1、11.5估计总体的数字特征【教材分析】1. 本节课是数学必修 3的第一章统计中5.2 第二课时，教科书通过现实生活的例子，使学生认识到：只用样本的分布估计总体的分布是不够的，还需要用描述样本数据离散程度的特征量作为必要的、有益的补充，也就是只有把二者结合起来，才能通过对样本数据的研究来比较全面地认识和估计总体，进而使我们能从整体上更好地把握总体的规律、对总体作出合理的推断与决策，初步体会、领悟“用数据说话”的统计思想方法，这种技能已经成为一个未来公民的必备常识. 2. 根据新课标的理念，我们应该是“用教材，而不是“教”教材” ，应该是创造性地开发教材，教材只是一个载体，需要我们教师去挖掘、去创
2、造，教学过程是一个再创造的过程，是对课程的不断发展、不断丰富的过程，教师应当根据学情的需要对教材进行调适和重组. 鉴于此，我在处理这堂课时，没有按照教材中的内容照本宣科，而是进行了整合与拓展，参考有关资料，补充了相关知识，使学生开阔了眼界，从课后学生的反应来看，效果较好.【学情分析】本节课是在学生学习了频率分布分布表、频率分布直方图、频率分布折线图、用样本的分布估计总体分布的基础上，来学习用样本的数字特征估计总体的数字特征；在已知样本数据的情况下，会用样本的数字特征估计总体的数字特征；及在已知频率分布直方图的前提下，利用频率分布直方图估计总体的众数、中位数、平均数，这是一种近似估计，它主要是由
3、于在绘制好直方图后就已经不再显示原始数据的缘故；同时学会将二者结合起来，通过对样本频率分布直方图、样本数据的研究来比较全面地认识和估计总体，进而使我们能从整体上更好地把握总体的规律、对总体作出合理的推断与决策，进一步体会、领悟“用数据说话”的统计思想方法，让学生经历探究过程，进一步提高科学探究的能力，促进科学素养的形成与发展.本节课的样本的数字特征学生在初中和第四节中就有所接触，只是当时学的叫做数据的数字特征，这时只要将这一组数据看成是从总体中随机抽取的一个样本就可以了，所以只是个别内容有所加深和拓展，学生较易接受，符合学生的认知水平.【三维目标】知识与技能21.会计算数据的平均数和标准差，正
4、确理解样本数据标准差的意义和作用；能利用频率分布直方图估计总体的数字特征； 2.能根据实际问题的需要合理地选择样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差等） ，并作出合理的解释；3.会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，树立对数据处理过程进行初步评价的意识.过程与方法 1.会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题，认识统计的作用； 2.在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法.情感、态度与价值观通过对数据的收集、整理、分析、判断等操作过程的体验，培养学生的数字处理能力、“实事求是”的科学态度和严谨
5、的治学作风.【重点难点】重点： 1.平均数的计算，标准差的意义与计算方法 2.根据实际问题的需求，从样本数据中提取基本的数字特征并作出合理解释，以此来估计总体的数字特征；体会样本数字特征具有随机性；难点： 1.用样本平均数和标准差估计总体的平均数和标准差；2.根据实际问题的需求，从样本数据、频率分布直方图中提取基本的数字特征并作出合理解释，并能运用相关知识解决简单的实际问题.【教学方法】探究发现法、读书指导法、启发式讲练结合法【课前准备】学生准备好计算器；完成导学案 ；教师制作好课件，画图工具【教学过程】一、自主复习有关内容用样本估计总体的两种情况：用样本 估计总体的分布；用样本 估计总体的数
6、字特征.复习4 数据的数字特征有关概念31. 平均数： 2. 中位数： 3. 众数：4. 极差：5. 方差： 6. 标准差： 二、预习检测课前检查导学案完成情况.重点检查：第 2， 4题.幻灯片 1 设计意图让学生回忆并整理在初中和前几节学习的样本的数据特征及样本的频率分布直方图中积累的相关学习经验，并特别时刻牢记：在样本的频率分布直方图中，每个小矩形的面积与相应频率的关系；全体小矩形的面积之和等于相应区间上的频率之和，其值为 ，1为新课中讲解例 3 做好准备 .在学生说出答案的同时，要求学生认真审题、阐明解题思路、规范答题，把规范修炼成习惯，把认真内化为性格.幻灯片 1 （学案上的第 2 题
