1、1考点规范练 33 基本不等式及其应用一、基础巩固1.下列不等式一定成立的是( )A.lg lg x(x0)(x2+14)B.sin x+ 2( x k, kZ)1sinxC.x2+12 |x|(xR)D. 1(xR)1x2+1答案 C解析 因为 x0,所以 x2+ 2 x =x,14 12所以 lg lg x(x0),故选项 A不正确;(x2+14)当 x k, kZ 时,sin x的正负不定,故选项 B不正确;由基本不等式可知选项 C正确;当 x=0时, =1,故选项 D不正确 .1x2+12.已知 a0,b0,a,b的等比中项是 1,且 m=b+ ,n=a+ ,则 m+n的最小值是( )
2、1a 1bA.3 B.4 C.5 D.6答案 B解析 由题意知 ab=1,则 m=b+ =2b,n=a+ =2a,故 m+n=2(a+b)4 =4(当且仅当 a=b=1时,等号成立) .1a 1b ab3.小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a和 b(a2ab2b ,即 ,a0,b0)对称,则 的最小值为( )1a+4bA.8 B.9 C.16 D.18答案 B解析 由圆的对称性可得,直线 ax-2by+2=0必过圆心( -2,1),所以 a+b=1.所以 (a+b)=5+ 5 +4=9,当且仅当 ,即 2a=b= 时等号成立,故选 B.1a+4b=(1a+4b) ba+4ab ba=4ab 2
3、35.若正数 x,y满足 4x2+9y2+3xy=30,则 xy的最大值是( )A. B. C.2 D.43 53 54答案 C解析 由 x0,y0,得 4x2+9y2+3xy2 (2x)(3y)+3xy(当且仅当 2x=3y时等号成立),则 12xy+3xy30,即 xy2,故 xy的最大值为 2.6.若两个正实数 x,y满足 =1,且 x+2ym2+2m恒成立,则实数 m的取值范围是( )2x+1yA.(- ,-2)4, + ) B.(- ,-42, + )C.(-2,4) D.(-4,2)答案 D解析 因为 x0,y0, =1,2x+1y所以 x+2y=(x+2y) =2+ +28,(2
4、x+1y) 4yx+xy当且仅当 ,即 x=2y时等号成立 .4yx=xy3由 x+2ym2+2m恒成立,可知 m2+2m1,b1,若 ax=by=3,a+b=2 ,则 的最大值为( )31x+1yA.2 B. C.1 D.32 12答案 C解析 由 ax=by=3, ,1x+1y= 1loga3+ 1logb3=lga+lgblg3=lg(ab)lg3又 a1,b1,所以 ab =3,(a+b2)2所以 lg(ab)lg3,从而 =1,当且仅当 a=b= 时等号成立 .1x+1y lg3lg3 38.已知 x1,则 logx9+log27x的最小值是 . 答案263解析 x 1, logx9
5、+log27x= 2 ,当且仅当 x= 时等号成立 .2lg3lgx+lgx3lg323=263 36 logx9+log27x的最小值为 .2639.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润 y(单位:万元)与机器运转时间 x(单位:年)的关系为 y=-x2+18x-25(xN *).则当每台机器运转 年时,年平均利润最大,最大值是 万元 . 答案 5 8解析 每台机器运转 x年的年平均利润为 =18- ,而 x0,所以 18 -2 =8,当且仅当 x=5时,年yx (x+25x) yx 25平均利润最大,最大值为 8万元 .10.(2018天津,文 13)已
6、知 a,bR,且 a-3b+6=0,则 2a+ 的最小值为 . 18b答案14解析 a- 3b+6=0,a- 3b=-6.4a ,bR, 2a0, 0.18b 2a+ 2 =2 ,18b 2a-3b 2-6=14当且仅当 2a= ,即 a=-3,b=1时取等号 .18b11.某种饮料分两次提价,提价方案有两种,方案甲:第一次提价 p%,第二次提价 q%;方案乙:每次都提价 %,若 pq0,则提价多的方案是 . p+q2答案 乙解析 设原价为 a,则方案甲提价后为 a(1+p%)(1+q%),方案乙提价后为 a .(1+p+q2%)2由于(1 +p%)(1+q%)0,a为大于 2x的常数 .(1
7、)求函数 y=x(a-2x)的最大值;(2)求 y= -x的最小值 .1a-2x6解 (1)x 0,a2x,y=x (a-2x)= 2x(a-2x) ,当且仅当 x= 时取等号,12 122x+(a-2x)2 2=a28 a4故函数 y=x(a-2x)的最大值为 .a28(2)y= -x= 2 ,当且仅当 x= 时取等号 .1a-2x 1a-2x+a-2x2 -a2 12-a2= 2-a2 a- 22故 y= -x的最小值为 .1a-2x 2-a216.某工厂某种产品的年固定成本为 250万元,每生产 x千件,需另投入成本为 C(x)(单元:万元),当年产量不足 80千件时, C(x)= x2
8、+10x(单位:万元) .当年产量不少于 80千件时, C(x)=51x+ -1 13 10000x450(单位:万元) .每件商品售价为 0.05万元 .通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完 .(1)写出年利润 L(x)(单位:万元)关于年产量 x(单位:千件)的函数解析式;(2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?解 (1)因为每件商品售价为 0.05万元,则 x千件商品销售额为 0.051000x万元,依题意得,当0x80时, L(x)=(0.051000x)- x2-10x-250=- x2+40x-250;13 13当 x80 时, L(x)=(0.05100
9、0x)-51x- +1450-250=1200- ,10000x (x+10000x)则 L(x)=-13x2+40x-250,0x80,1200-(x+10000x),x 80. (2)当 0x80时, L(x)=- (x-60)2+950,此时,当 x=60时, L(x)取得最大值 L(60)=950.13当 x80 时, L(x)=1200- 1200 -2 =1200-200=1000,当且仅当 x= 时,即(x+10000x) x10000x 10000xx=100时, L(x)取得最大值 1000.因为 9501000,所以当年产量为 100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大 .最大利润为 1000万元 .三、高考预测17.若 a,b满足 ab=a+b+3,求 ab的取值范围 .解 ab=a+b+ 3,a+b=ab- 3, (a+b)2=(ab-3)2.7 (a+b)24 ab, (ab-3)24 ab,即( ab)2-10ab+90,故 ab1 或 ab9 .因此 ab的取值范围是( - ,19, + ).
