1、1考点规范练 31 数列求和一、基础巩固1.数列 1 ,3 ,5 ,7 ,(2n-1)+ ,的前 n 项和 Sn的值等于( )12 14 18 116 12nA.n2+1- B.2n2-n+1-12n 12nC.n2+1- D.n2-n+1-12n-1 12n答案 A解析 该数列的通项公式为 an=(2n-1)+ ,则 Sn=1+3+5+(2n-1)+ =n2+1- .12n (12+122+12n) 12n2.已知数列 an满足 a1=1,且对任意的 nN *都有 an+1=a1+an+n,则 的前 100 项和为( )1anA. B. C. D.100101 99100 101100 20
2、0101答案 D解析 a n+1=a1+an+n,a1=1,a n+1-an=1+n.a n-an-1=n(n2) .a n=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=n+(n-1)+2+1= .n(n+1)2 =2 .1an= 2n(n+1) (1n- 1n+1) 的前 100 项和为 2 =2 .故选 D.1an (1-12+12-13+ 1100- 1101) (1- 1101)=2001013.已知数列 an满足 an+1-an=2,a1=-5,则 |a1|+|a2|+|a6|=( )A.9 B.15 C.18 D.30答案 C解析 a n+1-an=2,a1=
3、-5, 数列 an是首项为 -5,公差为 2 的等差数列 .a n=-5+2(n-1)=2n-7.2 数列 an的前 n 项和 Sn= =n2-6n.n(-5+2n-7)2令 an=2n-70,解得 n .72 当 n3 时, |an|=-an;当 n4 时, |an|=an.|a 1|+|a2|+|a6|=-a1-a2-a3+a4+a5+a6=S6-2S3=62-66-2(32-63)=18.4.已知函数 f(x)=xa的图象过点(4,2),令 an= ,nN *.记数列 an的前 n 项和为 Sn,则 S2 1f(n+1)+f(n)018等于( )A. -1 B. +12018 2018C
4、. -1 D. +12019 2019答案 C解析 由 f(4)=2,可得 4a=2,解得 a= ,则 f(x)= .12 x12a n= ,1f(n+1)+f(n)= 1n+1+ n= n+1- nS2 018=a1+a2+a3+a2 018=( )+( )+( )+( )=2- 1 3- 2 4- 3 2019- 2018-1.20195.已知数列 an满足 an+1+(-1)nan=2n-1,则 an的前 60 项和为( )A.3 690 B.3 660 C.1 845 D.1 830答案 D解析 a n+1+(-1)nan=2n-1, 当 n=2k(kN *)时, a2k+1+a2k=
5、4k-1, 当 n=2k+1(kN *)时, a2k+2-a2k+1=4k+1, + 得: a2k+a2k+2=8k.则 a2+a4+a6+a8+a60=(a2+a4)+(a6+a8)+(a58+a60)=8(1+3+29)=8 =1800.15(1+29)2由 得 a2k+1=a2k+2-(4k+1),3a 1+a3+a5+a59=a2+a4+a60-4(0+1+2+29)+30=1800- =30,(430292 +30)a 1+a2+a60=1800+30=1830.6.已知等差数列 an,a5= .若函数 f(x)=sin 2x+1,记 yn=f(an),则数列 yn的前 9 项和为
6、. 2答案 9解析 由题意,得 yn=sin2an+1,所以数列 yn的前 9 项和为sin2a1+sin2a2+sin2a3+sin2a8+sin2a9+9.由 a5= ,得 sin2a5=0. 2a 1+a9=2a5=, 2a1+2a9=4a5=2, 2a1=2 -2a9, sin2a1=sin =-sin2a9.(2 -2a9)由倒序相加可得(sin2a1+sin2a2+sin2a3+sin2a8+sin2a9+sin2a1+sin2a2+sin2a3+sin2a8+sin2a9)=0,12y 1+y2+y3+y8+y9=9.7.已知数列 an满足: a3= ,an-an+1=2anan
7、+1,则数列 anan+1前 10 项的和为 . 15答案1021解析 a n-an+1=2anan+1, =2,即 =2.an-an+1anan+1 1an+1-1an 数列 是以 2 为公差的等差数列 .1an =5, =5+2(n-3)=2n-1.a n= .1a3 1an 12n-1a nan+1= .1(2n-1)(2n+1)=12( 12n-1- 12n+1) 数列 anan+1前 10 项的和为12(1-13+13-15+ 1210-1- 1210+1)4= .12(1-121)=122021=10218.(2018 云南昆明第二次统考)在数列 an中, a1=3,an的前 n
