1、- 1 -安平中学 2018-2019 学年上学期第五次月考高三数学试题（理）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分。考试时间 120 分钟第卷（选择题）1选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合 A=x|3x2，B=x|3 x1，则 A（ RB）=（ ）A（3，1 B（1，2） C（3，0 D1，2）2复数 的虚部为（ ）A B C D3为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生
2、视力情况差异不大在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ）A简单的随机抽样 B按性别分层抽样C按学段分层抽样 D系统抽样4根据如下样本数据：x 2 4 5 6 8y 20 40 60 70 80得到的回归直线方程为 =10.5x+a，据此模型来预测当 x=20 时，y 的值为（ ）A210 B210.5 C211.5 D212.5- 2 -5设公差不为零的等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a4=2（a 2+a3） ，则 =（ ）A B C7 D146已知双曲线 的渐近线为 ，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D7如图所示，某几何体的三视图外围是三个边长为 2 的正方形，则该几何体
3、的体积为（ ）A B C4 D8命题 p：若 ab，则 ac2bc 2；命题 q：x 00，使得 x01lnx 0=0，则下列命题为真命题的是（ ）Apq Bp（q） C （p）q D （p）（q）9O 为坐标原点，F 为抛物线 C：y 2=4x 的焦点，P 为 C 上一点，若OFP=120，S POF =（ ）A B2 C 或 D- 3 -10不等式组 表示的平面区域为 D，若对数函数 y=logax（a0，a1）的图象上存在区域 D 上的点，则实数 a 的取值范围是（ ）A1，3 B （0，1）（1，3 C3，+） D （ ，1）3，+）11ABC 的外接圆的圆心为 O，半径为 1，2 且
4、| |=| |，则向量 在向量方向上的投影为（ ）A B C D12如图，已知 AB 是圆 O 的直径，AB=2，点 C 在直径 AB 的延长线上，BC=1，点 P 是圆 O 上半圆上的动点，以 PC 为边作等边三角形 PCD，且点 D 与圆心分别在 PC 的两侧，记POB=x，将OPC 和PCD 的面积之和表示成 x 的函数 f（x） ，则 y=f（x）取最大值时 x 的值为（ ）A B C D第卷（非选择题）二填空题（共 4 题每题 5 分满分 20 分）13已知函数 f（x）= ，若 f（x）2，则 x 的取值范围是 14已知正四面体 ABCD 的棱长为 l，E 是 AB 的中点，过 E
5、 作其外接球的截面，则此截面面积的最小值为 - 4 -15椭圆 C： + =1（ab0）的右顶点为 A，经过原 点的直线 l 交椭圆 C 于 P、Q两点，若|PQ|=a，APPQ，则椭圆 C 的离心率为 16已知数列a n满足 a1=1，且 ，且 nN *） ，则数列a n的通项公式为 三解答题：（解答题应写出必要的文字说明和演算步骤，17 题 10 分，18-22 每题 12 分)17已知函数 （1）求函数 y=f（x）在区间 上的最值；（2）设ABC 的内角 A、B 、C 的对边分别为 a、b、c，满足 ，f（C）=1，且sinB=2sinA，求 a、b 的值18某校拟在高一年级开设英语口
6、语选修课，该年级男生 600 人，女生 480 人按性别分层抽样，抽取 90 名同学做意向调查（I）求抽取的 90 名同学中的男生人数；（）将下列 22 列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为“该校高一学生是否愿意选修英语口语课程与性别有关”？愿意选修英语口语课程有效 不愿意选修英语口语课程 合计男生 25 女生 合计 35 附： ，其中 n=a+b+c+dP（K 2k 0） 0.10 0.050 0.025 0.010 0.005- 5 -k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.87919如 图，直四棱柱 ABCDA 1B1 C1D1的棱长
7、均为 2，BAD=60，M 为 BB1的中点，O l为上底面对角线的交点（）求证：O 1M平面 ACM；（）求 AD1与平面 ADM 所成角的正弦值20已知圆 P：（x1） 2+y2=8，圆心为 C 的动圆过点 M（1，0）且与圆 P 相切（1）求动圆圆心的轨迹方程；（2）若直线 y=kx+m 与圆心为 C 的轨迹相交于 A，B 两点，且 kOAkOB= ，试判断AOB 的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由 （O 为坐标原点）21已知椭圆 C： + =1（ab0）的长轴长为 2 ，右焦点 F（1，0） ，过 F 作两条互相垂直的直线分别交椭圆 G 于点 A，B 和 C，D
