1、1中档大题保分练(03)(满分：46 分 时间：50 分钟)说明：本大题共 4 小题，其中第 1 题可从 A、B 两题中任选一题； 第 4 题可从 A、B 两题中任选一题. 共 46 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤1(A)(12 分)在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 cos Ccos Acos B2cos Asin B(1)求 tan A；(2)若 b2 ， AB 边上的中线 CD ，求 ABC 的面积5 17解：(1)由已知得 cos Ccos Acos Bcos( A B)cos Acos Bcos( A B)cos Acos Bsin As
2、in B，所以 sin Asin B2cos Asin B因为在 ABC 中，sin B0，所以 sin A2cos A，则 tan A2(2)由(1)得，cos A ，sin A ，55 255在 ACD 中， CD2 b2 22 b cos A，(c2) c2代入条件得 c28 c120，解得 c2 或 6当 c2 时， S ABC bcsin A4；12当 c6 时， S ABC121(B)(12 分)(2018南充诊断)已知数列 an的前 n 项和 Sn2 an2(1)证明： an是等比数列，并求其通项公式；(2)求数列 的前 n 项和 Tnn 1an(1)证明：当 n1 时， a12
3、.由 Sn2 an2， Sn1 2 an1 2 得 an1 2 an1 2 an，即an1 2 an，所以 2，所以数列 an是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，于是 an2 nan 1an(2)解：令 bn ，n 1an n 12n则 Tn ， 221 322 423 n 12n ，得 Tn ， 12 12 222 323 424 n2n n 12n 1得 Tn1 12 122 123 12n n 12n 12 1212(1 12n)1 12 n 12n 1 32 n 32n 1所以 Tn3 n 32n2(12 分)在如图所示的多面体 ABCDE 中， AB平面 ACD， DE平面 AC
4、D，且AC AD CD DE2， AB1(1)请在线段 CE 上找到点 F 的位置，使得恰有直线 BF平面 CDE，并证明；(2)在(1)的条件下，求多面体 ABCDF 的体积解：(1) F 为线段 CE 的中点证明如下：由已知 AB平面 ACD， DE平面 ACD， AB ED，设 H 是线段 CD 的中点，连接 FH，则 FH DE，且 FH DE12 12 AB DE，且 AB DE，12 12四边形 ABFH 是平行四边形， BF AH AH CD， AH DE， CD DE D， AH平面 CDE， BF平面 CDE(2) VABCDF VABCD VFBCD VBACD VBCDF
5、 S ACDAB S CDFAH ，13 13 33 33 233多面体 ABCDF 的体积为 2333(12 分)近年来，随着我国汽车消费水平的提高，二手车行业得到迅猛发展，某汽车交易市场对 2017 年成交的二手车交易前的使用时间(以下简称“使用时间”)进行统计，得到频率分布直方图如图 13图 1(1)记“在 2017 年成交的二手车中随机选取一辆，该车的使用年限在(8,16”为事件A，试估计 A 的概率；(2)根据该汽车交易市场的历史资料，得到散点图如图 2，其中 x(单位：年)表示二手车的使用时间， y(单位：万元)表示相应的二手车的平均交易价格图 2由散点图看出，可采用 ye a b
6、x作为二手车平均交易价格 y 关于其使用年限 x 的回归方程，相关数据如下表 ；(表 中 Yi ln yi， Y 11010i IYi)x y Y iyi10i 1x iYi10i 1x10i 1x2i5.5 8.7 1.9 301.4 79.75 385根据回归方程类型及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；该汽车交易市场对使用 8 年以内(含 8 年)的二手车收取成交价格 4%的佣金，对使用时间 8 年以上(不含 8 年)的二手车收取成交价格 10%的佣金在图 1 对使用时间的分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值若以 2017 年的数据作为决策依据，计算该汽车交易市场对成交的每辆