7、）在样本的频率分布直方图中，共有 个小长方形，若其中某一个9长方形的面积等于其余 个小长8方形面积之和的 ，且样本容量4为 ，则此长方形所在的这一50组的频数为 . 西安市积极开展校本研修，高一年级数学备课组在第一学期末利用专题讲座的形式对高一年级全体同学进行了一次“小题小做” 数学选择题的求解策略专项培训，此后为了检查培训效果，从全体学生中随机抽取了 名进行了检测，试题10由 道选择题组成，每题 分，25成绩统计如下表：分数 55 65 75 85 95人数 5 40 30 20 5试求其平均成绩.幻灯片 2 设计意图在学生熟记样本平均数计算公式的基础上，会求该题中的平均成绩即加权平均数：
8、nmxxmk21在此基础上通过式子的变形、引伸，得到： kkpxxpn 21其中： ，iinm,1引导学生运用统计学语言表述式子 kpxxp21的统计学意义，启发学生发现新知特点、归纳新知，展示知识自然产生的过程，增强学习的主动性，提高学习效率，为新课中求解“样本的频率分布直方图与样本的数字特征的综合题”做好铺垫；同时，这也为以后理科学生学习离散型随机变量的分布列、数学期望与方差埋下伏笔，做好前期的知识储备，学生到时候会感到相关的公式水到渠成、顺理成章.学生活动 1出示各自的导学案 ，小组讨论并与同学们一起订正导学案上课前要求完成的题目，并将自己作出的结果与同伴作比较、鉴别正误，发挥同学间的相
9、互促进作用，达到合作探究、共同提高的目的.学生活动 2重点出示导学案上的第 2,4题，并让两位同学板演，以便教师发现问题，及时予以修正；同时做好第 4 题的拓展与延伸，为新课中讲解例 3 做好铺垫.4三、导入新课1.复习回顾对一个未知总体，我们常用样本的频率分布估计总体的分布，其中表示样本数据的频率分布的基本方法有哪些？频率分布表，频率分布直方图，频率分布折线图，茎叶图2.问题引入在日常生活中，我们往往并不需要了解总体的分布形态，而是更关心总体的某一数字特征，例如：买灯泡时，我们希望知道灯泡的平均使用寿命，我们怎样了解灯泡的寿命呢？当然不能把所有灯泡一一测试，因为测试后灯泡也报废了.于是，需要
10、通过随机抽样，把这批灯泡的寿命看作总体，从中随机抽取若干个个体作为样本，算出样本的数字特征，用样本的数字特征估计总体的数字特征-板书课题： 2.5估计总体的数字特征四、新课讲解1.基本概念 前面我们已经学习了如何用样本的频率分布估计总体的分布.同样，假设通过随机抽样得到的样本为 nxx,21 ，我们把 nxx 21i1和 2212xns n niix12分别称为样本平均数和样本标准差，用它们来分别估计总体的平均数和标准差.2.合作探究，新知应用例 1 有学生 名，在一次数学50测验后，采用随机抽样的方法从学生中，抽取了 名进行质量评估，其中：男同学 名，27女同学 名，男、女同学成绩23（满分
11、 分）统计如下表：10组别 平均分 中位数男同学 82 75女同学 80 80求这次测验中这 位同学的50平均分；估计全校成绩不超过 分的8同学至少有多少人？分析男同学的平均数与中位数相差较大的主要原因是什么？幻灯片 3 设计意图通过把具体例子引入课堂，吸引学生的注意力，引起学生关注.在学生熟记样本平均数计算公式的基础上，会求该题中的平均成绩，并在此基础上，会用样本平均数估计总体平均数，进一步体会用样本的数字特征来估计总体的数字特征的过程与方法.本题中的第二问，学生之前从未接触过，对学生来说是一个全新的挑战，从而引发学生的认知冲突，激发学生的学习兴趣，增强学习的主动性，通过教师适时点拨，学生的
12、独立思考、合作探究等教学环节，最终达成问题解决.针对第二问，启发学生积极思考；教师适时点拨，发挥教师在学生学习过程中的主导作用.5等待时间 min5,01， 50， 201， 5，频数 8 6 4例 2 数学课题研究小组在年 月份对西安市儿童医0173院门诊部挂号室关于病人等待挂号的时间进行了随机抽样调查，记录如下：试用上述分组资料来求病人平均等待时间的估计值 及平均等待时间标准差的x估计值 ；s为了更好地服务于病人，提高效率，请你“用数据说话” ，提出合理化的意见或建议，提示院方应怎样规定病人挂号等待的时间范围；如何采取措施，以缩短病人挂号的等候时间.幻灯片 4 设计意图统计学科，最大的特点
13、就是与现实生活的密切联系，也是新教材的一大亮点.把发生在学生身边的具体实例，引入课堂，使学生有一种亲近感、亲切感，易引起学生产生共鸣，引发学生探究的兴趣，原来数学还可以这样啊！并在学生熟记样本平均数计算公式及其变形形式的基础上，既懂算理，又懂算法，以事实为依据，会根据列表中给出的数据求该题中的平均等待时间；在此基础上， “用数据说话” ，给有关单位提出合理化的意见或建议，为领导层做出决策提供理论支持；同时使学生体会到：数学来源于生产、生活实际，又反过来为生产、生活实际服务，数学就在我们身边及学习数学知识的理论价值和应用价值.本题的第三问实际上是运用了统计学中假设检验的 ， ， 原则，学生在后续
