1、13.2 一般形式的柯西不等式预习案一、预习目标及范围1掌握三维形式和多维形式的柯西不等式2会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题二、预习要点教材整理 1 三维形式的柯西不等式设 a1， a2， a3， b1， b2， b3R，则( a a a )(b b b )21 2 23 21 2 23.当且仅当 或存在一个数 k，使得 ai kbi(i1,2,3)时，等号成立我们把该不等式称为三维形式的柯西不等式教材整理 2 一般形式的柯西不 等式设 a1， a2， a3， an， b1， b2， b3， bn是实数，则(a a a )(b b b ) .当且仅当21 2 2n 21 2 2nbi0(
2、 i1,2， n)或存在一个数 k，使得 ai (i1,2， n)时，等号成立三、预习检测1.已知 x， y， zR 且 x y z1，则 x2 y2 z2的最小值是( )A1 B. C. D213 232.已知 a a a 1， x x x 1，则 a1x1 a2x2 anxn的最大值21 2 2n 21 2 2n是( )A1 B2 C3 D.43设 a， b， c 为正数，则( a b c) 的最小值为_.(4a 9b 36c)探究 案一、合作探究题型一、利用柯西不等式求最值例 1 已知 a， b， c(0，)， 2，求 a2 b3 c 的最小值及取得最小值1a 2b 3c时 a， b，
3、c 的值【精彩点拨】 由于 2，可考虑把已知条件与待求式子结合起来，利用柯西1a 2b 3c不等式求解再练一题21已知 x4 y9 z1，求 x2 y2 z2的最 小值题型二、运用柯西不等式求参数的取值范围例 2 已知正数 x， y， z 满足 x y z xyz，且不等式 恒成立，1x y 1y z 1z x求 的取值范围【精彩点拨】 “恒成立”问题需求 的最大值，设法应用柯西不等1x y 1y z 1z x式求最值再练一题2已知实数 a， b， c， d 满足 a b c d3， a22 b23 c26 d25，试求 a 的取值范围.题型三、利用柯西不等式证明不等式例 3 已知 a， b，
4、 cR ，求证： 9.(ab bc ca)ba cb ac【精 彩点拨】 对应三维形式的柯西不等式， a1 ， a2 ， a3 ， b1 ， b2ab bc ca ba， b3 ，而 a1b1 a2b2 a3b31，因而得证cb ac再练一题3已知函数 f(x) m| x2|， mR，且 f(x2)0 的解集为1,1(1)求 m 的值；(2)若 a， b， cR ，且 m，求证： a2 b3 c9.1a 12b 13c二、随堂检测1设 a(2,1,2)，| b|6，则 ab 的最小值为( )A18 B6C18 D.122若 a a a 1， b b b 4，则 a1b1 a2b2 anbn的取
5、值范围是( )21 2 2n 21 2 2nA(，2) B2,2C(，2 D.1,133设 a， b， m， nR，且 a2 b25， ma nb5，则 的最小值为_m2 n2参考答案预习检测：1.【解析】 根据柯西不等式， x2 y2 z2 (121 21 2)(x2 y2 z2)13 (1x1 y1 z)2 (x y z)2 .13 13 13【答案】 B2.【解析】 ( a1x1 a2x2 anxn)2( a a a )(x x x )21 2 2n 21 2 2n111，当且仅当 1 时取等号，x1a1 x2a2 xnan a1x1 a2x2 anxn的最大值是 1.【答案】 A3.【
6、解析】 由 a， b， c 为正数，( a b c)(4a 9b 36c)( )2( )2( )2a b c (2a)2 (3b)2 (6c)2 2121，(a2a b3b c6c)当且仅当 k(k0)时等号成立a2 b3 c6故( a b c) 的最小值是 121.(4a 9b 36c)【答案】 121随堂检测：1.【解析】 | ab| a|b|，| ab|18.18 ab18，当 a， b 反向时， ab 最小，最小值为18.【答案】 C2.【解析】 ( a a a )(b b b )( a1b1 a2b2 anbn)2，21 2 2n 21 2 2n( a1b1 a2b2 anbn)24，| a1b1 a2b2 anbn|2，即2 a1b1 a2b2 anbn2，当且仅当 ai bi(i1,2， n)时，右 边等号成立；124当且仅当 ai bi(i1,2， n)时，左边等号成立，故选 B.12【答案】 B3.【解析】 根据柯西不等式( ma nb)2( a2 b2)(m2 n2)，得 255( m2 n2)，m2 n25， 的最小值为 .m2 n2 5【答案】 5
