1、1考点规范练 35 直接证明与间接证明一、基础巩固1.要证 a2+b2-1-a2b20,只需证明( )A.2ab-1-a2b20 B.a2+b2-1- 0a4+b42C. -1-a2b20 D.(a2-1)(b2-1)0(a+b)22答案 D解析 在各选项中,只有( a2-1)(b2-1)0 a2+b2-1-a2b20,故选 D.2.分析法又称执果索因法,若用分析法证明“设 abc,且 a+b+c=0,求证: a”索的b2-ac0 B.a-c0C.(a-b)(a-c)0 D.(a-b)(a-c)0(a-c)(2a+c)0(a-c)(a-b)0.故选 C.3.设 x0,P=2x+2-x,Q=(s
2、in x+cos x)2,则( )A.PQ B.P0,所以 P2.又(sin x+cosx)2x2-x2=1+sin2x,而 sin2x1,所以 Q2 .于是 PQ.故选 A.4.利用反证法证明“若 x2+y2=0,则 x=y=0”时,应假设( )A.x,y都不为 0 B.x y,且 x,y都不为 0C.x y,且 x,y不都为 0 D.x,y不都为 0答案 D解析 原命题的结论是 x,y都为 0,利用反证法时,应假设 x,y不都为 0.25.设 a,b是两个实数,下列条件中,能推出“ a,b中至少有一个大于 1”的是( )A.a+b1 B.a+b2 C.a2+b22 D.ab1答案 B解析
3、若 a= ,b= ,则 a+b1,12 23但 a2,故 C推不出;若 a=-2,b=-3,则 ab1,故 D推不出;对于 B,若 a+b2,则 a,b中至少有一个大于 1.反证法:假设 a1,且 b1,则 a+b2 与 a+b2矛盾,因此假设不成立,故 a,b中至少有一个大于 1.6.设 f(x)是定义在 R上的奇函数,且当 x0 时, f(x)单调递减 .若 x1+x20,则 f(x1)+f(x2)的值( )A.恒为负值 B.恒等于零 C.恒为正值 D.无法确定正负答案 A解析 由 f(x)是定义在 R上的奇函数,且当 x0 时, f(x)单调递减,可知 f(x)是 R上的减函数 .由x1
4、+x20,可知 x1-x2,即 f(x1)b0,m= ,n= ,则 m,n的大小关系是 . a- b a-b答案 mb0,所以要得出 m与 n的大小关系,只需判断 与 1的大小mn= a- ba-b关系,只需判断 与 1的大小关系,只需判断 a+b-2 -(a-b)与 0的大小关系,只需判断a+b-2aba-b ab2b-2 与 0的大小关系,只需判断 与 0的大小关系 .由 ab0,可知 26+ 7 2+ 53解析 要比较 与 2 的大小,只需比较( )2与(2 )2的大小,只需比6+ 7 2+ 5 6+ 7 2+ 5较 6+7+2 与 8+5+4 的大小,只需比较 与 2 的大小,只需比较
5、 42与 40的大小,42 10 42 10 4240, 2 .6+ 7 2+ 59.若 a,b,c是不全相等的正数,求证:lg +lg +lg lg a+lg b+lg c.a+b2 b+c2 c+a2证明 a ,b,c(0, + ), 0, 0, 0.a+b2 ab b+c2 bc a+c2 ac又上述三个不等式中的等号不能同时成立 . abc成立 .a+b2b+c2c+a2上式两边同时取常用对数,得 lg lgabc,(a+b2b+c2c+a2) lg +lg +lg lga+lgb+lgc.a+b2 b+c2 c+a210.已知 a0, 1,求证: .1b-1a 1+a 11-b证明
6、由已知 1及 a0可知 01,1b-1a 1+a 11-b 1+a1-b只需证 1+a-b-ab1,只需证 a-b-ab0,即 1,a-bab即 1,这是已知条件,所以原不等式得证 .1b-1a11.设函数 f(x)= ,a,b(0, + ).1x+2(1)用分析法证明: f +f ;(ab) (ba) 23(2)设 a+b4,求证: af(b),bf(a)中至少有一个大于 .12证明 (1)要证明 f +f ,(ab) (ba) 23只需证明 ,1ab+2+ 1ba+2 234只需证明 ,即证 ,ba+2b+ ab+2a 23 b2+4ab+a22a2+5ab+2b2 23即证( a-b)2
7、0,这显然成立,所以 f +f .(ab) (ba) 23(2)假设 af(b),bf(a)都小于或等于 ,12即 ,ab+2 12,ba+2 12所以 2a b+2,2b a+2,两式相加得 a+b4,这与 a+b4矛盾,所以 af(b),bf(a)中至少有一个大于 .12二、能力提升12.若 A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于 A2B2C2的三个内角的正弦值,则( )A. A1B1C1和 A2B2C2都是锐角三角形B. A1B1C1和 A2B2C2都是钝角三角形C. A1B1C1是钝角三角形, A2B2C2是锐角三角形D. A1B1C1是锐角三角形, A2B2C2是钝角三角形答案 D解
8、析 由条件知, A1B1C1的三个内角的余弦值均大于 0,则 A1B1C1是锐角三角形,且 A2B2C2不可能是直角三角形 .假设 A2B2C2是锐角三角形 .由sinA2=cosA1=sin(2-A1),sinB2=cosB1=sin(2-B1),sinC2=cosC1=sin(2-C1),得 A2=2-A1,B2=2-B1,C2=2-C1,则 A2+B2+C2= ,2这与三角形内角和为 180相矛盾 .因此假设不成立,故 A2B2C2是钝角三角形 .13.已知 a,b, (0, + ),且 =1,要使得 a+b 恒成立,则 的取值范围是 . 1a+9b5答案 (0,16解析 a ,b(0, + ),且 =1,1a+9ba+b= (a+b) =10+ 10 +2 =16(当且仅当 a=4,b=12时等号成立) .(1a+9b) (9ab+ba) 9a+b 的最小值为 16. 要使 a+b 恒成立,只需 16 . 00,所以 Tn=6- 6.3n+62n 3n+62n
