1、11.1.3 三个正数的算术几何平均数预习案一、预习目标及范围1探索并了解三个正数的算术几何平均不等式的证明过程2会用平均不等式求一些特定函数的最大(小)值3会建立函数不等式模型 ，利用其解决实际生活中的最值问题二、预习要点教材整理 1 三个正数的算术几何平均不等式1如果 a， b， cR ，那么 a3 b3 c3 3abc，当且仅当 时，等号成立2定理 3：如果 a， b， cR ，那么 ，当且仅当 时，等号成a b c3 3abc立即三个正数的算术平均 它们的几何平均教材整理 2 基本不等式的推广对于 n 个正数 a1， a2， an，它们的算术平均 它们的几何平均，即，当且仅当 a1 a
2、2 an时，等号成立a1 a2 ann na1a2an教 材整理 3 利用基本不等式求最值若 a， b， c 均为正数，如果 a b c 是定值 S，那么 时，积 abc 有 值；如果积 abc 是定值 P，那么当 a b c 时，和 有最小值三、预习检测1.已知 a， b， c 为正数，则 有( )ab bc caA最小值 为 3B最大值为 3C最小值为 2D.最大值为 22.设 x0，则 y x 的最小值为( )4x2A2 B2 2C3 D.323函数 f(x)5 x (x0)的最小值为_.20x2探究案一 、合作探究题型一、证明简单的不等式2例 1 设 a， b， c 为正数，求证： (
3、a b c)227.(1a2 1b2 1c2)【精彩点拨】 根据不等式的结构特点，运用 a b c3 ，结合不等式的性质证3abc明再练一题1设 a， b， c 为正数，求证： (a b c)381.(1a3 1b3 1c3)题型二、用平均不等式求解实际问题例 2 如图所示，在一张半径是 2 米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然 是不亮的由物理学知识，桌子边缘一点处的照亮度 E 和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角 的正弦成正比，而和这一点到光源的距离 r 的平方成反比，即 E k .这里 k 是 一个和灯光强度有关sin r2
4、的常数那么究竟应该怎样选择灯的高度 h，才能使桌子边缘处最亮？【精彩点拨】 根据题设条件建立 r 与 的关系式，将它代入 E k ，得到以sin r2 为自变量， E 为因变量的函数关系式，再用平均不等式求函数的最值再练一题2制造容积为 立方米的无盖圆柱形桶，用来制作底面 的金属板的价格为每平方米 230 元，用来制作侧面的金属板的价格为每平方米 20 元，要使用料成本最低，则圆柱形桶的底面半径和高应各为多少米？题型三、利用平均不等式求最值例 3 已知 xR ，求函数 y x(1 x2)的最大值【精彩点拨】 为使数的“和”为定值，可以先平方，即 y2 x2(1 x2)2 x2(1 x2)(1
5、x2)2 x2(1 x2)(1 x2) ，求出最值后再开方12再练一题33若 2a b0，试求 a 的最小值.42a bb二、随堂检测1已知 x2 y3 z6，则 2x4 y8 z的最小值为( )A3 B2 C12 D1236 2 352若 a b0，则 a 的最小值为( )1ba bA0 B1 C2 D.33函数 y4sin 2xcos x 的最大值为_，最小值为_4参考答案预习检测：1.【解析】 3 3，ab bc ca 3abbcca当且仅当 ，即 a b c 时，取等号ab bc ca【答案】 A2.【解析 】 y x 3 3，4x2 x2 x2 4x2 3x2x24x2当且仅当 时取
6、 “”号x2 4x2【答案】 D3.【解析】 f(x)5 x x x 3 15.20x2 52 52 20x2 353当 x ，即 x2 时取等号52 20x2【答案】 15随堂检测：1.【解析】 x2 y3 z6，2 x4 y8 z2 x2 2y2 3z3 3 12.32x22y23z 32x 2y 3z当且仅当 2x2 2y2 3z，即 x2， y1， z 时，等号成立23【答案】 C2. 【解析】 a ( a b) b 3 3，当且1ba b 1ba b 3a bb 1ba b仅当 a2， b1 时取等号， a 的最小值为 3.故选 D.1ba b【答案】 D3.【解析】 y216sin 2 xsin2xcos2x8( sin2xsin2x2cos2x)8 3(sin2x sin2x 2cos2x3 )8 ，827 6427 y2 ，当且仅当 sin2x2cos 2x，6427即 tan x 时取等号25 ymax ， ymin .893 893【答案】 893 893
