1、1第 10 讲 直线与圆1.(2018 泰州中学高三月考)若圆 C 经过坐标原点和点(4,0),且与直线 y=1 相切,则圆 C 的方程是 . 2.(2018 如东高级中学高三上学期期中)若圆 C:x2+y2+2x+2y-7=0 关于直线 ax+by+4=0 对称,由点 P(a,b)向圆 C 作切线,切点为 A,则线段 PA 的最小值为 . 3.(2017 兴化第一中学高三月考)已知直线 l:mx+y+3m+ =0 与圆 x2+y2=12 交于 A,B 两点.若 AB=2 ,3 3则实数 m 的值为 . 4.(2018 南通中学高三考前冲刺练习)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 ax+y-2
2、a=0 与圆 x2+y2=1 交于 A,B两点,若弦 AB 中点的横坐标为 ,则实数 a 的取值集合为 . 255.(2018 高考数学模拟(2)在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 l:x+2y=0 与圆 C:(x-a)2+(y-b)2=5 相切,且圆心 C 在直线 l 的上方,则 ab 的最大值为 . 6.(2018 徐州铜山高三第三次模拟)已知圆 O:x2+y2=r2(r0)及圆上的点 A(-r,0),过点 A 的直线 l 交 y 轴于点 B(0,1),交圆于另一点 C.若 AB=2BC,则直线 l 的斜率为 . 7.(2018 扬州中学高三下学期开学考试)在平面直角坐标系 xOy 中,
3、过点 P(-2,0)的直线与圆 x2+y2=1 相切于点 T,与圆(x-a) 2+(y- )2=3 相交于点 R,S,且 PT=RS,则正数 a 的值为 . 38.(2018 海安高级中学高三月考)已知 A,B 是圆 C:x2+y2=1 上的动点,AB= ,P 是直线 x+y-2=0 上的动点,则2| + |的最小值为 . PAPB9.(2018 南通高考数学冲刺小练(36)若半径为 r 的圆 C:x2+y2+Dx+Ey+F=0 的圆心 C 到直线 l:Dx+Ey+F=0的距离为 d,其中 D2+E2=F2,且 F0.(1)求 F 的取值范围;(2)求证:d 2-r2为定值;(3)是否存在定圆
4、 M,使得圆 M 既与直线 l 相切又与圆 C 相离?若存在,请求出定圆 M 的方程,并给出证明;若不存在,请说明理由.10.(2018 兴化楚水实验学校、黄桥中学、口岸中学三校联考)已知圆 O:x2+y2=1 与 x 轴的负半轴相交于点 A,与 y 轴的正半轴相交于点 B.2(1)若过点 C 的直线 l 被圆 O 截得的弦长为 ,求直线的方程;(12,32) 3(2)若在以 B 为圆心,r 为半径的圆上存在点 P,使得 PA= PO(O 为坐标原点),求 r 的取值范围;2(3)设 M(x1,y1),Q(x2,y2)是圆 O 上的两个动点,点 M 关于原点的对称点为 M1,点 M 关于 x
5、轴的对称点为 M2,如果直线 QM1,QM2与 y 轴分别交于点(0,m)和(0,n),问 mn 是不是定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.3答案精解精析1.答案 (x-2) 2+ =(y+32)2254解析 由题意知,圆心在直线 x=2 上,且圆 C 与直线 y=1 相切,设圆心坐标为(2,b),则 =|b-1|.解4+b2得 b=- .所以圆 C 的半径为 ,圆 C 的方程为(x-2) 2+ = .32 52 (y+32)22542.答案 3解析 圆 C:x2+y2+2x+2y-7=0 可化为(x+1) 2+(y+1)2=9,其圆心坐标为 C(-1,-1),半径 r=3.由题意得,
6、圆心C(-1,-1)在直线 ax+by+4=0 上,则 a+b=4,即点 P(a,b)在直线 x+y=4 上,圆心 C 到该直线的距离 d= =362.所以切线长 PA 的最小值为 = =3.2 d2-r2 18-93.答案 33解析 由 AB=2 ,得ABO 是正三角形,则圆心 O 到直线 l 的距离 d= AB=3.所以 =3,解得 m= .332 |3m+ 3|m2+1 334.答案 -12,12解析 易得弦 AB 的中点 C 与圆心 O 的连线与弦 AB 垂直,则 kockAB=-1,即 4a(-a)=-1,解得 a=(25,8a5).故实数 a 的取值集合为 .12 -12,125.
