1、12.1 比较法一、教学目标1理解比较法证明不等式的依据2掌握利用比较法证明不等式的一般步骤3通过学习比较法证明不等式，培养对转化思想的理解和应用二、课时安排1 课时三、教学重点掌握利用比较法证明不等式的一般步骤四、教学难点通过学习比较法证明不等式，培养对转化思想的理解和应用五、教学过程（一）导入新课已知 a b0，求证：2 a3 b32 ab2 a2b.【证明】 2 a3 b3(2 ab2 a2b)2 a(a2 b2) b(a2 b2)( a2 b2)(2a b)( a b)(a b)(2a b)因为 a b0，所以 a b0， a b0,2 a b0,从而( a b)(a b)(2a b)
2、0，即 2a3 b32 ab2 a2b.（二）讲授新课教材整理 1 作差比较法1理论依据： a b ； a ba b0； a b .2定义：要证明 a b，转化为证明 ，这种方法称为作差比较法3步骤： ；变形； ；下结论教材整理 2 作商比较法1理论依据：当 b0 时， a b ； a b 1； a b 1.ab ab2定义：证明 a b(b0)，只要转化为证明 ，这种方法称为作商比较法3步骤：作商；变形；判断商与 1 大小；下结论（三）重难点精讲题型一、作商比较法证明不等式2例 1 已知 a0， b0 且 a b，求证： aabb( ab) .a b2【精彩点拨】 判 断 aabb与 aba
3、 b2 的 正 负 作 商 变 形 与 1比 较 大 小 下 结 论【自主解答】 a0， b0， aabb0，( ab) 0，a b2作商 aa b .aabbaba b2 a b2 b a b2 (ab) a b，当 a b0 时，1 且 0， 1，ab a b2 (ab)而( ab) 0， aabb( ab) .a b2a b2当 b a0 时，0 1 且 0， 1，ab a b2 (ab)而( ab) 0， aabb( ab) .a b2a b2综上可知 a0， b0 且 a b 时，有 aabb( ab) .a b2规律总结：1当不等式的两端为指数式时，可作商证明不等式2运用 a b
4、1 证明不等式时，一定注意 b0 是前提条件若符号不能确定，应ab注意分类讨论再练一题1已知 m， nR ，求证： .m n2 m nmnnm【证明】 因为 m， nR ，所以 ，m n2 mn m nmnm n2 3令 m n ，mnm n2 mnnmm n2n m2(mn)m n2则：当 mn0 时， 1， m n0，则 1.mn当 m n 时， 1.当 nm0 时，01.mn故对任意的 m， nR 都有 1.即 ，m nmnm n2m nmnnm所以 .m n2 m nmnnm题型二 、比较法的实际应用例 2 甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度 m 行走，另一半
5、时间以速度 n 行走；乙有一半路程以速度 m 行走，另一半路程以速度 n 行走如果m n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？【精彩点拨】 设从出发地点至指定地点的路程是 s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为 t1, t2，要回答题目中的问题，只要比较 t1， t2的大小就可以了【自主解答】 设从出发地点至指定地点的路程为 s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为 t1, t2，依题意有： m n s， t2.t12 t12 s2m s2n t1 ， t2 ()s，2sm n t1 t2 ()n24()sn2sm n ()s.其中 s， m， n 都是正数，且 m n， t1 t20，即 t
6、1 t2，从而知甲比乙先到达指定地点规律总结：1应用不等式解决实际问题时，关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决，也即建立数学模型是解应用题的关键42在实际应用不等式问题时，常用比较法来判断数的大小关系若是选择题或填空题，则可用特殊值加以判断再练一题2通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面(指横截面)的周长相等，试问：截面为圆的水管流量大还是截面为正方形的水管流量大？【解】 设截面的周长为 l，依题意知，截面是圆的水管的截面面积为 2，截(l2 )面是正方形的水管的截面面积为 .(l4)2 2)16l.(l2 )2 (l4)2 l24(1 14)由于 l0,04，2l0，
7、.(l2 )2 (l4)2 因此，通过水管放水，当流速相同时，如果水管的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大题型三、作差比较法例 3 已知 a， bR，求证： a2 b21 ab a b.【精彩点拨】 此不等式作差后是含有两个字母的二次式，既可配成平方和的形式，也可根据二次三项式的判别式确定符号【自主解答】 法一 a2 b2 ab a b1 (a b)2( a1) 2( b1) 20，12 a2 b21 ab a b.法二 a2 b2 ab a b1 a2( b1) a b2 b1，对于 a 的二次三项式， ( b1) 24( b2 b1)3( b1) 20. a2( b1)
8、 a b2 b10，故 a2 b21 ab a b.规律总结：1作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形 的目的在于判断差的符号，而不用考虑差值的多少2因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“ 差式”是某字母的二次三项式时，可利用5“ ”判定符号再练一题3已知 a b c，证明： a2b b2c c2a ab2 bc2 ca2.【证明】 a2b b2c c2a ab2 bc2 ca2( a2b bc2)( b2c ab2)( c2a ca2) b(a2 c2) b2(c a) ac(c a)( a c)(ba bc b2
9、 ac)( a c)(a b)(b c) a b c， a c0， a b0， b c0，( a c)(a b)(b c)0，即 a2b b2c c2a ab2 bc2 ca2.（四）归纳小 结比较法Error!（五）随堂检测1设 t a2 b， s a b21，则下列 t 与 s 的大小关系中正确的是( )A t s B t s C t s D.t s【解析】 s t( a b21)( a2 b)( b1) 20， s t.【答案】 D2已知 a0 且 a1 ， Plog a(a31)， Qlog a(a21)，则 P， Q 的大小关系是( )A P Q B P Q C P Q D.大小不确
10、定【解析】 P Qlog a(a31)log a(a21)log a .a3 12 1当 0 a1 时，0 a31 a21，则 0 1，a3 1a2 1log a 0，即 P Q0， P Q.a3 12 1当 a1 时， a31 a210， 1，a3 1a2 1log a 0，即 P Q0， P Q.a3 12 1综上总有 P Q，故选 A.【答案】 A3设 a， b， m 均为正数，且 ，则 a 与 b 的大小关系是_ba b ma m【解析】 ()0.b ma m ba6又 a， b， m 为正数， a(a m)0， m0，因此 a b0.即 a b.【答案】 a b六、板书设计2.1 比较法教材整理 1 作差比较法教材整 理 2 作商比较法例 1：例 2：例 3：学生板演练习七、作业布置同 步练习：2.1 比较法八、教学反思
