1、1圆锥曲线的综合问题【2019 年高考考纲解读】1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题.2.试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大【重点、难点剖析】一、 范围、最值问题圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解二、定点、定值问题1由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式： y y0 k(x x0)，则直线必过定点( x0， y0)；若得到了直线方程的斜截式： y kx m，则直线
2、必过定点(0， m) (1)求 E 的方程；(2)设 E 与 y 轴正半轴的交点为 B，过点 B 的直线 l 的斜率为 k(k0)， l 与 E 交于另一点 P.若以点 B 为圆心，以线段 BP 长为半径的圆与 E 有 4 个公共点，求 k 的取值范围【解析】解法一 (1)设点 M(x， y)，由 2 ，得 A(x,2y)，MQ AQ 由于点 A 在圆 C： x2 y24 上，则 x24 y24，即动点 M 的轨迹 E 的方程为 y21.x24(2)由(1)知， E 的方程为 y21，x24因为 E 与 y 轴正半轴的交点为 B，所以 B(0,1)，所以过点 B 且斜率为 k 的直线 l 的方
3、程为 y kx1( k0)由Error!得(14 k2)x28 kx0，设 B(x1， y1)， P(x2， y2)，因此 x10， x2 ，8k1 4k2|BP| |x1 x2| .1 k28|k|1 4k2 1 k2由于以点 B 为圆心，线段 BP 长为半径的圆与椭圆 E 的公共点有 4 个，由对称性可设在 y 轴左侧的椭圆上有两个不同的公共点 P， T，满足| BP| BT|，此时直线 BP 的斜率 k0，记直线 BT 的斜率为 k1，且 k10， k1 k，2则| BT| ，8|k1|1 4k21 1 k21故 ，所以 0，8|k1|1 4k21 1 k21 8|k|1 4k2 1 k
4、2 k21 k411 4k21 k2 k41 4k2即(14 k2) (14 k ) ，k21 k41 21 k2 k4所以( k2 k )(1 k2 k 8 k2k )0，21 21 21由于 k1 k，因此 1 k2 k 8 k2k 0，21 21故 k2 .k21 18k21 1 18 98 8k21 1因为 k20，所以 8k 10，所以 k2 .2118 98 8k21 1 18又 k0，所以 k .24又 k1 k，所以 1 k2 k28 k2k20，所以 8k42 k210.又 k0，解得 k ，22所以 k .(24， 22) ( 22， )根据椭圆的对称性， k 也满足题意(
5、 ， 22) ( 22， 24)综上所述， k 的取值范围为 .( ， 22) ( 22， 24) ( 24， 22) ( 22， )解法二 (1)设点 M(x， y)， A(x1， y1)，则 Q(x1,0)因为 2 ，所以 2(x1 x， y)(0， y1)，所以Error!解得Error!MQ AQ 因为点 A 在圆 C： x2 y24 上，所以 x24 y24，所以动点 M 的轨迹 E 的方程为 y21.x24(2)由(1)知， E 的方程为 y21，所以 B 的坐标为(0,1)，易得直线 l 的方程为 y kx1( k0)x24由Error!得(14 k2)x28 kx0，设 B(x
6、1， y1)， P(x2， y2)因此 x10， x2 ，8k1 4k2|BP| |x1 x2| .1 k28|k|1 4k2 1 k2则点 P 的轨迹方程为 x2( y1) 2 ，64k2 1 k2 1 4k2 2由Error!得 3y22 y5 0(1 y1) (*)64k2 1 k2 1 4k2 2依题意，得(*)式在 y(1,1)上有两个不同的实数解3设 f(x)3 x22 x5 (1 x1)，64k2 1 k2 1 4k2 2易得函数 f(x)的图象的对称轴为直线 x ，13要使函数 f(x)的图象在(1,1)内与 x 轴有两个不同的交点，则Error!整理得Error!即Error
7、!所以Error!得 k ( ， 22) ( 22， 24) ( 24， 22)，(22， )所以 k 的取值范围为 ( ， 22) ( 22， 24) .(24， 22) ( 22， )【方法技巧】1解决圆锥曲线中范围问题的方法一般题目中没有给出明确的不等关系，首先需要根据已知条件进行转化，利用圆锥曲线的几何性质及曲线上 点的坐标确定不等关系；然后构造目标函数，把原问题转化为求函数的值域或引入参数根据参数范围求解，解题时应注意挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之间的转化 由 MQO NQO，得直线 MQ 与 NQ 的斜率之和为零，易知 x1或 x2等于 0 时，不满足题意，故 y1 mx1 0，y2 mx2 kx1 12 mx1 kx2 12 mx2 2kx1x2 (12 m) x1 x2x1x2即 2kx1x2 (x1 x2)2 k 0，当 k0 时， m6，所以存(12 m) 113 4k2 (12 m) 4k3 4k2 4k m 63 4k2在定点(0,6)，使得 MQO NQO；当 k0 时，定点(0,6)也符合题意易知当直线 MN 的斜率不存在时，定点(0,6)也符合题意综上，存在定点(0,6)，使得 MQO NQO.4
