1、1中档大题保分练(05)(满分：46 分 时间：50 分钟)说明：本大题共 4 小题，其中第 1 题可从 A、B 两题中任选一题； 第 4 题可从 A、B 两题中任选一题. 共 46 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤1(A)(12 分)已知正项数列 an的前 n 项和 Sn满足： a1an S1 Sn(1)求数列 an的通项公式；(2)令 bn ，求数列 bn的前 n 项和 Tn1nlog2 4an解：(1)由已知 a1an S1 Sn，可得当 n1 时， a a1 a1，21可解得 a10，或 a12，由 an是正项数列，故 a12当 n2 时，由已知可得 2an2 Sn,2an1
2、2 Sn1 ，两式相减得，2( an an1 ) an.化简得 an2 an1 ，数列 an是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，故 an2 n数列 an的通项公式为 an2 n(2) bn ，代入 an2 n化简得 bn ，1nlog2 4an 1n n 2 12(1n 1n 2)其前 n 项和 Tn 12(1 13) (12 14) (13 15) (1n 1n 2) 12(1 12 1n 1 1n 2) 34 2n 32 n 1 n 21(B)(12 分)(2018北京顺义区二模)在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为a， b， c.已知 b c， a6， b5， ABC
3、 的面积为 9(1)求 cos C 的值；(2)求 c 及 sin B 的值解：(1)因为 ABC 的面积 S absin C，12所以 65sin C9，所以 sin C 12 35因为 b c，所以 cos C 45(2)在 ABC 中，由余弦定理得c2 a2 b22 abcos C13，所以 c .又因为 b5，sin C ，13352所以在 ABC 中，由正弦定理得 sin B bsin Cc 313132(12 分)如图，三棱锥 DABC 中， AB2， AC BC ， ADB 是等边三角形且以 AB2为轴转动(1)求证： AB CD；(2)当三棱锥 DABC 体积最大时，求它的表面
4、积(1)证明：取 AB 的中点 H，连接 DH， CH，Error!Error!AB CD(2)解： V S ABCh 1h ，13 13 h3若 V 最大，则 h 最大平面 ADB平面 ABC此时 S 表 S ABC S ADB S ACD S BCD1 3 73(12 分)距离 2019 年全国普通高等学校统一招生考试已不足一个月，相信考生们都已经做了充分的准备，进行最后的冲刺高考的成绩不仅需要平时的积累，还与考试时的状态有关系为了了解考试时学生的紧张程度，对某校 500 名学生进行了考前焦虑的调查，结果如下：男 女 总计正常 30 40 70焦虑 270 160 430总计 300 20
5、0 500(1)根据该校调查数据，能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下，认为“该学校学生的考前焦虑情况”与“性别”有关？(2)若从考前正常的学生中按性别用分层抽样的方法抽取 7 人，再从被抽取的 7 人中随机抽取 2 人，求这两人中有女生的概率3附： K2 ， n a b c d.n ad bc 2 a b c d a c b dP(K2 k0) 0.258 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010k0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635解：(1)假设该学校学生的考前焦虑与性别无关，K2 9.9676.635，500 30160 2704
6、0 243070300200 3 000301在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下，该学校学生的考前焦虑情况与性别有关(2)男生、女生分别抽取 3 人，4 人记为 A1， A2， A3， B1， B2， B3， B4 基本事件为：A1A2， A1A3， A1B1， A1B2， A1B3， A1B4， A2A3， A2B1， A2B2， A2B3， A2B4， A3B1， A3B2， A3B3， A3B4，B1B2， B1B3， B1B4， B2B3， B2B4， B3B4满足条件的有：A1B1， A1B2， A1B3， A1B4， A2B1， ， A2B2， A2B3， A2B4， A3B
7、1， A3B2， A3B3， A3B4， B1B2， B1B3， B1B4， B2B3， B2B4， B3B4 P mn 1821 674(A)(10 分)选修 44：坐标系与参数方程已知平面直角坐标系 xOy 中，过点 P(1，2)的直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 sin tan 2 a(a0)，直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 M， N(1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程；(2)若| PM| MN|，求实数 a 的值解：(1)Error!( t 为参数)直线 l 的
8、普通方程为 x y10 sin tan 2 a， 2sin2 2 a cos ，由Error! 得曲线 C 的直角坐标方程为 y22 ax(2) y22 ax， x0，设直线 l 上的点 M， N 对应的参数分别是 t1， t2(t10， t20)，则| PM| t1，| PN| t2，| PM| MN|，| PM| |PN|， t22 t1，12将Error! 代入 y22 ax，得 t22 (a2) t4( a2)0，2Error!4又 t22 t1， a 144(B)(10 分)选修 45：不等式选讲已知函数 f(x)| x2|(1)解不等式 2f(x)4| x1|；(2)已知 m n1
9、( m0， n0)，若关于 x 的不等式| x a| f(x) 恒成立，求实1m 1n数 a 的取值范围解：(1)不等式 2f(x)4| x1|等价于 2|x2| x1|4，即Error!或Error! 或Error!解得 或 x|2 x1或 ，x|73 x 2所以不等式的解集为 x|73 x 1(2)因为| x a| f(x)| x a| x2| x a x2| a2|，所以| x a| f(x)的最大值是| a2|，又 m n1( m0， n0)，于是 (m n) 2224，(1m 1n) nm mn 的最小值为 41m 1n要使| x a| f(x) 的恒成立，则| a2|4，解此不等式得6 a2.所以实数1m 1na 的取值范围是6,2
