1、1圆锥曲线1已知 F1， F2是双曲线 1( a0， b0)的左、右焦点，过 F2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点x2a2 y2b2A，交另一条渐近线于点 B，且 ，则该双曲线的离心率为( )AF2 13F2B A. B. C. D262 52 3答案 A2设椭圆 1( ab0)的焦点为 F1， F2， P 是椭圆上一点，且 F1PF2 ，若 F1PF2的外接圆和内x2a2 y2b2 3切圆的半径分别为 R， r，当 R4 r 时，椭圆的离心率为( )A. B. C. D.45 23 12 25答案 B解析 椭圆 1( ab0)的焦点为 F1( c,0)， F2(c,0)， P 为椭圆上一点
2、，且x2a2 y2b2 F1PF2 ，| F1F2|2 c，根据正弦定理 2 R， 3 |F1F2|sin F1PF2 2csin 3 R c，2 33 R4 r， r c，36由余弦定理，2| PF1|2| PF2|22| PF1|PF2|cos F1PF2，(2c)由| PF1| PF2|2 a， F1PF2 ， 3可得| PF1|PF2| ，43(a2 c2)则由三角形面积公式 r |PF1|PF2|sin F1PF2，12(|PF1| |PF2| |F1F2|) 122可得 c ，(2a 2c)36 43(a2 c2) 32 e .ca 2332000 多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥
3、斯(Apollonius)发现：平面截圆锥的截口曲线是圆锥曲线已知圆锥的高为 PH， AB 为地面直径，顶角为 2 ，那么不过顶点 P 的平面与 PH 夹角 a 时，截 2口曲线为椭圆；与 PH 夹角 a 时，截口曲线为抛物线；与 PH 夹角 a0 时，截口曲线为双曲线如图，底面内的直线 AM AB，过 AM 的平面截圆锥得到的曲线为椭圆，其中与 PB 的交点为 C，可知 AC 为长轴那么当 C 在线段 PB 上运动时，截口曲线的短轴端点的轨迹为( )A圆的一部分 B椭圆的一部分C双曲线的一部分 D抛物线的一部分答案 D解析 如图，因为对于给定的椭圆来说，短轴的端点 Q 到焦点 F 的距离等于
4、长半轴 a，但短轴的端点 Q 到直线 AM 的距离也是 a，即说明短轴的端点 Q 到定点 F 的距离等于到定直线 AM 的距离，且点 F 不在定直线AM 上，所以由抛物线的定义可知，短轴的端点的轨迹是抛物线的一部分，故选 D.4过双曲线 1( a0， b0)的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A， B 两点， D 为虚轴的一个x2a2 y2b2端点，且 ABD 为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为_答案 (1， )( ，)2 2 2解析 设双曲线 1( a0， b0)的左焦点 F1( c,0)，x2a2 y2b2令 x c，可得 y b ，c2a2 1 b2a3设 A ， B ，
5、 D(0， b)，( c，b2a) ( c， b2a)可得 ，AD (c， b b2a) ， ，AB (0， 2b2a) DB ( c， b b2a)若 DAB 为钝角，则 b，即有 a2b2 c2 a2，可得 c21，可得 10，由 e ，可得 e44 e220，ca又 e1，可得 e ； 2 2又 0，AB DB 2b2a(b b2a) DBA 不可能为钝角综上可得， e 的取值范围为(1， )( ，)2 2 25已知直线 MN 过椭圆 y21 的左焦点 F，与椭圆交于 M， N 两点，直线 PQ 过原点 O 与 MN 平行，且与x22椭圆交于 P， Q 两点，则 _.|PQ|2|MN|答
6、案 2 2解析 方法一 特殊化，设 MN x 轴， 则| MN| ，| PQ|24， 2 .2b2a 22 2 |PQ|2|MN| 42 2方法二 由题意知 F(1,0)，当直线 MN 的斜率不存在时，| MN| ，| PQ|2 b2，则 22b2a 2 |PQ|2|MN|；2当直线 MN 的斜率存在时，设直线 MN 的斜率为 k，则 MN 的方程为 y k(x1)， M(x1， y1)， N(x2， y2)， 4联立方程Error!整理得(2 k21) x24 k2x2 k220， 8 k280.由根与系数 的关系，得x1 x2 ， x1x2 ， 4k22k2 1 2k2 22k2 1则|
7、MN| 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 .2 2 k2 12k2 1直线 PQ 的方程为 y kx， P(x3， y3)， Q(x4， y4)，则Error!解得 x2 ， y2 ，21 2k2 2k21 2k2则| OP|2 x y ，23 232 1 k21 2k2又| PQ|2| OP|，所以| PQ|24| OP|2 ，8 1 k21 2k2所以 2 .|PQ|2|MN| 2综上， 2 .|PQ|2|MN| 26已知抛物线 C： y22 px(p0)的焦点为 F，过点 F 的直线 l 与抛物 线 C 交于 A， B 两点，且直线 l 与圆x2 px y2 p20 交于 C， D
8、两点，若| AB|3| CD|，则直线 l 的斜率为_34答案 22解析 由题意得 F ，由 x2 px y2 p20，配方得 2 y2 p2，(p2， 0) 34 (x p2)所以直线 l 过圆心 ，可得| CD|2 p，(p2， 0)若直线 l 的斜率不存在，则 l： x ，| AB|2 p，| CD|2 p，不符合题意，p2直线 l 的斜率存在可设直线 l 的方程为 y k ， A(x1， y1)， B(x2， y2)，(xp2)联立Error!化为 x2 x 0，(p2pk2) p245所以 x1 x2 p ，2pk2所以| AB| x1 x2 p2 p ，2pk2由| AB|3| C
9、D|，所以 2p 6 p，2pk2可得 k2 ，所以 k .12 227已知 A， B 是椭圆 C 上关于原点对称的两点，若椭圆 C 上存在点 P，使得直线 PA， PB 斜率的绝对值之和为 1，则椭圆 C 的离心率的取值范围是_ 答案 32， 1)由题意得 1，2ba所以 a24 b24 a24 c2，即 3a24 c2，所以 e2 ，34又因为 0b0)的离心率为 ，且点 在该椭圆上x2a2 y2b2 12 (1， 32)(1)求椭圆 C 的方程；(2)过椭圆 C 的左焦点 F1的直线 l 与椭圆 C 相交于 A， B 两点，若 AOB 的面积为 ，求圆心在原点 O 且6 27与直线 l
10、相切的圆的方程6(2)由(1)知 F1(1,0)，设直线 l 的方程为 x ty1，由Error!消去 x，得(43 t2)y26 ty90，显然 0 恒成立，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 y1 y2 ， y1y2 ， 6t4 3t2 94 3t2所以| y1 y2| y1 y2 2 4y1y2 ，36t2 4 3t2 2 364 3t2 12 t2 14 3t2所以 S AOB |F1O|y1 y2|12 ，6 t2 14 3t2 6 27化简得 18t4 t2170，即(18 t217)( t21)0，解得 t 1， t (舍去)21 21718又圆 O 的半径 r ，|0 t0 1|1 t2 11 t2所以 r ，故圆 O 的方程为 x2 y2 .22 127