8、项和 Sn满足 Sn+1=an+n2.(1)求数列 an的通项公式;(2)设数列 bn满足 bn=(-1)n+ ,求数列 bn的前 n 项和 Tn.2an解 (1)由 Sn+1=an+n2,得 Sn+1+1=an+1+(n+1)2,- ,得 an=2n+1.a1=3 满足上式,所以数列 an的通项公式为 an=2n+1.(2)由(1)得 bn=(-1)n+22n+1,所以 Tn=b1+b2+bn=(-1)+(-1)2+(-1)n+(23+25+22n+1)=(-1)1-(-1)n1-(-1) +23(1-4n)1-4= (4n-1).(-1)n-12 +839.设等差数列 an的公差为 d,前
9、 n 项和为 Sn,等比数列 bn的公比为 q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.(1)求数列 an,bn的通项公式;(2)当 d1 时,记 cn= ,求数列 cn的前 n 项和 Tn.anbn解 (1)由题意,得 10a1+45d=100,a1d=2, 即 2a1+9d=20,a1d=2, 解得a1=1,d=2或 a1=9,d=29.故an=2n-1,bn=2n-1或 an=19(2n+79),bn=9(29)n-1.(2)由 d1,知 an=2n-1,bn=2n-1,故 cn= ,2n-12n-1于是 Tn=1+ + , 32+522+723+924 2n-12n-15Tn
10、= + . 12 12+322+523+724+925 2n-12n- 可得 Tn=2+ + =3- ,故 Tn=6- .12 12+122 12n-2-2n-12n 2n+32n 2n+32n-110.已知 Sn为数列 an的前 n 项和, an0, +2an=4Sn+3.a2n(1)求 an的通项公式;(2)设 bn= ,求数列 bn的前 n 项和 .1anan+1解 (1)由 +2an=4Sn+3,可知 +2an+1=4Sn+1+3.a2n a 2n+1两式相减可得 +2(an+1-an)=4an+1,a 2n+1-a2n即 2(an+1+an)= =(an+1+an)(an+1-an)
11、.a 2n+1-a2n由于 an0,可得 an+1-an=2.又 +2a1=4a1+3,a21解得 a1=-1(舍去), a1=3.所以 an是首项为 3,公差为 2 的等差数列,故 an的通项公式为 an=2n+1.(2)由 an=2n+1 可知bn= .1anan+1= 1(2n+1)(2n+3)=12( 12n+1- 12n+3)设数列 bn的前 n 项和为 Tn,则 Tn=b1+b2+bn=12(13-15)+(15-17)+( 12n+1- 12n+3)= .n3(2n+3)11.已知各项均为正数的数列 an的前 n 项和为 Sn,满足 =2Sn+n+4,a2-1,a3,a7恰为等比
12、数列 bn的a 2n+1前 3 项 .(1)求数列 an,bn的通项公式;(2)若 cn=(-1)nlog2bn- ,求数列 cn的前 n 项和 Tn.1anan+1解 (1)因为 =2Sn+n+4,a 2n+16所以 =2Sn-1+n-1+4(n2) .a2n两式相减,得 =2an+1,a 2n+1-a2n所以 +2an+1=(an+1)2.a 2n+1=a2n因为 an是各项均为正数的数列,所以 an+1=an+1,即 an+1-an=1.又 =(a2-1)a7,所以( a2+1)2=(a2-1)(a2+5),a23解得 a2=3,a1=2,所以 an是以 2 为首项,1 为公差的等差数列
13、,所以 an=n+1.由题意知 b1=2,b2=4,b3=8,故 bn=2n.(2)由(1)得 cn=(-1)nlog22n-1(n+1)(n+2)=(-1)nn- ,1(n+1)(n+2)故 Tn=c1+c2+cn=-1+2-3+(-1)nn- .123+ 134+ 1(n+1)(n+2)设 Fn=-1+2-3+(-1)nn,则当 n 为偶数时, Fn=(-1+2)+(-3+4)+-(n-1)+n= ;n2当 n 为奇数时, Fn=Fn-1+(-n)= -n= .n-12 -(n+1)2设 Gn= + ,123+ 134 1(n+1)(n+2)则 Gn= + .12-13+13-14 1n+
14、1- 1n+2=12- 1n+2所以 Tn=n-12 + 1n+2,n为偶数,-n+22 + 1n+2,n为奇数 .二、能力提升12.在数列 an中, a1=1,且 an+1= .若 bn=anan+1,则数列 bn的前 n 项和 Sn为( )an2an+1A. B. C. D.2n2n+1 n2n+1 2n2n-1 2n-12n+17答案 B解析 由 an+1= ,得 +2,an2an+1 1an+1=1an 数列 是以 1 为首项,2 为公差的等差数列,1an =2n-1,又 bn=anan+1,1anb n= ,1(2n-1)(2n+1)=12( 12n-1- 12n+1)S n= ,故