8、，设 AB，CD 的中点分别为 P，Q（）求椭圆 G 的方程；（）若直线 AB，CD 的斜率均存在，求 的最大值，并证明直线 PQ 与 x 轴交于定点- 6 -22已知函数 f（x）= （1）求曲线 y=f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程；（2）求函数 f（x）的零点和极值；（3）若对任意 x1，x 2a，+） ，都有 f（x 1）f（x 2） 成立，求实数 a 的最小值- 7 -高三数学答案理1-12 CACCC CDCAB AA13.（，21，4 14.15.16.an=17.解：（1）= +sin2xcos 2x= ，2x ，f（x）在 2x = ，即 x= 时，取最小值 ；在
9、2x = 时，即 x= 时，取最大值 1；（2）f（C）=sin（2C ）=1，0C，02C2， ，则 ，C= - 8 -sinB=2sinA ，由正弦定理得：b=2a，由余弦定理得： ，即 c2=a2+b2ab=3，解得：a=1，b=218.解：（I）该校高一年级的男、女生比为 600：480=5：4，所以，按分层抽样，男生应抽取的人数是 90 =50（名） ；（）填写 22 列联表，如下；愿意选修英语口语课程有效 不愿意选修英语口语课程 合计男生 25 25 50女生 30 10 40合计 55 35 90则 K2= = 5.8445.024，所以，在犯错误的概率不超过 0.025 的前提
10、下认为“该校高一学生是否愿意选修英语口语课程与性别有关” 19.证明：（）连接 AO1，CO 1，直四棱柱所有棱长均为 2，BAD=60，M 为 BB1的中点，O 1B1=1 ，B 1M=BM=1，O 1A1= ，O 1M2=O1B12+B1M2=2，AM 2=AB2+BM2=5，O 1A2=O1A12+A1A2=7，O 1M2+AM2=O1A2，O 1MAM- 9 -同理：O 1MCM，又CMAM=M，AM平面 ACM，CM 平面 ACM，O 1M平面 ACM（）连结 BD 交 AC 于点 O，连接 OO1，以 O 为坐 标原点，OA，OB，OO 1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立
11、空间直角坐标系Oxyz，则 A（ ，0，0） ，D（0，1，0） ，D 1（0，1，2） ，M（0，1，1） ， =（ ，1，2） ， =（ ，1，0） ， =（0，2，1） ，设平面 ADM 的一个法向量 =（x，y，z） ，则 ， 令 x=1，得 =（1， ，2 ） ， =4 ，| |=4，| |=2 ，cos ， = = ，A D1与平面 ADM 所成角的正弦值为 20.解：（）椭圆 C： + =1（ab0）的长轴长为 2 ，右焦点 F（1，0） ， ，解得 a= ，b= ，- 10 -椭圆 G 的方程为 =1（）F（1，0） ，由题意设直线 AB 的方程为 y=k（x1） ，k0，由
12、，得（3k 2+2）x 26k 2x+3k26=0，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 ，y 1+y2=k（x 1+x2）2k= ，AB 的中点 P（ ， ） ，又由题意得直线 CD 的方程为 y= ，同理，得 CD 的中点 Q（ ） ， = = = ，当且仅当 ，即 k=1 时， 有最大值 又当直线 PQx 轴时， = ，即 k=1 时，直线 PQ 的方程为 x= ，恒过定点（ ，0） ，- 11 -当直线有斜率时，k PQ= = ，直线 PQ 的方程为 y ，令 y=0，得 x= = = ，恒过定点（ ） ，综上，直线 PQ 恒过定点（ ） 21.解：（1）函数 f（x
13、）= 的导数为 f（x）= ，可得在点（0，f（0） ）处的切线斜率为2，切点为（0，1） ，即有切线的方程为 y=2x+1；（2）由 f（x）=0，可得 x=1，即零点为 1；由 x2 时，f（x）0，f（x）递增；当 x2 时，f（x）0，f（x）递减可得 x=2 处，f（x）取得极小值，且为 ，无极大值；22.解 ：（1）依题意，直线 AB 的斜率存在，设直线 AB 的方程为 y=k（x+1），将 y=k（x+1）代入 ，消去 y 整理得 ， 设 ，- 12 -则 由线段 AB 中点的横坐标是 ，得 ，解得 ，适合，所以直线 AB 的方程为 或 ；（2）假设在 x 轴上存在点 M（m，0），使 为常数，（）当直线 AB 与 x 轴不垂直时，由（1）知， ， 所以，将代入，整理得，注意到 是与 k 无关的常数，从而有 ，此时 ；（）当直线 AB 与 x 轴垂直时，此时点 A、B 的坐标分别为 ，当 时，亦有 ；- 13 -综上，在 x 轴上存在定点 ，使 为常数。
