1、1考点规范练 37 空间几何体的表面积与体积一、基础巩固1.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示 .若该几何体的表面积为 16+20,则 r=( )A.1B.2C.4D.8答案 B解析 由条件及几何体的三视图可知该几何体是由一个圆柱被过圆柱底面直径的平面所截剩下的半个圆柱及一个半球拼接而成的 .其表面积由一个矩形的面积、两个半圆的面积、圆柱的侧面积的一半及一个球的表面积的一半组成 .S 表 =2r2r+2 r2+ r2r+ 4 r2=5 r2+4r2=16+20,解得 r=2.12 122.(2018 浙江,3)某几何体的三视图
2、如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm 3)是( )2A.2 B.4 C.6 D.8答案 C解析 由三视图可知该几何体为直四棱柱 .S 底 = (1+2)2=3,h=2,V=Sh= 32=6.123.如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1的六个顶点都在半径为 1 的半球面上, AB=AC,侧面 BCC1B1是半球底面圆的内接正方形,则侧面 ABB1A1的面积为( )A. B.122C. D.2 3答案 C解析 由题意知,球心在侧面 BCC1B1的中心 O 上, BC 为 ABC 所在圆面的直径,所以 BAC=90, ABC的外接圆圆心 N 是 BC 的中点,同理 A1B1C1的外心
3、 M 是 B1C1的中点 .设正方形 BCC1B1的边长为 x,在 Rt OMC1中, OM= ,MC1= ,OC1=R=1(R 为球的半径),所以 =1,即 x= ,则 AB=AC=1.x2 x2 (x2)2+(x2)2 2所以侧面 ABB1A1的面积 S= 1= .2 24.(2018 安徽江南十校联考)某几何体的三视图如图所示,其中正视图由矩形和等腰直角三角形组成,侧视图由半圆和等腰直角三角形组成,俯视图的实线部分为正方形,则该几何体的表面积为 ( )3A.3 +4 B.4( + +1) C.4( + ) D.4( +1)2 2 2答案 A解析 由三视图知几何体的上半部分是半圆柱,圆柱的
4、底面半径为 1,高为 2,其表面积为S1= 22+ 12=3,下半部分为正四棱锥,底面棱长为 2,斜高为 ,其表面积 S2=412 2=4 ,所以该几何体的表面积为 S=S1+S2=3 +4 .(122 2) 2 25.点 A,B,C,D 在同一个球的球面上, AB=BC= , ABC=90.若四面体 ABCD 体积的最大值为 3,则这6个球的表面积为( )A.2 B.4 C.8 D.16答案 D解析 由题意,知 S ABC=3,设 ABC 所在球的小圆的圆心为 Q,则 Q 为 AC 的中点,当 DQ 与面 ABC 垂直时,四面体 ABCD 的最大体积为 S ABCDQ=3,13DQ= 3,如
5、图,设球心为 O,半径为 R,则在 Rt AQO 中, OA2=AQ2+OQ2,即 R2=( )2+(3-R)2,R= 2,3则这个球的表面积为 S=4 22=16 .故选 D.46.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺 .问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放的米有( )A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛答案 B解析 设
6、底面圆半径为 R,米堆高为 h. 米堆底部弧长为 8 尺, 2 R=8,R= .14 16 体积 V= R2h= 5.1413 112 (16 )2 3, V (立方尺) .3209 堆放的米约为 22(斛) .32091.627.(2018 江苏,10)如图,正方体的棱长为 2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 . 答案43解析 由题意知,多面体是棱长均为 的八面体,它是由两个有公共底面的正四棱锥组合而成的,正2四棱锥的高为 1,所以这个八面体的体积为 2V 正四棱锥 =2 ( )21= .13 2 438.已知棱长为 4 的正方体被一平面截成两个几何体,其中一个几何体的三视图如图所示
7、,则该几何体的体积是 . 5答案 32解析 由三视图,可得棱长为 4 的正方体被平面 AJGI 截成两个几何体,且 J,I 分别为 BF,DH 的中点,如图,两个几何体的体积各占正方体的一半,则该几何体的体积是 43=32.129.已知三棱锥 P-ABC 内接于球 O,PA=PB=PC=2,当三棱锥 P-ABC 的三个侧面的面积之和最大时,球 O的表面积为 . 答案 12解析 由题意三棱锥 P-ABC 的三条侧棱 PA,PB,PC 两两互相垂直,三棱锥 P-ABC 的三个侧面的面积之和最大,三棱锥 P-ABC 的外接球就是它扩展为正方体的外接球,求出正方体的体对角线的长为 2 ,3所以球 O
8、的直径是 2 ,半径为 ,球 O 的表面积为 4 ( )2=12 .3 3 310.在三棱柱 ABC-A1B1C1中, BAC=90,其正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形,俯视图是直角边的长为 1 的等腰直角三角形,设点 M,N,P 分别是棱 AB,BC,B1C1的中点,则三棱锥 P-A1MN 的体积是 .6答案124解析 由题意,可得直三棱柱 ABC-A1B1C1如图所示 .其中 AB=AC=AA1=BB1=CC1=A1B1=A1C1=1.M ,N,P 分别是棱 AB,BC,B1C1的中点, MN= ,NP=1.12S MNP= 1= .1212 14 点 A1到平面 MNP 的距离为