15、选 B.12(11-13+13-15+ 12n-1- 12n+1)= n2n+113.(2018 福建宁德期末)今要在一个圆周上标出一些数,第一次先把圆周二等分,在这两个分点处分别标上 1,如图(1)所示;第二次把两段半圆弧二等分,在这两个分点处分别标上 2,如图(2)所示;第三次把四段圆弧二等分,并在这 4 个分点处分别标上 3,如图(3)所示 .如此继续下去,当第 n 次标完数以后,这个圆周上所有已标出的数的总和是 . 答案 (n-1)2n+2解析 由题意可得,第 n 次标完后,圆周上所有已标出的数的总和为 Tn=1+1+22+322+n2n-1.设 S=1+22+322+n2n-1,则
16、2S=2+222+(n-1)2n-1+n2n,两式相减可得 -S=1+2+22+2n-1-n2n=(1-n)2n-1,则 S=(n-1)2n+1,故 Tn=(n-1)2n+2.14.已知首项为 的等比数列 an不是递减数列,其前 n 项和为 Sn(nN *),且 S3+a3,S5+a5,S4+a4成等32差数列 .(1)求数列 an的通项公式;(2)设 bn=(-1)n+1n(nN *),求数列 anbn的前 n 项和 Tn.解 (1)设等比数列 an的公比为 q.由 S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列,8可得 2(S5+a5)=S3+a3+S4+a4,即 2(S3+a4+2a5)=
17、2S3+a3+2a4,即 4a5=a3,则 q2= ,解得 q= .a5a3=14 12由等比数列 an不是递减数列,可得 q=- ,12故 an= =(-1)n-1 .32(-12)n-1 32n(2)由 bn=(-1)n+1n,可得 anbn=(-1)n-1 (-1)n+1n=3n .32n (12)n故前 n 项和 Tn=3 ,112+2(12)2+n(12)n则 Tn=3 ,12 1(12)2+2(12)3+n(12)n+1两式相减可得, Tn=312 12+(12)2+(12)n-n=3 ,(12)n+1 12(1-12n)1-12 -n(12)n+1化简可得 Tn=6 .(1-n+
18、22n+1)15.(2018 湖南长沙雅礼中学模拟)若数列 an的前 n 项和 Sn满足 Sn=2an- ( 0,nN *).(1)证明:数列 an为等比数列,并求 an;(2)若 = 4,bn= (nN *),求数列 bn的前 2n 项和 T2n.an,n是奇数,log2an,n是偶数 (1)证明 S n=2an- ,当 n=1 时,得 a1= ,当 n2 时, Sn-1=2an-1- ,则 Sn-Sn-1=2an-2an-1,即 an=2an-2an-1,a n=2an-1, 数列 an是以 为首项,2 为公比的等比数列,a n= 2n-1.(2)解 = 4,a n=42n-1=2n+1,
19、9b n=2n+1,n是奇数,n+1,n是偶数 .T 2n=22+3+24+5+26+7+22n+2n+1=(22+24+26+22n)+(3+5+2n+1)= +n(n+2),4-22n41-4 +n(3+2n+1)2 =4n+1-43T 2n= +n2+2n- .4n+13 43三、高考预测16.已知数列 an的前 n 项和为 Sn,且 a1=2,Sn=2an+k,等差数列 bn的前 n 项和为 Tn,且 Tn=n2.(1)求 k 和 Sn;(2)若 cn=anbn,求数列 cn的前 n 项和 Mn.解 (1)S n=2an+k, 当 n=1 时, S1=2a1+k.a 1=-k=2,即
20、k=-2.S n=2an-2. 当 n2 时, Sn-1=2an-1-2.a n=Sn-Sn-1=2an-2an-1.a n=2an-1. 数列 an是以 2 为首项,2 为公比的等比数列 .即 an=2n.S n=2n+1-2.(2) 等差数列 bn的前 n 项和为 Tn,且 Tn=n2, 当 n2 时, bn=Tn-Tn-1=2n-1.又 b1=T1=1 符合 bn=2n-1,b n=2n-1.c n=anbn=(2n-1)2n. 数列 cn的前 n 项和 Mn=12+322+523+(2n-3)2n-1+(2n-1)2n, 2Mn=122+323+524+(2n-3)2n+(2n-1)2n+1, 由 - ,得 -Mn=2+222+223+224+22n-(2n-1)2n+1=2+2 -(2n-1)2n+1,22-2n+11-2即 Mn=6+(2n-3)2n+1.10
