 A.CA CB 34答案：A9已知 a， b 是单位向量， ab0.若向量 c 满足| c a b|1，则| c|的取值范围是( )A 1， 1 B 1， 22 2 2 2C1， 1 D1， 22 2解析：由 a， b 为单位向量且 ab0，可设 a(1,0)， b(0,1)，又设 c( x， y)，代入|
7、c a b|1 得( x1) 2( y1) 21，又| c| ，故由几何性质得x2 y21| c| 1，即 1| c| 1.12 12 12 12 2 2答案：A10在平面直角坐标系中，点 A 与 B 关于 y 轴对称若向量 a(1， k)，则满足不等式2 a 0 的点 A(x， y)的集合为 ( )OA AB A( x， y)|(x1) 2 y21B( x， y)|x2 y2 k2C( x， y)|(x1) 2 y21D( x， y)|(x1) 2 y2 k2解析：由 A(x， y)可得 B( x， y)，则 (2 x,0)，不等式( )2 a 0 可化为AB OA AB x2 y22 x0
8、，即( x1) 2 y21，故选 C.答案：C11(2018广州五校联考)已知 Rt AOB 的面积为 1， O 为直角顶点，设向量a ， b ， a2 b，则 的最大值为 ( )OA |OA |OB |OB | OP PA PB A1 B2C3 D4解析：如图，设 A(m,0)， B(0， n)， mn2，则 a(1,0)，5b(0,1)， a2 b(1,2)， ( m1，2)， OP PA PB (1， n2)， 5( m2 n)52 1，当且仅当 m2 n，PA PB 2nm即 m2， n1 时，等号成立答案：A12已知 ABC 中，| |10， 16， D 为边 BC 的中点，则| |
9、等于( )BC AB AC AD A6 B5C4 D3解析：由题知 ( )， 16，| | |cos BAC16.AD 12AB AC AB AC AB AC 在 ABC 中，| |2| |2| |22| | |cos BAC，BC AB AC AB AC 10 2| A |2| |232，| |2| |268，B AC AB AC | |2 ( 2 22 ) (6832)9，| |3.AD 14AB AC AB AC 14 AD 答案：D二、填空题13(2018高考北京卷)设向量 a(1,0)， b(1， m)若 a( ma b)，则m_.解析：由题意得， ma b( m1， m)，根据向量
10、垂直的充要条件可得 1(m1)0( m)0，所以 m1.答案：114若平面向量 a， b 满足|2 a b|3，则 ab 的最小值是_解析：由|2 a b|3 可知，4 a2 b24 ab9，所以 4a2 b294 ab，而4a2 b2|2 a|2| b|22|2 a|b|4 ab，所以 ab ，当且仅当 2a b 时98取等号答案：9815在等腰梯形 ABCD 中，已知 AB DC， AB2， BC1， ABC60.点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上，且 ， ，则 的值为_BE 23BC DF 16DC AE AF 解析：作 CO AB 于 O，建立如图所示的平面直角坐标系，则
11、A ， B ， C(32， 0) (12， 0)， D ，所以 E ， F ，所(0，32) ( 1， 32) (16， 33) ( 56， 32)6以 .AE AF (53， 33) (23， 32) 109 12 2918答案：291816已知菱形 ABCD 的边长为 2， BAD120，点 E， F 分别在边 BC， DC 上，BC3 BE， DC DF .若 1，则 的值为_AE AF 解析：如图， ， AE AB BE AB 13BC AF AD DF AD 1 DC ，所以 BC 1 AB AE AF (AB 13BC ) (BC 1 AB ) (1 13 )AB 2 2 22BC 1 AB 13BC (1 13 )cos 120 1，解得 2.4 43答案：2