7、答案 258解析 因为直线 l:x+2y=0 与圆 C:(x-a)2+(y-b)2=5 相切,所以 = .又因为圆心 C 在直线 l 的上方,所|a+2b|5 5以 a+2b0.所以 a+2b=5.又 a+2b=52 ,所以 ab 的最大值为 ,当且仅当 a=2b= 时,等号成立.2ab258 526.答案 或33 3解析 过点 A 的直线 l 交 y 轴于点 B(0,1),交圆于另一点 C,AB=2BC,则 =2 或 =-2 ,则 C 或 CABBCAB BC (r2,32).由点 C 在圆 O:x2+y2=r2(r0)上,得 + =r2,r= ,或 + =r2,r= .故 A(- ,0)或
8、 A ,(-r2,12) r2494 3 r2414 33 3 (- 33,0)则直线 l 的斜率,即直线 AB 的斜率为 或 .33 37.答案 4解析 易得 PT= = ,且 PT 的方程为 y= (x+2),设圆(x-a) 2+(y- )2=3 的圆心(a, )到直4-1 333 3 3线 PT 的距离为 d,则 RS= =2 .所以 d= .所以 = ,或 = .又 a 为正数,则 a=4.3 3-d232 |a-1|2 32 |a+5|2 3248.答案 2解析 取 AB 的中点 D,由 AB= 易得 CD= ,即点 D 在圆 x2+y2= 上.圆心(0,0)到直线 x+y-2=0
9、的距离为222 12,则| + |=2| |2 = .故最小值是 .2 PAPB PD ( 2-22) 2 29.解析 (1)因为 D2+E24F,D2+E2=F2,且 F0,所以 F24F,且 F0,解得 F4.(2)易得圆 C 的圆心 C ,(-D2,-E2)半径 r= = ,D2+E2-4F2 F2-4F2圆心 C 到直线 l:Dx+Ey+F=0 的距离(-D2,-E2)d= = .|D(-D2)+E(-E2)+F|D2+E2 |F-22|所以 d2-r2= - =1.|F-22|2(F2-4F2 )2(3)存在定圆 M:x2+y2=1 满足题意,证明:因为 O(0,0)到直线 l 的距
10、离为 =1=r,所以圆 M 与直线 l 相切;|F|D2+E2因为|MC|= = ,r+1= +1,(-D2)2+(-E2)2F2 F2-4F2而 +1 40,F2 F2-4F2 (F2-1)2F2-4F4故|MC|r+1.所以圆 M 与圆 C 相离.由得,存在定圆 M:x2+y2=1 满足题意.10.解析 (1)若直线 l 的斜率不存在,则直线 l 的方程为 x= ,符合题意.12若直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y- =k ,即 2kx-2y-k+ =0.32 (x-12) 3点 O 到直线 l 的距离 d= .|-k+ 3|(2k)2+(-2)2直线 l 被圆 O 截得的弦长
11、为 ,d 2+ =1.3 (32)2 = ,解得 k= ,|-k+ 3|(2k)2+(-2)212 33此时直线 l 的方程为 x- y+1=0.3所求直线 l 的方程为 x= 或 x- y+1=0.12 3(2)设点 P 的坐标为(x,y),由题意,易得点 A 的坐标为(-1,0),点 B 的坐标为(0,1).由 PA= PO,可得2= ,化简可得(x-1) 2+y2=2.(x+1)2+y2 2 x2+y25点 P 在圆 B 上,|r- | r+ .又 r0,0r2 .2 (1-0)2+(0-1)2 2 2所求 r 的取值范围是 0r2 .2(3)M(x 1,y1),则 M1(-x1,-y1),M2(x1,-y1).直线 QM1的方程为 y+y1= (x+x1).y2+y1x2+x1令 x=0,则 m= .同理可得 n= .x1y2-x2y1x1+x2 x1y2+x2y1x1-x2mn= = = =1.x1y2-x2y1x1+x2 x1y2+x2y1x1-x2 (x1y2)2-(x2y1)2x21-x22 x21(1-x22)-x22(1-x21)x21-x22mn 为定值 1.