7、车收取的平均佣金附注：对于一组数据( u1， v1)，( u2， v2)，( un， vn)，其回归直线 v u 的4斜率和截距的最小二乘估计分别为 ， ni 1uivi nu v ni 1u2i nu 2 v u 参考数据：e 2.9519.1，e 1.755.75，e 0.551.73，e 0.65 0.52，e 1.85 0.16解：(1)由频率分布直方图得，该汽车交易市场 2017 年成交的二手车使用时间在(8,12的频率为 0.0740.28，在(12,16的频率为 0.0340.12，所以 P(A)0.280.120.40(2)由 ye a bx得 ln y a bx，即 Y 关于
8、 x 的线性回归方程为 a bx，Y 因为 0.3，b 10i 1xiYi 10x Y 10i 1x2i 10x 2 79.75 105.51.9385 105.52 1.9(0.3)5.53.55，a Y b x 所以 Y 关于 x 的线性回归方程为 3.550.3 x，Y 即 y 关于 x 的回归方程为 e 3.550.3 xy 根据中的回归方程 e 3.550.3 x和图 1，对成交的二手车可预测：y 使用时间在(0,4的平均成交价格为 e3.550.32 e 2.9519.1，对应的频率为 0.2；使用时间在(4,8的平均成交价格为 e3.550.36 e 1.755.75，对应的频率
9、为 0.36；使用时间在(8,12的平均成交价格为 e3.550.310 e 0.551.73，对应的频率为 0.28；使用时间在(12,16的平均成交价格为 e3.550.314 e 0.65 0.52，对应的频率为0.12；使用时间在(16,20的平均成交价格为 e3.550.318 e 1.85 0.16，对应的频率为0.04；所以该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为：(0.219.10.365.75)4%(0.281.730.120.520.040.16)10%0.29 0920.29 万元4(A)(10 分)选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中，曲线
10、C1的参数方程为Error!( a b0， 为参数), 在以 O为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2是圆心在极轴上，且经过极点的圆已知曲线 C1上的点 M 对应的参数 ，射线 与曲线 C2交于点 D (1，32) 3 3 (1， 3)5(1)求曲线 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程；(2)若点 A( 1， )， B 在曲线 C1上，求 的值( 2， 2) 1 21 1 2解：(1)将 M 及对应的参数 (1，32) 3代入曲线 C1的参数方程Error!得Error!解得Error!所以 C1的普通方程为 y21，x24设圆 C2的半径 R，则圆 C2的方程为 2 Rco
11、s (或( x R)2 y2 R2)，将点 D代入得： R1，圆 C2的方程为： 2cos ，化为直角坐标方程 x2 y22 x，(1， 3)即( x1) 2 y21(2) A( 1， )， B 均在曲线 C1上，( 2， 2) ( 1sin )21， ( 2cos )21 1cos 24 2sin 24所以 1 1 21 1 2 (cos24 sin2 ) (sin24 cos2 ) 14 544(B)(10 分)选修 45：不等式选讲已知函数 f(x)| x3| x4|(1)求 f(x) f(4)的解集；(2)设函数 g(x) k(x3)( kR)，若 f(x) g(x)对 x R 成立，
12、求实数 k 的取值范围解：(1) f(x)| x3| x4|， f(x) f(4)，即| x3| x4|9，Error! 或Error! 或Error! 解不等式： x5；：无解；： x4，所以 f(x) f(4)的解集为 x|x5 或 x4(2)f(x) g(x)即 f(x)| x3| x4|的图象恒在 g(x) k(x3)， kR 图象的上方，可以作出 f(x)| x3| x4|Error!的图象，6而 g(x) k(x3)， kR 图象为恒过定点 P(3,0)，且斜率 k 变化的一条直线，作出函数 y f(x)， y g(x)图象如图，其中 kPB2，可求： A(4,7)， kPA1，由图可知，要使得 f(x)的图象恒在 g(x)图象的上方，实数 k 的取值范围为1 k2
