1、1圆锥曲线的综合问题1已知椭圆 1( ab0)的离心率 e ，左、右焦点分别为 F1， F2，且 F2与抛物线 y24 x 的焦点x2a2 y2b2 33重合(1)求椭圆的标准方程；(2)若过 F1的直线交椭圆于 B， D 两点，过 F2的直线交椭圆于 A， C 两点，且 AC BD，求| AC| BD|的最小值解 (1)抛物线 y24 x 的焦点坐标为(1,0)，所以 c1，又因为 e ，所以 a ，ca 1a 33 3所以 b22，所以椭圆的标准方程为 1.x23 y22由题意知 AC 的斜率为 ，1k所以| AC| .4 3(1k2 1)31k2 2 4 3(k2 1)2k2 3|AC|
2、 BD|4 3(k2 1)(13k2 2 12k2 3)2 20 3(k2 1)2(3k2 2)(2k2 3) 20 3(k2 1)2(3k2 2) (2k2 3)2 2 .20 3(k2 1)225 k2 1 24 16 35当且仅当 3k222 k23，即 k1 时，上式取等号，故| AC| BD|的最小值为 .16 35当直线 BD 的斜率不存在或等于零时，可得| AC| BD| .10 33 16 35综上，| AC| BD|的最小值为 .16 352已知椭圆 C： 1( ab0)的左、右焦点分别为 F1， F2，离心率为 ， 点 P 在椭圆 C 上，且x2a2 y2b2 13PF1F
3、2的面积的最大值为 2 . 2(2)已知直线 l： y kx2( k0)与椭圆 C 交于不同的两点 M， N，若在 x 轴上存在点 G，使得| GM| GN|，求点 G 的横坐标的取值范围解 (1)由已知得Error!解得 a29， b28， c21，椭圆 C 的方程为 1.x29 y28(2)设 M(x1， y1)， N(x2， y2)， MN 的中点为 E(x0， y0)，点 G(m，0)，使得| GM| GN|，则 GE MN.由Error!得 x236 kx360，(8 9k2)由 0，得 kR 且 k0. x1 x2 ，36k9k2 8 x0 ， y0 kx02 . 18k9k2 8
4、 169k2 8 GE MN， kGE ，1k即 ，169k2 8 0 18k9k2 8 m 1k3 m . 2k9k2 8 29k 8k当 k0 时，9 k 2 128k 98 2，(当 且 仅 当 9k8k， 即 k 2 23 时 ， 取 等 号 ) m0)与抛物线 C2： y22 ax 相交于 A， B 两点，且两曲线的焦点 F 重合x2a2 y23(1)求 C1， C2的方程；(2)若过焦点 F 的直线 l 与椭圆分别交于 M， Q 两点，与抛物线分别交于 P， N 两点，是否存在斜率为k(k0)的直线 l，使得 2？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由|PN|MQ|解 (1)
5、因为 C1， C2的焦点重合，所以 ，a2 3a2所以 a24.又 a0，所以 a2.于是椭圆 C1的方程为 1，x24 y23抛物线 C2的方程为 y24 x.(2)假设存在直线 l 使得 2，|PN|MQ|当 l x 轴时，| MQ|3，| PN|4，不符合题意，直线 l 的斜率存在，可设直线 l 的方程为 y k(x1)( k0)， P(x1， y1)， Q(x2， y2)， M(x3， y3)， N(x4， y4)由Error!可得 k2x2(2 k24) x k20，则 x1 x4 ， x1x41，且 16 k2160，2k2 4k24所以| PN| 1 k2 x1 x4 2 4x1
6、x4 .4 1 k2k2由Error!可得(34 k2)x28 k2x4 k2120，则 x2 x3 ， x2x3 ，8k23 4k2 4k2 123 4k2且 144 k21440，所以| MQ| .1 k2 x2 x3 2 4x2x312 1 k23 4k2若 2，|PN|MQ|则 2 ，4 1 k2k2 12 1 k23 4k2解得 k .62故存在斜率为 k 的直线 l，使得 2.62 |PN|MQ|4已知 M 是椭圆 C： 1( ab0)上的一点， F1， F2是该椭圆的左、右焦点，且| F1F2|2( 3，12) x2a2 y2b2. 3(1)求椭圆 C 的方程；(2)设点 A，
7、B 是椭圆 C 上与坐标原点 O 不共线的两点，直线 OA， OB， AB 的斜率分别为 k1， k2， k，且k1k2 k2.试探究| OA|2| OB|2是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由解 (1)由题意知， F1( ，0)， F2( ，0)，3 3根据椭圆定义可知| MF1| MF2|2 a，所以 2a 3 3 2 (12 0)24， 3 3 2 (12 0)2所以 a24， b2 a2 c21，所以椭圆 C： y21.x24(2)设直线 AB： y kx m(km0)，A(x1， y1)， B(x2， y2)，由Error! 消去 y，得(14 k2)x28 kmx4 m24
