1、1第 9 讲 立体几何的综合问题1.已知 p:x2-2x-30b .344.答案 18解析 过点 A 作 CD 的垂线 AE,垂足是 E,设EAD=,EAC=,BD=xm,则 tan= ,tan= ,tan459x 6x=tan(+)= = =1,解得 x=18(舍负),即 BD=18m.tan +tan1-tan tan 9x+6x1-54x25.答案 6解析 解法一:由| - |=| - |得| |=| |,则点 N 在线段 AM 的垂直平分线上,取 AM 的中点 E,则ABNB AMAN AN NMENAM.又 = + ,则| |2= =| |2+ + | |2=4+24 + 16=12
2、,所AMAD12AB AM (AD+12AB)2 AD ADAB14AB 1214以 = ( + )= = | |2=6.AMANAM AEENAMAE12AM解法二:以点 A 为坐标原点,AB 所在直线为 x 轴,过点 A 且垂直于 AB 的直线为 y 轴,建立平面直角坐标系,则D(1, ),M(3, ),线段 AM 的垂直平分线方程为 y=- x+2 ,由| - |=| - |得| |=| |,则点3 3 3 3 ABNB AMAN AN NMN 在线段 AM 的垂直平分线上,设 N(x,y),则 =3x+ y=6.AMAN 36.答案 14解析 分别延长 BF,AD 交于点 O,由题设,
3、得 DO=BC=AD.又BEAO,AHHE=AOBE=31, = = ( + )= ( + )= + = a+ b.AH34AE34ABBE34AB23BC34AB12AD34 12又 =xa+xb(x,yR),a 与 b 不共线,AHx= ,y= ,x-y= - = .34 12 34121447.证明 (1)连接 PE,因为 G、F 分别为 EC 和 PC 的中点,FGPE.又 FG平面 PBD,PE平面 PBD,所以 FG平面 PBD.(2)因为四边形 ABCD 是菱形,所以 BDAC,又 PA平面 ABCD,BD平面 ABCD,所以 BDPA,因为 PA平面PAC,AC平面 PAC,且
4、 PAAC=A,BD平面 PAC,FG 平面 PAC,BDFG.8.解析 (1)由已知得 SBCD = BCBDsinB= ,又 B= ,BC=2,BD= .12 33 3 23在BCD 中,由余弦定理得 CD2=BC2+BD2-2BCBDcosB= ,CD= .289 273(2)在CDE 中, = .CDsinDECDEsinDCEAD=DC,A=DCE,CD=AD= = .在BCD 中 = ,DEsinA 62sinA BCsinBDCCDsinB又BDC=2A, = ,2sin2A CDsin 3CD= ,3sin2ACD= = ,解得 cosA= ,所以 A= . 62sinA 3sin2A 22 4
