1、1考点规范练 32 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题一、基础巩固1.若点(1, b)在两条平行直线 6x-8y+1=0 和 3x-4y+5=0 之间,则 b 应取的整数值为( )A.2 B.1 C.3 D.0答案 B解析 由题意知(6 -8b+1)(3-4b+5)0)取得最大值的最优解有无穷多个,则 a 的值是( )A. B.32 12C.2 D.52答案 B解析 直线 y=-ax+z(a0)的斜率为 -a0)的最小值为 ( )x 0,x-2y 0,y x-1,3A.0 B.a C.2a+1 D.-1答案 D解析 由约束条件 作出可行域如图 .x 0,x-2y 0,y x-1化目标函数
2、 z=ax+y(a0)为 y=-ax+z,由图可知,当直线 y=-ax+z 过点 A(0,-1)时,直线在 y 轴上的截距最小, z 有最小值为 -1.6.若直线 y=2x 上存在点( x,y)满足约束条件 则实数 m 的最大值为( )x+y-3 0,x-2y-3 0,x m, A.-1 B.1 C. D.232答案 B解析 可行域如图阴影所示,由 得交点 A(1,2),当直线 x=m 经过点 A(1,2)时, m 取到y=2x,x+y-3=0,最大值为 1.7.已知实数 x,y 满足条件 若目标函数 z=3x+y 的最小值为 5,则其最大值为 .x 2,x+y 4,-2x+y+c 0,答案
3、104解析 画出 x,y 满足的可行域如下图,可得直线 x=2 与直线 -2x+y+c=0 的交点 A,使目标函数 z=3x+y取得最小值 5,故由 x=2,-2x+y+c=0,解得 x=2,y=4-c,代入 3x+y=5 得 6+4-c=5,即 c=5.由 得 B(3,1).x+y=4,-2x+y+5=0,当过点 B(3,1)时,目标函数 z=3x+y 取得最大值,最大值为 10.8.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨、B 原料 2 吨;生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨、B 原料 3 吨 .销售每吨甲产品可获得利润 5 万元、每吨乙产品可获得利润 3 万元
4、,该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨、B 原料不超过 18 吨,则该企业可获得的最大利润是 万元 . 答案 27解析 设生产甲产品 x 吨、乙产品 y 吨,则获得的利润为 z=5x+3y.由题意得 此不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示 .x 0,y 0,3x+y 13,2x+3y 18,由图可知当 y=- x+ 经过点 A 时, z 取得最大值,此时 x=3,y=4,zmax=53+34=27(万元) .53 z39.已知实数 x,y 满足 则 x2+y2的取值范围是 . x-2y+4 0,2x+y-2 0,3x-y-3 0,5答案 45,13解析 画出约束条件对应的可行
5、域(如图中阴影部分所示), x2+y2表示原点到可行域中的点的距离的平方,由图知原点到直线 2x+y-2=0 的距离的平方为 x2+y2的最小值,为 ,原点到点(2,3)的距(25)2=45离的平方为 x2+y2的最大值,为 22+32=13.因此 x2+y2的取值范围是 .45,13二、能力提升10.已知 x,y 满足约束条件 若 z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一,则实数 a 的值x+y-2 0,x-2y-2 0,2x-y+2 0.为( )A. 或 -1 B.2 或12 12C.2 或 1 D.2 或 -1答案 D解析 (方法一)由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示,可知 A(0,2
6、),B(2,0),C(-2,-2),则 zA=2,zB=-2a,zC=2a-2,要使目标函数取得最大值的最优解不唯一,只要 zA=zBzC或 zA=zCzB或 zB=zCzA,解得 a=-1 或a=2.6(方法二)目标函数 z=y-ax 可化为 y=ax+z,令 l0:y=ax,平移 l0,则当 l0 AB 或 l0 AC 时符合题意,故 a=-1 或 a=2.11.若不等式组 表示的平面区域为三角形,且其面积等于 ,则 m 的值为( )x+y-2 0,x+2y-2 0,x-y+2m 0 43A.-3 B.1 C. D.343答案 B解析 如图,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则不等式 x
7、-y+2m0 表示的平面区域为直线 x-y+2m=0 下方的区域,且 -2m-1.这时平面区域为 ABC.由 解得 则 A(2,0).x+y-2=0,x+2y-2=0, x=2,y=0,由 解得 则 B(1-m,1+m).x+y-2=0,x-y+2m=0, x=1-m,y=1+m,同理 C ,M(-2m,0).(2-4m3 ,2+2m3 )S ABC=S ABM-S ACM= (2+2m) ,12 (1+m)-2+2m3 =(m+1)23由已知得 ,解得 m=1(m=-3-1 舍去) .(m+1)23 =43712.某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要 A,B,C 三种主要原料 .生产 1 车
8、皮甲种肥料和生产 1 车皮乙种肥料所需三种原料的质量(单位:吨)如下表所示:原料肥料 ABC甲 483乙 5510现有 A 种原料 200 吨,B 种原料 360 吨,C 种原料 300 吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料 .已知生产1 车皮甲种肥料,产生的利润为 2 万元;生产 1 车皮乙种肥料,产生的利润为 3 万元 .分别用 x,y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数量 .(1)用 x,y 列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润 .解 (1)由已知, x,y 满足的数学关系式为 该二元一次不等式组所
9、表示的平面区域4x+5y 200,8x+5y 360,3x+10y 300,x 0,y 0. 为图 1 中的阴影部分:图 18图 2(2)设利润为 z 万元,则目标函数为 z=2x+3y.考虑 z=2x+3y,将它变形为 y=- x+ ,这是斜率为 - ,随 z 变化的一族平行直线, 为直线在 y 轴上23 z3 23 z3的截距,当 取最大值时, z 的值最大 .又因为 x,y 满足约束条件,所以由图 2 可知,当直线 z=2x+3y 经z3过可行域上的点 M 时,截距 最大,即 z 最大 .z3解方程组 得点 M 的坐标为(20,24) .4x+5y=200,3x+10y=300,所以 zmax=220+324=112.答:生产甲种肥料 20 车皮、乙种肥料 24 车皮时利润最大,且最大利润为 112 万元 .三、高考预测13.已知 x,y 满足约束条件 z=x+3y 的最大值是最小值的 -2 倍,则 k= . x-y+2 0,x 1,x+y+k 0,答案 1解析 画出不等式组表示的平面区域,如图所示,结合目标函数的几何意义可知,目标函数在点 C(1,3)处取得最大值,在点 B(1,-1-k)处取得最小值,9所以 zmax=1+33=10,zmin=1+3(-1-k)=-2-3k.根据题意有 10=-2(-2-3k),解得 k=1.
