1、11.1.2 基本不等式预习案一、预习目标及范围1了解两个正数的算术平均数与几何平均数2理解定理 1 和定理 2(基本不等式)3掌握用基本不等式求一些函数的最值及实际的应用问题二、预习要点教材整理 1 两个定理及算数平均与几何平均1两个定理定理 内容 等号成立的条件定理 1 a2 b2 ( a， bR) 当且仅当 时，等号成立定理 2 ( a， b0)a b2 当且仅当 时，等号成立2.算术平均与几何平均如果 a， b 都是正数，我们称 为 a， b 的算术平均， 为 a， b 的几何平均教材整理 2 利用基本不等式求最值已知 x， y 为正数， x y S， xy P，则(1)如果 P 是
2、，那么当且仅当 时， S 取得最小值 ；(2)如果 S 是 ，那么当且仅当 x y 时， P 取得最大值 .三、预习检测1下列不等式中，正确的个数是( )若 a， bR，则 ；a b2 ab若 xR，则 x22 2；1x2 2若 xR，则 x21 2；1x2 1若 a， b 为正实数，则 .a b2 abA0 B1 C2 D.32若 x0，则 f(x)23 x2 的最大值是_ _，取得最值时 x 的值是12x22_.3已知 a， b 是正数，求证：(1) ；a2 b22 a b2(2) .ab21a 1b探究案一、合作探究题型一、利用基本不等式证明不等式例 1 已知 a， b， c 都是正数，
3、求证： a b c.a2b b2c c2a【精彩点拨】 观察不等号两边差异，利用基本不等式来构造关系再练一题1已知 x， y， z 均为正数，求证： .xyz yzx zxy 1x 1y 1z题型二、利用基本不等式求最值例 2 设 x， y， z 均是正数， x2 y3 z0，则 的最小值为_y2xz【精彩点拨】 由条件表示 y，代入到 中，变形为能运用基本不等式求最值的形式，y2xz求出最小值，但要注意等号取到的条件再练一题2已知 x0， y0，且 1，试求 x y 的最小值.1x 9y题型三、基本不等式的实际应用例 3 某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在 2016 年里约热内
4、卢奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销售量 x 万件与年促销费 t万元之间满足 3 x 与 t1 成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1 万件已知 2016 年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为 3 万元，每生产 1 万件化妆品需要投入 32 万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的 150%与平均3每件促销费的一半之和， 则当年生产的化妆品正好能销完(1)若计划 2016 年生产的化妆品正好能销 售完，试将 2016 年的利润 y(万元)表示为促销费 t(万元)的函数；(2)该企业 2016 年的促销费投入多少万元时，企业的年利 润
5、最大？【精彩点拨】 (1)两个基本关系式是解答关键，即利润销售收入生产成本促销费；生产成本固定费用生产费用；(2)表示出题中的所有已知量和未知量，利用它们之间的关系式列出函数表达式利用基本不等式求最值再练一题3如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为 2 m 的无盖长方体沉淀箱，污水从 A 孔流入，经沉淀后从 B 孔流出，设箱体的长度为 a m，高度为 b m，已知流出的水中该杂质的质量分数与 a， b 的乘积 ab 成反比，现有制箱材料 60 m2，问当 a， b 各为多长时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小( A， B 孔的面积忽略不计)?题型四、基本不等式的理解与判定例
6、4 命题：任意 x0，lg x 2；任意 xR， ax 2；任意 x1lg x 1ax，tan x 2；任意 xR，sin x 2.(0， 2) 1tan x 1sin x其中真命题有( )A B C D.【精彩点拨】 按基本不等式成立的条件进行判定再练一题4若 a， bR，且 ab0，则下列不等式中，恒成立的是( )A a2 b22ab B a b2 abC. D. 21a 1b 2ab ba ab二、随堂检测1下列结论中不正确的是( )A a0 时， a 2 B. 21a ba ab4C a2 b22 ab D.a2 b2a b22【解析】 选项 A，C 显然正确；选项 D 中，2( a2
7、 b2)( a b)2 a2 b22 ab0， a2 b2 成立；而选项 B 中， 2 不成立，因为若a b22 ba abab0，则不满足不等式成立的条件【答案】 B2下列各式中，最小值等于 2 的是( )A. B.xy yx x2 5x2 4Ctan D.2x2 x1tan 【解析】 2 x0,2 x0，2 x2 x2 2，当且仅当 2x2 x，即2x2 xx0 时，等号成立故选 D.【答案】 D3已知 1( x0， y0)，则 xy 的最小值是( )5x 3yA15 B6 C60 D.1【解析】 2 (当且仅当 x10， y6 时，取等号)，5x 3y 15xy2 1， xy60，15x
8、y故 xy 的最小值为 60.【答案】 C5参考答案预习检测：1.【解析】 显然不正确；正确；对于，虽然 x22 无解，但 x221x2 22 成立，故正确；1x2 2不正确，如 a1， b4.【答案】 C2.【解析】 f(x)23 23410，(x24x2)当 且仅当 x2 ，即 x 时 取等号4x2 2【答案】 10 23.【证明】 (1)左边 右边，a2 b2 a2 b24 a2 b2 2ab4 a b24 a b2原不等式成立(2)右边 左边，21a 1b22 1ab ab原不等式成立随堂检测：1.【解析】 选项 A，C 显然正确；选项 D 中，2( a2 b2)( a b)2 a2 b22 ab0， a2 b2 成立；而选项 B 中， 2 不成立，因为若a b22 ba abab0，则不满足不等式成立的条件【答案】 B2.【解析】 2 x0,2 x0，2 x2 x2 2，当且仅当 2x2 x，即2x2 xx0 时，等号成立故选 D.【答案】 D3.【解析】 2 (当且仅当 x10， y6 时，取等号)，5x 3y 15xy2 1， xy60，15xy故 xy 的最小值为 60.【答案】 C6
