1、1第二课时 最值与范围问题考向一 圆锥曲线中的最值问题【典例】 已知点 A(x1， y1)， B(x2， y2)是抛物线 y24 x上相异两点，且满足x1 x22(1)若 AB的中垂线经过点 P(0,2)，求直线 AB的方程；(2)若 AB的中垂线交 x轴于点 M，求 AMB的面积的最大值及此时直线 AB的方程思路分析看到：求直线方程和最值问题总体设计想到：直线方程的几种形式及构建关于面积函数，转化为函数最值问题解题指导(1)设出直线 AB的方程并代入抛物线方程，结合根与系数关系求解 AB的斜率；(2)以三角形面积为突破口建立关于面积的函数，通过利用导数求面积最大值，解得直线斜率，从而求出直线
2、方程.规范解答 (1)当 AB垂直于 x轴时，显然不符合题意；所以可设直线 AB的方程为y kx b， 1分代入方程 y24 x得： k2x2(2 kb4) x b20， x1 x2 2，得 b k，4 2kbk2 2k直线 AB的方程为 y k(x1) ， 3分2k AB中点的横坐标为 1， AB中点的坐标为 ，(1，2k) AB的中垂线方程为y (x1) x ， 41k 2k 1k 3k分 AB的中垂线经过点 P(0,2)，故 2，得 k ，3k 32直线 AB的方程为 y x . 5分32 162(2)由(1)可知 AB的中垂线方程为 y x ，1k 3k M点的坐标为(3,0)， 6分
3、直线 AB的方程为 k2x ky2 k20， M到直线 AB的距离 d ， 7分|3k2 2 k2|k4 k2 2k2 1|k|由Error! 得 y2 ky2 k20，k24 y1 y2 ， y1y2 ， 8分4k 8 4k2k2|AB| |y1 y2| ， 9分1 1k2 41 k2k2 1k2 S MAB4 ，(11k2) 1 1k2设 t，则 0b0)上的三点，其中点 A的坐标为(2x2a2 y2b2， 0)， BC过椭圆的中心，且 OCA90，| BC|2| AC|3(1)求椭圆 M的方程；(2)过点(0， t)的直线(斜率存在)与椭圆 M交于 P、 Q两点，设 D为椭圆与 y轴负半
4、轴的交点，且| DP| DQ|，求实数 t的取值范围解 (1)| BC|2| AC|且 BC过点(0,0)，则| OC| AC| OCA90， C( ， )3 3由题意知 a2 ，3则椭圆 M的方程为 1，x212 y2b2将点 C的坐标代入得 1，解得 b24312 3b2椭圆 M的方程为 1x212 y24(2)设过点(0， t)的直线的斜率为 k，当 k0 时，显然20可得， t2412 k2.设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)， PQ的中点为 H(x0， y0)，则 x0 ， y0 kx0 t ，x1 x22 3kt1 3k2 t1 3k26 H ( 3kt1 3k2， t1
5、 3k2)| DP| DQ|， DH PQ，即 kDH 1k ，化简得 t13 k2，t1 3k2 2 3kt1 3k2 0 1k由得，1 t4. 综上， t(2,4)技法总结 圆锥曲线中取值范围问题的 5种常用解法(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围变式提升3已知椭圆
6、C： 1( a b0)的离心率为 ，且以原点为圆心，椭圆的焦距为x2a2 y2b2 22直径的圆与直线 xsin ycos 10 相切( 为常数)(1)求椭圆 C的标准方程；(2)若椭圆 C的左、右焦点分别为 F1， F2，过 F2作直线 l与椭圆交于 M， N两点，求 的取值范围F1M F1N 解 (1)由题意，得Error!Error!故椭圆 C的标准方程为 y21x22(2)由(1)得 F1(1,0)， F2(1,0)若直线 l的斜率不存在，则直线 l x轴，直线 l的方程为 x1，不妨记M ， N ，(1，22) (1， 22) ， ，故 F1M (2， 22) F1N (2， 22)
7、 F1M F1N 72若直线 l的斜率存在，设直线 l的方程为 y k(x1)，由Error! 消去 y得，(12 k2)x24 k2x2 k220，7设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2 4k21 2k2 2k2 21 2k2( x11， y1)， ( x21， y2)，F1M F1N 则 ( x11)( x21) y1y2F1M F1N ( x11)( x21) k(x11) k(x21)(1 k2)x1x2(1 k2)(x1 x2)1 k2，代入可得 1 k2 ，F1M F1N 2 k4 12k2 1 4k2 4k42k2 1 7k2 12k2 1 72922k2 1由 k20 可得 F1M F1N 1， 72)综上， F1M F1N 1， 72