9、AM= ,12 .VP-A1MN=VA1-MNP=131412=12411.(2018 重庆二诊)已知边长为 2 的等边三角形 ABC 的三个顶点 A,B,C 都在以 O 为球心的球面上,若球 O 的表面积为 ,则三棱锥 O-ABC 的体积为 . 1483答案333解析 设球的半径为 R,则 4 R2= ,解得 R2= .1483 373设 ABC 所在平面截球所得的小圆的半径为 r,则 r= .23(322)=233故球心到 ABC 所在平面的距离为 d= ,即为三棱锥 O-ABC 的高,R2-r2= 373-43= 11所以 VO-ABC= S ABCd= .13 13(3422) 11=
10、 33312.一个几何体的三视图如图所示 .已知正视图是底边长为 1 的平行四边形,侧视图是一个长为 、3宽为 1 的矩形,俯视图为两个边长为 1 的正方形拼成的矩形 .(1)求该几何体的体积 V;(2)求该几何体的表面积 S.7解 (1)由三视图可知,该几何体是一个平行六面体(如图),其底面是边长为 1 的正方形,高为 ,所3以 V=11 .3= 3(2)由三视图可知,该平行六面体中, A1D平面 ABCD,CD平面 BCC1B1,所以 AA1=2,侧面ABB1A1,CDD1C1均为矩形 .S=2(11+1 +12)=6+2 .3 3二、能力提升13.如图,在多面体 ABCDEF 中,已知四
11、边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,且 ADE, BCF 均为正三角形,EF AB,EF=2,则该多面体的体积为( )A. B. C. D.23 33 43 32答案 A解析 如图,分别过点 A,B 作 EF 的垂线,垂足分别为 G,H,连接 DG,CH,容易求得EG=HF= ,AG=GD=BH=HC= ,12 32所以 S AGD=S BHC= 1= .1222 24所以 V=VE-ADG+VF-BHC+VAGD-BHC=2VE-ADG+VAGD-BHC= 2+ 1= .132412 24 2314.8(2018 湖南衡阳一模)刍薨,中国古代算术中的一种几何形体,九章算术中记载“刍薨者,
12、下有褒有广,而上有褒无广 .刍,草也 .薨,屋盖也 .”翻译为“底面有长有宽为矩形,顶部只有长没有宽为一条棱,刍薨字面意思为茅草屋顶” .如图为一刍薨的三视图,其中正视图为等腰梯形,侧视图为等腰三角形,若用茅草搭建它,则覆盖的面积至少为 ( )A.6 B.7 C.8 D.95 5 5 5答案 C解析 由题意,得茅草覆盖面积即为几何体的侧面积 .由题意可知,该几何体的侧面为两个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形 .其中,等腰梯形的上底长为 2,下底长为 4,高为 ;等腰三角形的底边长为 2,高为 .22+12= 5 22+12= 5故侧面积为 S=2 (2+4) +2 2 =8 .12 5 1
13、2 5 5即需要茅草覆盖的面积至少为 8 ,故选 C.515.(2018 全国 ,文 12)设 A,B,C,D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点, ABC 为等边三角形且其面积为 9 ,则三棱锥 D-ABC 体积的最大值为( )3A.12 B.18 C.24 D.543 3 3 3答案 B解析由 ABC 为等边三角形且面积为 9 ,设 ABC 边长为 a,39则 S= a a=9 .12 32 3a= 6,则 ABC 的外接圆半径 r= a=2 4.3223 3设球的半径为 R,如图, OO1= =2.R2-r2= 42-(2 3)2当 D 在 O 的正上方时, VD-ABC= S ABC
14、(R+|OO1|)= 9 6=18 ,最大 .故选 B.13 13 3 316.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1中, AB=16,BC=10,AA1=8,点 E,F 分别在 A1B1,D1C1上, A1E=D1F=4,过点E,F 的平面 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形 .(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求平面 把该长方体分成的两部分体积的比值 .解 (1)交线围成的正方形 EHGF 如图:(2)作 EM AB,垂足为 M,则 AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因为 EHGF 为正方形,所以 EH=EF=BC=10.于是 MH= =6,A
15、H=10,HB=6.EH2-EM2因为长方体被平面 分成两个高为 10 的直棱柱,所以其体积的比值为两棱柱底面积之比,即.97(79也正确 )三、高考预测17.已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点, AB= , ASC= BSC=30,则棱锥 S-ABC 的体积3为( )10A.3 B.2 C. D.13 3 3答案 C解析 如图,过 A 作 AD 垂直 SC 于 D,连接 BD.因为 SC 是球的直径,所以 SAC= SBC=90.又 ASC= BSC=30,又 SC 为公共边,所以 SAC SBC.因为 AD SC,所以 BD SC.由此得 SC平面 ABD.所以 VS-ABC=VS-ABD+VC-ABD= S ABDSC.13因为在 Rt SAC 中, ASC=30,SC=4,所以 AC=2,SA=2 .3由于 AD= .SACASC= 3同理在 Rt BSC 中也有 BD= .SBCBSC= 3又 AB= ,所以 ABD 为正三角形 .3所以 VS-ABC= S ABDSC13= ( )2sin604= ,故选 C.1312 3 311