14、课程的123学习中将会慢慢体会到这种原则的应用价值，这里点到为止，当然不便提及更多.幻灯片 5例 3 西安市中学从高三年级学生中抽取了名同学参加数学竞赛，根据成绩绘制得到0了如图所示的频率分布直方图.成 绩 组 距频 率 0 4 5 60 7 8 . 6 2. 3 1 4 910 由于一些数据丢失，试根据频率分布直方图求： 名学生成绩的众数与中位数；50这 名学生的平均成绩.幻灯片 5 设计意图本题是一道“已知样本频率分布直方图来求其数字特征”的综合性题目. 从以往的教学经验来看，这部分内容既是教学的重点、也是难点，有个别学生看到题目后，发现没有给出任何原始数据，往往感到无从下手，找不到切入点
15、，不会识图、不会用图、不会从图中筛选出有用的信息；因此，教师对题目的分析就显得尤为重要，这里应该对照图形、紧扣基本概念，通过对概念的剖析找到突破口，使学生在缺少原始数据的情况下，根据直方图来求数据的众数、中位数和平均数，提高学生的识图能力.这里平均数的求解也用到了“加权平均数”的变形形式，可见这种变形确实很有用.学生活动 3学生分小组探究、讨论，并展示各小组的讨论结果，互评；教师适当给予点评，使知识具有系统性、完整性.学生活动 4把发生在学生身边的具体实例，引入课堂，使学生有一种亲近感，亲切感，引起学生思维上产生共鸣，学生积极参与其中，自主学习，独立思考；合作探究、讨论，并展示讨论结果；教师适
16、当给予鼓励和点评，使知识更加系统、完整.学生活动 5本题是通过样本的频率分布直方图来估计数字特征，学生先在教师的启发引导下，澄清有关概念，自主学习，独立思考；再以小组讨论的形式进行交流、合作探究、讨论，达成共识；并以小组为单位展示讨论结果，进行组间互评；教师适当给予点评和总结，使学生学到的知识更加具有系统性和完整性.【注】如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值.在实际应用中，如果同时知道样本平均数和样本中位数，可以使我们了解样本数据中极端数据的信息，帮助我们作出决策.6六、随堂练习：见导学案七、小结用样本的数字特征估计总体的数字特征分
17、两类：【注】利用直方图求众数、中位数和平均数均是近似值，这是因为直方图只是直观地表明分布特征，而从直方图本身得不到原始数据的内容，所以由直方图得到的众数、中位数和平均数往往与实际得出的不一致，但它能粗略估计去众数、中位数和平均数.幻灯片 6例 4 华乐学校举行的一次科技知识竞赛，两组成绩统计如下表：分数 5078091甲组人数 21346乙组人数 4 4 621已经算得两组的平均分数都是 分，请根据80你学过的统计知识，进一步判断这两个组本次竞赛中的成绩哪组更好一些，并说明理由.幻灯片 6 设计意图该题不仅运用了统计的有关基础知识，还考查应用数学的意识，结论具有开放性，从众数、方差、中位数、高
18、分数段以及满分人数全方位进行综合分析、比较，作出判断.从而以此例为载培养学生的发散思维能力和优良的思维品质.成 绩 组 距频 率 0 4 5 60 7 8 . 6 2.03 1 4 910 求众数时用示意图成 绩 组 距频 率 0 5 0 7 8 . 2. 03 16 4 910 求中位数时用示意图学生活动 6该题是一道开放性题目，答案不唯一，只要符合实际数据就行.启发引导学生在澄清有关概念的基础上，自主发挥，灵活运用所学的知识，从众数、方差、中位数、高分数段以及满分人数的不同角度、全方位进行综合分析、比较，作出判断.先独立思考；再以小组讨论的形式各抒己见、进行交流、合作探究；并以小组为单位展
19、示讨论结果.期间，教师可适当给予点评和总结， “以数据说话”使学生达成共识.7用样本估计总体用样本的频率分布估计总体的分布用样本的数字特征估计总体的特征频率分布直方图频率折线图平均数、中位数、众数极差、方差、标准差用样本平均数估计总体平均数，平均数对数据有“取齐”作用，代表一组数据的平均水平；用样本标准差估计总体标准差.样本容量越大，估计就越精确，标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度.第 5节小结 用样本估计总体1.知识结构梳理2.一点说明：需要指出的 是，现实中的总体所包含的个体往往是很多的，总体的 平均数与标准差是不知道的.如何求得总体的平均数与标准差呢？通常的做法是：用样本的平均数与标准差去估计总体的平均数与标准差.这与前面第一节中用样本的频率分布来近似地代替总体分布是类似的.只要样本的代表性好，这样做就是合理的，也是可以接受的.
