1、12.1 比较法一、教学目标1理解比较法证明不等式的依据2掌握利用比较法证明不等式的一般步骤3通过学习比较法证明不等式,培养对转化思想的理解和应用二、课时安排1 课时三、教学重点掌握利用比较法证明不等式的一般步骤四、教学难点通过学习比较法证明不等式,培养对转化思想的理解和应用五、教学过程(一)导入新课已知 a b0,求证:2 a3 b32 ab2 a2b.【证明】 2 a3 b3(2 ab2 a2b)2 a(a2 b2) b(a2 b2)( a2 b2)(2a b)( a b)(a b)(2a b)因为 a b0,所以 a b0, a b0,2 a b0,从而( a b)(a b)(2a b)
2、0,即 2a3 b32 ab2 a2b.(二)讲授新课教材整理 1 作差比较法1理论依据: a b ; a ba b0; a b .2定义:要证明 a b,转化为证明 ,这种方法称为作差比较法3步骤: ;变形; ;下结论教材整理 2 作商比较法1理论依据:当 b0 时, a b ; a b 1; a b 1.ab ab2定义:证明 a b(b0),只要转化为证明 ,这种方法称为作商比较法3步骤:作商;变形;判断商与 1 大小;下结论(三)重难点精讲题型一、作商比较法证明不等式2例 1 已知 a0, b0 且 a b,求证: aabb( ab) .a b2【精彩点拨】 判 断 aabb与 aba
3、 b2 的 正 负 作 商 变 形 与 1比 较 大 小 下 结 论【自主解答】 a0, b0, aabb0,( ab) 0,a b2作商 aa b .aabbaba b2 a b2 b a b2 (ab) a b,当 a b0 时,1 且 0, 1,ab a b2 (ab)而( ab) 0, aabb( ab) .a b2a b2当 b a0 时,0 1 且 0, 1,ab a b2 (ab)而( ab) 0, aabb( ab) .a b2a b2综上可知 a0, b0 且 a b 时,有 aabb( ab) .a b2规律总结:1当不等式的两端为指数式时,可作商证明不等式2运用 a b
4、1 证明不等式时,一定注意 b0 是前提条件若符号不能确定,应ab注意分类讨论再练一题1已知 m, nR ,求证: .m n2 m nmnnm【证明】 因为 m, nR ,所以 ,m n2 mn m nmnm n2 3令 m n ,mnm n2 mnnmm n2n m2(mn)m n2则:当 mn0 时, 1, m n0,则 1.mn当 m n 时, 1.当 nm0 时,01.mn故对任意的 m, nR 都有 1.即 ,m nmnm n2m nmnnm所以 .m n2 m nmnnm题型二 、比较法的实际应用例 2 甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点,甲有一半时间以速度 m 行走,另一半
5、时间以速度 n 行走;乙有一半路程以速度 m 行走,另一半路程以速度 n 行走如果m n,问甲、乙二人谁先到达指定地点?【精彩点拨】 设从出发地点至指定地点的路程是 s,甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为 t1, t2,要回答题目中的问题,只要比较 t1, t2的大小就可以了【自主解答】 设从出发地点至指定地点的路程为 s,甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为 t1, t2,依题意有: m n s, t2.t12 t12 s2m s2n t1 , t2 ()s,2sm n t1 t2 ()n24()sn2sm n ()s.其中 s, m, n 都是正数,且 m n, t1 t20,即 t
6、1 t2,从而知甲比乙先到达指定地点规律总结:1应用不等式解决实际问题时,关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决,也即建立数学模型是解应用题的关键42在实际应用不等式问题时,常用比较法来判断数的大小关系若是选择题或填空题,则可用特殊值加以判断再练一题2通过水管放水,当流速相同时,如果水管截面(指横截面)的周长相等,试问:截面为圆的水管流量大还是截面为正方形的水管流量大?【解】 设截面的周长为 l,依题意知,截面是圆的水管的截面面积为 2,截(l2 )面是正方形的水管的截面面积为 .(l4)2 2)16l.(l2 )2 (l4)2 l24(1 14)由于 l0,04,2l0,
7、.(l2 )2 (l4)2 因此,通过水管放水,当流速相同时,如果水管的周长相等,那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大题型三、作差比较法例 3 已知 a, bR,求证: a2 b21 ab a b.【精彩点拨】 此不等式作差后是含有两个字母的二次式,既可配成平方和的形式,也可根据二次三项式的判别式确定符号【自主解答】 法一 a2 b2 ab a b1 (a b)2( a1) 2( b1) 20,12 a2 b21 ab a b.法二 a2 b2 ab a b1 a2( b1) a b2 b1,对于 a 的二次三项式, ( b1) 24( b2 b1)3( b1) 20. a2( b1)
8、 a b2 b10,故 a2 b21 ab a b.规律总结:1作差比较法中,变形具有承上启下的作用,变形 的目的在于判断差的符号,而不用考虑差值的多少2因式分解是常用的变形手段,为了便于判断“差式”的符号,常将“差式”变形为一个常数,或几个因式积的形式,当所得的“ 差式”是某字母的二次三项式时,可利用5“ ”判定符号再练一题3已知 a b c,证明: a2b b2c c2a ab2 bc2 ca2.【证明】 a2b b2c c2a ab2 bc2 ca2( a2b bc2)( b2c ab2)( c2a ca2) b(a2 c2) b2(c a) ac(c a)( a c)(ba bc b2
9、 ac)( a c)(a b)(b c) a b c, a c0, a b0, b c0,( a c)(a b)(b c)0,即 a2b b2c c2a ab2 bc2 ca2.(四)归纳小 结比较法Error!(五)随堂检测1设 t a2 b, s a b21,则下列 t 与 s 的大小关系中正确的是( )A t s B t s C t s D.t s【解析】 s t( a b21)( a2 b)( b1) 20, s t.【答案】 D2已知 a0 且 a1 , Plog a(a31), Qlog a(a21),则 P, Q 的大小关系是( )A P Q B P Q C P Q D.大小不确
10、定【解析】 P Qlog a(a31)log a(a21)log a .a3 12 1当 0 a1 时,0 a31 a21,则 0 1,a3 1a2 1log a 0,即 P Q0, P Q.a3 12 1当 a1 时, a31 a210, 1,a3 1a2 1log a 0,即 P Q0, P Q.a3 12 1综上总有 P Q,故选 A.【答案】 A3设 a, b, m 均为正数,且 ,则 a 与 b 的大小关系是_ba b ma m【解析】 ()0.b ma m ba6又 a, b, m 为正数, a(a m)0, m0,因此 a b0.即 a b.【答案】 a b六、板书设计2.1 比较法教材整理 1 作差比较法教材整 理 2 作商比较法例 1:例 2:例 3:学生板演练习七、作业布置同 步练习:2.1 比较法八、教学反思