1、105 立体几何考纲原文（三） 立体几何初步1.空间几何体 (1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. (2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二侧法画出它们的直观图. (3)会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式 . (4)会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求). (5)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式. 2.点、直线、平面之间的位置关系 (1)理解空间
2、直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理. 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内. 公理 2：过不在同 一条直线上的三点,有且只有一个平面. 格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A 90B 63C 42D【答案】B2【名师点睛】在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考
3、虑求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解考向二 球的组合体样题 4 （2017 新课标全国理科）已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A B 34 C 2 D【答案】B【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示：由题意可得： ，结合勾股定理，底面半径 ， 由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是 ，故选 B.【名师点睛】（1）求解空间几何体体积的关键是确定几何体的元素以及线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出， 则常用等
4、积法、分割法、补形法等方法进行求解.样题 5 （2017 江苏）如图，在圆柱 12O内有一个球 ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切记圆柱312O的体积为 1V，球 O的体积为 2V，则 1的值是 .【答案】32【解析】设球半径为 r，则 故答案为32【名师点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解； 若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解考向三 空间线面的位置关系样题 6 已知 ， 是平面， m、 n 是直线，给出下列命题：若 m ， m ，则 ；若 m ， n ，
5、 m ， n ，则 ；如果 m ， n ， m， n 是异面直线，那么 n 与 相交；若 =m， n m，且 n ， n ，则 n 且 n .其中命题正确的是_【答案】样题 7 （2018 新课标全国理科）如图，四边形 ABCD为正方形， ,EF分别为 ,ADBC的中点，以4DF为折痕把 C 折起，使点 到达点 P的位置，且 FB.（1）证明：平面 PEF平面 ABD；（2）求 与平面 所成角的正弦值.【解析】（1）由已知可得， BF PF， BF EF，所以 BF平面 PEF. 又 BF平面 ABFD，所以平面 PEF平面 ABFD.（2）作 PH EF，垂足为 H.由（1）得， PH平面
6、ABFD.以 H 为坐标原点，的方向为 y 轴正方向， |B为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 Hxyz.【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹 角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.5考向四 空间角和距离样题 8 （2018 新课标全国理科）在长方体 中， 1ABC， 3A，则异面直线1AD与 B所成角的余弦值为A 5 B56C D2【答案】C【解析】用一个与原长方体相同的长方体
7、拼到原长方体的前面， 如图，则 11BPAD ，连接 P，易求得 ， 12BP，则 1是异面直线 1A与 所成的角，由余弦定理可得 .故选 C.【名师点睛】平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；计算：求该角的值，常利用解三角形；取舍：由异面直线所成的角的取 值范围是 (0,2，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围样题 9 a， b 为空间中两条互相垂直的直
8、线，等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线与 a， b 都垂直，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论：当直线 AB 与 a 成 60角时， AB 与 b 成 30角；6当直线 AB 与 a 成 60角时， AB 与 b 成 60角；直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45；直线 AB 与 a 所成角的最大值为 60.其中正确的是_.（填写所有正确结论的编号）【答案】【解析】设 .由题意， AB是以 AC 为轴, BC 为底面半径的圆锥的母线，由，又 AC圆锥底面，所以在底面内可以过点 B，作 Da ，交底面圆 C于点 D，如图所示，连接 DE，则 DE BD， DEb
9、 ，连接 AD，等腰 A 中， ,当直线 AB 与a 成 60角时， ，故 2B，又在 RtE 中， ，过点 B 作BF DE，交圆 C 于点 F，连接 AF，由圆的对称性可知 , BF 为等边三角形，即 AB 与 b 成 60角，正确，错误.由图可知正确；很明显，可以满足平面 ABC直线 a，则直线 A与 a所成角的最大值为 90，错误.故正确的是.【名师点睛】（1）平移直线法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；计算：求该角的值，常利用解三角形；取舍：由异面直线所成的角的取值范围是 0,2，可知当求出的角为钝角时，应取它的补角作为两7条异面直线所成的角.（2）求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围.
