1、13.2 一般形式的柯西不等式学习目标1.掌握三维形式和多维形式的柯西不等式2.会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题.一、自学释疑根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。二、合作探究探究 1如何理解柯西不等式的结构特征？探究 2在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为 ai kbi(i1,2,3， n)，可以吗？名师点拨：1.三维形式的柯西不等式三维形式的柯西不等式 可以对比二维形式的柯西不等式来理解和记忆，一般形式的柯西不等式又可以参照三维形式的柯西不等式来理解和推广，这样易于记忆不等式的结构特征，对不等式等号成立的条件加深理解2一般形式的柯西不等式定理称为柯西不等式
2、的一般形式，它主要用来证明不 等式和解决一些实际应用的最值问题在使用柯西不等式时需要掌握一些方法技巧，如：巧拆常数，重新安排某些项的次序，适当的拼凑项、添项等，以构造出符合柯西不等式的形式及条件，达到使用柯西不等式 证明的目的对于许多不等式问题，应用柯西不等式来解往往简单快捷，要正确理解柯西不等式，只有掌握了它的结构特征，才能灵活应用.【例 1】 已知 a， b， cR ，求证： 9.(ab bc ca)(ba cb ac)2【变式训练 1】 已知 x， y， zR ，且 x y z1.求证： 36.1x 4y 9z【例 2】 设 a， b， c 为正实数，且 a b c3，求证： 3 .2a
3、 1 2b 1 2c 1 3【变式训练 2】 已知 a， b， cR ，且 a b c1，求 的4a 1 4b 1 4c 1最大值【例 3】 已知 x1， x2， x3， x4为实数，且 x1 x2 x3 x46， x x x x 12.21 2 23 24求证：0 xi3， i1,2,3,4.【变式训练 3】 设实数 a， b， c， d， e 满足a b c d e8， a2 b2 c2 d2 e216，求 e 的最大值3【例 4】 已知 a1， a2， an都是正实数，且 a1 a2 an1，求证： a21a1 a2 .a2a2 a3 a2n 1an 1 an a2nan a1 12【变
4、式训练 4】 设 a1a2anan1 ，求证： 1a1 a2 1a2 a3 1an an 10.1an 1 a14参考答案探究 1 【提示】 归纳类比二维形式、三维形式和一般形式的柯西不等式的结构特征，可知柯西不等式的结构特点为：左边为平方和的积，右边是积的和的平方探究 2 【提示】 不可以若 bi0 而 ai0，则 k 不存在【例 1】 【分析】 利用柯西不等式证明其他不等式时，关键是构造两组数，向着柯西不等式的形式转化本例中对应三维柯西不等式，记 a1 ， a2 ， a3 ， b1 ，ab bc ca bab2 ， b3 ，而 a1b1 a2b2 a3b31，因而得证cb ac【证明】 由
5、柯西不等式知左边 (ab)2 (bc)2 (ca)2 (ba)2 (cb)2 (ac)2 2(baab bccb caac)(111) 29.原不等式成立【变式训练 1】证明 证法一：(利用基本不等式) (x y z) (x y z) (x y z)1x 4y 9z 1x 4y 9z14 14461236.(yx 4xy) (zx 9xz) (4zy 9yz)当且仅当 y2 x， z3 x，且 x y z1， x ， y ， z 时等号成立16 13 12证法二：(利用柯西不等式)(x y z)(1x 4y 9z) 2(x1x y4y z9z)(123) 236，当且仅当 x2 y2 z2，14 19即 x ， y ， z 时等号成立16 13 12【例 2】 【分析】 利用柯西不等式的向量形式，目标式的左边应是两个向量的数量积由于变量 a， b， c 的系数都相等，由整体性可构造向量 m( ， ， )，2a 1 2b 1 2c 1n(1,1,1)利用| mn|1.(1a1 a2 1a2 a3 1an an 1)即( a1 an1 ) 1，(1a1 a2 1a2 a3 1an an 1)所以 ，故 1a1 a2 1a2 a3 1an an 1 1a1 an 1 1a1 a2 1a2 a3 0.1an an 1 1an 1 a17