8、0， (8 km)216( m21)(4 k21)0，5x1 x2 ， x1x2 ，8km1 4k2 4m2 41 4k2因为 k1k2 k2，所以 k2， kx1 mx1 kx2 mx2即 km(x1 x2) m20( m0)，解得 k2 .14|OA|2| OB|2 x x y y21 2 21 2 (x1 x2)22 x1x25，54所以| OA|2| OB|25.5已知椭圆 C： 1( ab0)的上顶点为点 D，右焦点为 F2(1,0)，延长 DF2交椭圆 C 于点 E，且满足x2a2 y2b2|DF2|3| F2E|.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)过点 F2作与 x 轴不重合的
9、直线 l 和椭圆 C 交于 A， B 两点，设椭圆 C 的左顶点为点 H，且直线 HA， HB分别 与直线 x3 交于 M， N 两点，记直线 F2M， F2N 的斜率分别为 k1， k2，则 k1与 k2之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由解 (1)椭圆 C 的上顶点为 D(0， b)，右焦点 F2(1,0)，点 E 的坐标为( x， y)| DF2|3| F2E|，可得 3 ，DF2 F2E 又 (1， b)， ( x1， y)，DF2 F2E Error!代入 1，x2a2 y2b2可得 1 ，(43)2a2 ( b3)2b2又 a2 b21，解得 a22， b21，即椭
10、圆 C 的标准方程为 y21.x226Error!根据 H， A， M 三点共线，可得 ，yM3 2 y1x1 2 yM .y1(3 2)x1 2同理可得 yN ，y2(3 2)x2 2 M， N 的坐标分别为 ， ，(3， y1(3 2)x1 2)(3， y2(3 2)x2 2) k1k2 yMyNyM 03 1 yN 03 1 14 14 y1(3 2)x1 2 y2(3 2)x2 2y1y2 3 2 24(my1 1 2)(my2 1 2)y1y2 3 2 24m2y1y2 (1 2)m(y1 y2) (1 2)2 . 11 6 2m2 24 m2m2 2 2(1 2)m2m2 2 3
11、2 2 11 6 2m2 246 4 2m2 2 4 2 98 k1与 k2之积为定值，且该定值是 .4 2 986已知平面上动点 P 到点 F 的距离与到直线 x 的距离之比为 ，记动点 P 的轨迹为曲线 E.( 3， 0)4 33 32(1)求曲线 E 的方程；(2)设 M(m， n)是曲线 E 上的动点，直线 l 的方程为 mx ny1.设直线 l 与圆 x2 y21 交于不同两点 C， D，求| CD|的取值范围；求与动直线 l 恒相切的定椭圆 E的方程，并探究：若 M(m， n)是 曲线 ： Ax2 By21( AB0)上的动点，是否存在与直线 l： mx ny1 恒相切的定曲线 ？
12、若存在，直接写出曲线 的方程；若不存7在，说明理由解 (1)设 P(x， y)，由题意，得 .(x 3)2 y2|x 4 33| 32整理，得 y21，x24曲线 E 的方程为 y21.x24(2)圆心到直线 l 的距离 d ，1m2 n2直线与 圆有两个不同交点 C， D，| CD|24 .(11m2 n2)又 n21( m0)， m24| CD|24 .(143m2 4)| m|2，0 m24，01 .43m2 4 34| CD|2(0，3，| CD| ，(0， 3即| CD|的取值范围为 .(0， 3当 m0 ， n1 时，直线 l 的方程为 y1；当 m2， n0 时，直线 l 的方程
13、为 x . 12根据椭圆对称性，猜想 E的方程为 4x2 y21.下面证明：直线 mx ny1( n0)与 4x2 y21 相切，其中 n21，即 m24 n24.m24由Error!消去 y 得(m24 n2)x22 mx1 n20，即 4x22 mx1 n20， 4 m216 4 0 恒成立，从而直线 mx ny1 与椭圆 E：4 x2 y21 恒相(1 n2) (m2 4n2 4)切若点 M 是曲线 ： Ax2 By21 上的动点，则直线 l： mx ny1 与定曲线 ： (m， n) (AB 0)x2A1 恒相切y2B (AB 0)87. 已知椭圆 C： 1( a b0)的左、右顶点分
14、别为 A1， A2，右焦点为 F2(1,0)，点 B 在椭圆x2a2 y2b2 (1， 32)C 上(1)求椭圆 C 的方程；(2)若直线 l： y k(x4)( k0)与椭圆 C 由左至右依次交于 M， N 两点，已知直线 A1M 与 A2N 相交于点 G，证明：点 G 在定直线上，并求出定直线的方程 解析：(1)由 F2(1,0)，知 c1，由题意得Error!所以 a2， b ，所以椭圆 C 的方程为 1.3x24 y23(2)因为 y k(x4)，所以直线 l 过定点(4,0)，由椭圆的对称性知点 G 在直线 x x0上当直线 l 过椭圆 C 的上顶点时， M(0， )，3所以直线 l 的斜率 k ，由Error!得Error!或Error!所以 N ，34 (85， 3 35)由(1)知 A1(2,0)， A2(2,0)，所以直线 lA1M 的方程为 y (x2)，直线 lA2N 的方程为 y (x2)，所以 G ，所以 G32 3 32 (1， 3 32)在直线 x1 上当直线 l 不过椭圆 C 的上顶点时，设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，由Error!得(34 k2)x232 k2x64 k2120，9
