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    2019八年级数学下册第十八章平行四边形小专题(五)平行四边形的证明思路练习(新版)新人教版.docx

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    2019八年级数学下册第十八章平行四边形小专题(五)平行四边形的证明思路练习(新版)新人教版.docx

    1、1小专题(五) 平行四边形的证明思路类型 1 若已知条件出现在四边形的边上,则应考虑:两组对边分别平行的四边形是平行四边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边形;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形1 如图,延长ABCD 的边 AD 到点 F,使 DFDC,延长 CB 到点 E,使 BEBA,分别连接点 A,E 和点 C,F.求证:AECF.证明:四边形 ABCD 是平行四边形,AD BC,ABCD./AFEC.又DFDC,BEBA,BEDF.AFEC.四边形 AECF 是平行四边形AECF.2如图,已知:ABCD,BEAD,垂足为 E,CFAD,垂足为 F,并且 AEDF.求证:(1)BE

    2、CF;(2)四边形 BECF 是平行四边形2证明:(1)BEAD,CFAD,AEBDFC90 .ABCD,AD.在AEB 和DFC 中, AEB DFC,AE DF, A D, )AEBDFC(ASA)BECF.(2)BEAD,CFAD,BECF.又BECF,四边形 BECF 是平行四边形3如图,在ABCD 中,分别以 AD,BC 为边向内作等边ADE 和等边BCF,连接 BE,DF.求证:四边形 BEDF 是平行四边形证明:四边形 ABCD 是平行四边形,CDAB,ADCB,DABBCD.3又ADE 和BCF 都是等边三角形,DEADAE,CFBFBC,DAEBCF60 .BFDE,CFAE

    3、,DCFBCDBCF,BAEDABDAE,即DCFBAE.在DCF 和BAE 中,CD AB, DCF BAE,CF AE, )DCFBAE(SAS)DFBE.又BFDE,四边形 BEDF 是平行四边形4如图,DE 是ABC 的中位线,延长 DE 到点 F,使 EFDE,连接 BF.求证:(1)BFDC;(2)四边形 ABFD 是平行四边形证明:(1)DE 是ABC 的中位线,CEBE.在DEC 和FEB 中,CE BE, CED BEF,DE FE, )4DECFEB(SAS)BFDC.(2)DE 是ABC 的中位线,DEAB,且 DE AB.12又EFDE,DE DF.12DFAB.又DF

    4、AB,四边形 ABFD 是平行四边形类型 2 若已知条件出现在四边形的角上,则应考虑利用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”来证明5如图,现有一六边形铁板 ABCDEF,其中ABCDEF120,AB10 cm,BC70 cm,CD20 cm,DE40 cm,求 AF 和 EF 的长解:延长 FA,CB 交于点 M,延长 FE,CD 交于点 N.FEDCDE120 ,NEDNDE60 .END 是等边三角形ENDNDE40 cm.5同理:AMB 是等边三角形AMBMAB10 cm.FMBEND60 ,FC120 ,四边形 FMCN 是平行四边形MCFN,MFCN.AB10 cm,BC70 c

    5、m,CD20 cm,DE40 cm,AFMFAMCNAMCDDNAM50 cm,EFFNENMCENBMBCEN40 cm.类型 3 若已知条件出现在对角线上,则应考虑利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明6如图,ABCD 的对角线相交于点 O,直线 EF 经过点 O,分别与 AB,CD 的延长线交于点E,F.求证:四边形 AECF 是平行四边形证明:四边形 ABCD 是平行四边形,ODOB,OAOC,ABCD.DFOBEO,FDOEBO.在FDO 和EBO 中, DFO BEO, FDO EBO,OD OB, )FDOEBO(AAS)OFOE.6又OAOC,四边形 AECF 是平行

    6、四边形类型 4 平行四边形证明中的“一题多解”7如图,已知在四边形 ABCD 中,AEBD 于点 E,CFBD 于点 F,AECF,BFDE.求证:四边形 ABCD 是平行四边形(至少用三种不同的方法证明)证明:证法 1:BFDE,BFEFDEEF,即 BEDF.又AEBD,CFBD,AEBCFD90 .在ABE 和CDF 中,BE DF, AEB CFD,AE CF, )ABECDF(SAS)ABCD.在ADE 和CBF 中,AE CF, AED CFB,DE BF, )ADECBF(SAS)ADBC.四边形 ABCD 是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)证法 2:同证法 1,得ABECDF,ABECDF.ABCD.7同理可证,ADBC.四边形 ABCD 是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)证法 3:同证法 1,得ABECDF,ABCD,ABECDF.ABCD.四边形 ABCD 是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)证法 4:连接 AC,交 BD 于点 O.在AOE 和COF 中, AEO CFO 90 , AOE COF,AE CF, )AOECOF(AAS)AOCO,EOFO.BFDE,BFFODEEO,即 BODO.四边形 ABCD 是平行四边形(两条对角线互相平分的四边形是平行四边形)


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