1、1高考大题专项练五 高考中的解析几何1.设 A,B 为曲线 C:y= 上两点, A 与 B 的横坐标之和为 4.x24(1)求直线 AB 的斜率;(2)设 M 为曲线 C 上一点, C 在 M 处的切线与直线 AB 平行,且 AM BM,求直线 AB 的方程 .解 (1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1 x2,y1= ,y2= ,x1+x2=4,x214 x224于是直线 AB 的斜率 k= =1.y1-y2x1-x2=x1+x24(2)由 y= ,得 y= .x24 x2设 M(x3,y3),由题设知 =1,x32解得 x3=2,于是 M(2,1).设直线 AB 的方程为 y
2、=x+m,故线段 AB 的中点为 N(2,2+m),|MN|=|m+1|.将 y=x+m 代入 y= 得 x2-4x-4m=0.x24当 = 16(m+1)0,即 m-1 时, x1,2=22 .m+1从而 |AB|= |x1-x2|=4 .2 2(m+1)由题设知 |AB|=2|MN|,即 4 =2(m+1),解得 m=7.2(m+1)所以直线 AB 的方程为 y=x+7.2.已知三点 O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线 C 上任意一点 M(x,y)满足 | |= ( )+2.MA+MBOM OA+OB(1)求曲线 C 的方程;(2)点 Q(x0,y0)(-20,x20.由 得
3、 ky2-2y-4k=0,y=k(x-2),y2=2x 3可知 y1+y2= ,y1y2=-4.2k直线 BM,BN 的斜率之和为 kBM+kBN= .y1x1+2+ y2x2+2=x2y1+x1y2+2(y1+y2)(x1+2)(x2+2)将 x1= +2,x2= +2 及 y1+y2,y1y2的表达式代入 式分子,可得 x2y1+x1y2+2(y1+y2)=y1k y2k=0.2y1y2+4k(y1+y2)k = -8+8k所以 kBM+kBN=0,可知 BM,BN 的倾斜角互补,所以 ABM= ABN.综上, ABM= ABN.4.已知中心在原点 O,左焦点为 F1(-1,0)的椭圆 C
4、 的左顶点为 A,上顶点为 B,F1到直线 AB 的距离为|OB|.77(1)求椭圆 C 的方程;(2)若椭圆 C1的方程为 =1(mn0),椭圆 C2的方程为 = ( 0,且 1),则称椭圆 C2是x2m2+y2n2 x2m2+y2n2椭圆 C1的 倍相似椭圆 .如图,已知 C2是椭圆 C 的 3 倍相似椭圆,若椭圆 C 的任意一条切线 l 交椭圆 C2于两点 M,N,试求弦长 |MN|的取值范围 .解 (1)设椭圆 C 的方程为 =1(ab0),x2a2+y2b2 直线 AB 的方程为 =1.x-a+ybF 1(-1,0)到直线 AB 的距离 d= b,a2+b2=7(a-1)2.|b-a
5、b|a2+b2= 77又 b2=a2-1,解得 a=2,b= ,3故椭圆 C 的方程为 =1.x24+y23(2)椭圆 C 的 3 倍相似椭圆 C2的方程为 =1,x212+y294 若切线 l 垂直于 x 轴,则其方程为 x=2,易求得 |MN|=2 .6 若切线 l 不垂直于 x 轴,可设其方程为 y=kx+b,将 y=kx+b 代入椭圆 C 的方程,得(3 +4k2)x2+8kbx+4b2-12=0,= (8kb)2-4(3+4k2)(4b2-12)=48(4k2+3-b2)=0,即 b2=4k2+3, (*)设 M,N 两点的坐标分别为( x1,y1),(x2,y2),将 y=kx+b
6、 代入椭圆 C2的方程,得(3 +4k2)x2+8kbx+4b2-36=0,此时 x1+x2=- ,x1x2= ,8kb3+4k2 4b2-363+4k2|x1-x2|= ,43(12k2+9-b2)3+4k2|MN|= 1+k243(12k2+9-b2)3+4k2=4 =2 .61+k23+4k2 6 1+ 13+4k2 3+4k23, 10).(1)证明: kb0)的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线 x-y+x2a2+y2b2 12=0 相切,过点 P(4,0)且不垂直于 x 轴的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点 .6(1)求椭圆 C 的方程;(2)求 的取
7、值范围;OAOB(3)若 B 点关于 x 轴的对称点是 E,证明:直线 AE 与 x 轴相交于定点 .(1)解 由题意知, =b,即 b= .ca=12,62 3又 a2=b2+c2,所以 a=2,b= .3故椭圆 C 的方程为 =1.x24+y23(2)解 由题意知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y=k(x-4),由 可得(3 +4k2)x2-32k2x+64k2-12=0.y=k(x-4),x24+y23=1,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 = 322k4-4(3+4k2)(64k2-12)0,6所以 0 k2b0)的右顶点为 A,上顶点为 B.已知椭圆的离心率为
8、,x2a2+y2b2 53|AB|= .13(1)求椭圆的方程;7(2)设直线 l:y=kx(kx10,点 Q 的坐标为( -x1,-y1).由 BPM 的面积是 BPQ 面积的 2 倍,可得 |PM|=2|PQ|,从而 x2-x1=2x1-(-x1),即 x2=5x1.易知直线 AB 的方程为 2x+3y=6,由方程组 消去 y,可得 x2= .2x+3y=6,y=kx, 63k+2由方程组 消去 y,可得 x1= .x29+y24=1,y=kx, 69k2+4由 x2=5x1,可得 =5(3k+2),两边平方,9k2+4整理得 18k2+25k+8=0,解得 k=- ,或 k=- .89
9、12当 k=- 时, x2=-90,不合题意,舍去;89当 k=- 时, x2=12,x1= ,符合题意 .12 125所以, k 的值为 - .128.如图,已知椭圆 =1 的左焦点为 F,过点 F 的直线交椭圆于 A,B 两点,线段 AB 的中点为 G,AB 的x24+y23垂直平分线与 x 轴和 y 轴分别交于 D,E 两点 .(1)若点 G 的横坐标为 - ,求直线 AB 的斜率;14(2)记 GFD 的面积为 S1, OED(O 为原点)的面积为 S2.试问:是否存在直线 AB,使得 S1=S2?说明理由 .8解 (1)依题意可知,直线 AB 的斜率存在,设其方程为 y=k(x+1)
10、,将其代入 =1,x24+y23整理得(4 k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),所以 x1+x2=- .8k24k2+3故点 G 的横坐标为 =- ,解得 k= .x1+x22 = -4k24k2+3 14 12(2)假设存在直线 AB,使得 S1=S2,显然直线 AB 不能与 x 轴或 y 轴垂直 .由(1)可得 G .(-4k24k2+3, 3k4k2+3)设点 D 坐标为( xD,0).因为 DG AB,所以 k=-1,3k4k2+3- 4k24k2+3-xD解得 xD=- ,k24k2+3即 D .(-k24k2+3,0)因为 GFD OED,且 S1=S2,所以 |GD|=|OD|.所以 ,(-k24k2+3- -4k24k2+3)2+(- 3k4k2+3)2=| -k24k2+3|整理得 8k2+9=0.因为此方程无解,所以不存在直线 AB,使得 S1=S2.9
