1、1函数与方程思想、数形结合思想1.已知定义在 R 上的函数 f(x)的导函数为 f( x)，且 f(x) f( x)1，设 a f(2)1， be f(3)1，则 a， b 的大小关系为 ( )A.abC.a b D.无法 确定答案 A解析 令 g(x)e xf(x)e x，则 g( x)e xf(x) f( x)10，即 g(x)在 R 上为增函数.所以 g(3)g(2)，即 e3f(3)e 3e2f(2)e 2，整理得 ef(3)1 f(2)1，即 a0， b0)的右焦点 F 作直线 y x 的垂线，垂足为 A，交双曲线左支于 B 点，若x2a2 y2b2 ba2 ，则该双曲线的离心率为(
2、 )FB FA A. B.2 C. D.3 5 7答案 C解析 设 F(c，0)，则直线 AB 的方程为 y (x c)，代入双曲线渐近线方程 y x，得 A .ab ba (a2c， abc)由 2 ，可得 B ，把 B 点坐标代入 1，得 1，FB FA (2a2 c2c ， 2abc) x2a2 y2b2 2a2 c2 2a2c2 4a2c2 c25 a2，离心率 e .ca 55.记实数 x1， x2， xn中最小数为 minx1， x2， xn，则定义在区间0，)上的函数 f(x)min x21， x3，13 x的最大值为( )A.5 B.6 C.8 D.10答案 C解析 在同一坐标
3、系中作出三个函数 y1 x21， y2 x3， y313 x 的图象如图.3由图可知，在实数集 R 上，min x21， x3，13 x为 y2 x3 上 A 点下方的射线，抛物线 AB 之间的部分，线段 BC 与直线 y313 x 在点 C 下方的部分的组合体.显然，在区间0，)上，在 C 点时，ymin x21， x3， 13 x取得最大值.解方程组Error!得点 C(5，8).所以 f(x)max8.6.已知函数 f(x)|lg( x1)|，若 1 a b 且 f(a) f(b)，则 a2 b 的取值范围为( )A.(32 ，) B.32 ，)2 2C.(6，) D.6，)答案 C解析
4、 由图象可知 b2，1 a2，lg( a1)lg( b1)，则 a ，bb 1则 a2 b 2 b 2 (b1) 3，bb 1 2b2 bb 1 2 b 1 2 3 b 1 1b 1 1b 1由对勾函数的性质知，当 b 时， f(b)2( b1) 3 单调递增，(22 1， ) 1b 1 b2， a2 b 2 b6.bb 17.已知函数 f(x)Error!若不等式 f(x) mx 恒成立，则实数 m 的取值范围为( )A.32 ，32 2 2B.32 ，02C.32 ，02D.(，32 32 ，)2 2答案 C4解析 函数 f(x)及 y mx 的图象如图所示，由图象可知，当 m0 时，不等
5、式 f(x) mx 不恒成立，设过原点的直线与函数 f(x) x23 x2( x0 在 R 上恒成立，(3x 13x 1 x sin x) 2ln 33x 3x 1 2即函数 f(x)在 R 上单调递增.若 x0 2， 1，使得 f(x x0) f(x0 k)x 2 x0，令 g(x) x22 x， x2，1.20则 kg(x)min g(1)1 故实数 k 的取值范围是(1，).9.已知正四棱锥的体积为 ，则正四棱锥的侧棱长的最小值为_.323答案 2 3解析 如图所示，设 正四棱锥的底面边长为 a，高为 h.则该正四棱锥的体积 V a2h ，13 3235故 a2h32，即 a2 .32h
6、则其侧棱长为 l .(2a2)2 h2 16h h2令 f(h) h2，则 f( h) 2 h ，16h 16h2 2h3 16h2令 f( h)0，解得 h2. 当 h(0，2)时， f( h)0， f(h)单调递增，所以当 h2 时， f(h)取得最小值 f(2) 2 212，162故 lmin 2 .12 310.若函数 f(x)|2 x2| b 有两个零点，则实数 b 的取值范围是_.答案 (0，2)解析 由 f(x)|2 x2| b 有两个零点，可得|2 x2| b 有两个不等的实根，从而可得函数 y1|2 x2|的图象与函数 y2 b 的图象有两个交点，如图所示.结合函数的图象，可
7、得 00)，若两条曲线没有公共点，则 r 的取值范围是x29 y24_.答案 (0，1) (3 305 ， )解析 方法一 联立 C1和 C2的方程，消去 x，得到关于 y 的方程 y22 y10 r20，54方程可变形为 r2 y22 y10， 546把 r2 y22 y10 看作关于 y 的函数.54由椭圆 C1可知，2 y2，因此，求使圆 C2与椭圆 C1有公共点的 r 的集合，等价于在定义域为 y2，2的情况下，求函数r2 f(y) y22 y10 的值域.54由 f(2)1， f(2)9， f ，(45) 545可得 f(y)的值域为 ，即 r ，1，545 1， 3 305 它的补集就是 圆 C2与椭圆 C1没有公共点的 r 的集合，因此，两条曲线没有公共点的 r 的取值范围是(0，1 ) .(3 305 ， )则Error!又 r0，解得 00，故 (x)在 上单调递增，12， )所以 (x) 0.(12) 78 e2因此 g( x)0，故 g(x)在 上单调递增，12， )则 g(x) g 2 ，(12) 18 112 e 94所以 a 2 ， 94 e 94解得 a2 ， e所以 a 的取值集合为2 .e
